结合“洛必达法则”巧解2016年全国新课标1卷压轴题

李晓波

1前言

在全国高考试题中，与函数导数相关的难题，因为综合性强常常作为压轴题出现，求解此类问题时，一般需要确定函数的值域和参数的范围.今年也不例外，其中全国新课标1卷理科压轴题和文科压轴题均需要确定参数的范围.此题的传统做法是构建函数然后运用分类讨论，求导，分析单调性，过程复杂繁琐，而且分类的情况比较多，学生讨论的过程比较复杂，容易丢解或者漏解.笔者采用参变分离后结合“洛必达法则”解题，简化解题过程，帮助学生快速解题.

2“洛必达法则”简介

法则1若函数f（x）和g（x）满足下列条件：（1）limx→af（x）=0及limx→ag（x）=0；（2）在点a的去心邻域内，f（x）与g（x）可导且g′（x）≠0；（3）limx→af′（x）g′（x）=l，那么limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=l.

法则2若函数f（x）和g（x）满足下列条件：（1）limx→∞f（x）=0及limx→∞g（x）=0；

（2）A>0，f（x）和g（x）在（-∞，A）与（A，+∞）上可导，且g′（x）≠0；

（3）limx→∞f′（x）g′（x）=l，那么limx→∞f（x）g（x）=limx→∞f′（x）g′（x）=l.

法则3若函数f（x）和g（x）满足下列条件：（1）limx→af（x）=∞及limx→ag（x）=∞；

（2）在点a的去心邻域内，f（x）与g（x）可导且g′（x）≠0；（3）limx→af′（x）g′（x）=l，

那么limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=l.

3试题与解法分析

（2016年全国1卷理21题）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.（1）求a的取值范围；

我们只研究第一问.

解法一由已知得：f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

①若a=0，那么f（x）=0（x-2）ex=0x=2，f（x）只有唯一的零点x=2，不合题意；

②若a>0，那么ex+2a>ex>0，所以当x>1时，f′（x）>0，f（x）单调递增；当x<1时，f′（x）<0，f（x）单调递减.故f（x）在（1，+∞）上至多一个零点，在（-∞，1）上至多一个零点.由于f（2）=a>0，f（1）=-e<0，则f（2）·f（1）<0，根据零点存在性定理，f（x）在（1，2）上有且仅有一个零点.而当x<1时，exe（x-2）+a（x-1）2=a（x-1）2+e（x-1）-e.

则f（x）=0的两根x1=-e-e2+4ae2a+1，x2=-e+e2+4ae2a+1，x10，故当xx2时，a（x-1）2+e（x-1）-e>0，因此，当x<1且x0.

又f（1）=-e<0，根据零点存在性定理，f（x）在（-∞，1）上有且只有一个零点.此时，f（x）在R上有且只有两个零点，满足题意.

③若-e20，f（x）单调递增；当ln（-2a）eln（-2a）+2a=0，即f′（x）=（x-1）（ex+2a）<0，f（x）单调递减；当x>1时，x-1>0，ex+2a>eln（-2a）+2a=0，即f′（x）>0，f（x）单调递增.而极大值f[ln（-2a）]=-2a[ln（-2a）-2]+a[ln（-2a）-1]2=a{[ln（-2a）-2]2+1}<0

故当x≤1时，f（x）在x=ln（-2a）处取到最大值f[ln（-2a）]，那么f（x）≤f[ln（-2a）]<0恒成立，即f（x）=0无解.而当x>1时，f（x）单调递增，至多一个零点，此时f（x）在R上至多一个零点，不合题意.

④若a=-e2，那么ln（-2a）=1，当x<1=ln（-2a）时，x-1<0，ex+2a0，f（x）单调递增；当x>1=ln（-2a）时，x-1>0，ex+2a>eln（-2a）+2a=0，即f′（x）>0，f（x）单调递增，又f（x）在x=1处有意义，故f（x）在R上单调递增，此时至多一个零点，不合题意.

⑤若a<-e2，则ln（-2a）>1，当x<1时，x-1<0，ex+2a0，f（x）单调递增，当10，ex+2aln（-2a）时，ex+2a>eln（-2a）+2a=0，x-1>ln（-2a）-1>0，，即f′（x）>0，f（x）单调递增，故当x≤ln（-2a）时，f（x）在x=1处取到最大值f（1）=-e，那么f（x）≤-e<0恒成立，即f（x）=0无解，当x>ln（-2a）时，f（x）单调递增，至多一个零点.此时f（x）在R上至多一个零点，不合题意.

综上所述，当且仅当a>0时符合题意，即a的取值范围为（0，+∞）.

解法二（利用洛必达法则）：显然x=1不是函数f（x）的零点.当x≠1时，方程f（x）=0等价于-a=x-2（x-1）2ex，设g（x）=x-2（x-1）2ex，则g′（x）=x2-4x+5（x-1）3ex，显然x2-4x+5>0，所以g（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.利用洛必达法则，

limx→-∞g（x）=limx→-∞x-2（x-1）2ex=limx→-∞（x-2）′[（x-1）2e-x]′=limx→-∞1e-x（-x2+4x-3）=0.

而limx→1-g（x）=limx→1-x-2（x-1）2ex=-∞，所以g（x）在（-∞，1）上的取值范围是（-∞，0），同理g（x）在（1，+∞）上的取值范围是（-∞，+∞）.g（x）图象如右图.

因此，当-a<0即a>0时，函数f（x）有两个零点，所以a的取值范围为（0，+∞）.

评注解法一分类的情况比较多，讨论的过程比较复杂，容易丢解或者漏解，以致于花费大量时间还容易解错.解法二在参数与变量分离后，转化为求函数的最值（值域），此时，利用“洛必达法则”可轻松处理.

4结束语

高考是选拔考试，数学的区分度高，有利于高校选拔具有学习潜能的人才.从近年来全国各地高考试题来看，以高等数学为背景的“高观点”中学数学问题“频频登场”，此类问题也可用初等方法求解，但是要么过程繁琐，要么技巧性高，学生大都觉的高不可攀，望题兴叹，但是如果能运用“高观点”居高临下地分析和处理此类问题，往往简单易行.

在初等数学教学中，向学生渗透极限等高等数学思想，对以后学好高等数学具有很大的实际意义.而在极限的理论中，“洛必达法则”发挥着重要的作用.

参考文献

[1]刘玉琏.数学分析讲义[M].高等教育出版社，2003.

[2]学而思.2016年高考新课标I卷理数试题解析[DB/OL].http：//gaokao.zxxk.com/AttachDetail.aspx？InfoID=5359357