基于“最近发展区”的等比数列前n项和公式教学

于涛

[摘 要] 文章以“最近发展区”理论为基础，以等比数列前n项和公式教学为例，在教学设计时以平方差、立方差公式为学生学习的起点，运用归纳猜想得到等比数列前n项和公式. 在推导与证明公式时，以n维多项式的运算、算法为起点，学习了推导与证明公式的四种方法，分别是裂项相消法、错位相减法、秦九韶算法、q进制数法；其中q进制数法的学习体现了学生的创新思维，提出了有关进制数广义定义的问题. 教学设计体现了学生现有水平和潜在水平螺旋上升的过程，实现了学生学习知识的自然发展.

[关键词] 最近发展区；等比数列前n项和公式；现有水平；潜在水平

■“最近发展区”的概念及意义

“最近发展区”是苏联教育家维果茨基提出的，它是指现有水平和潜在发展水平之间的幅度. “最近发展区”的“最近”是基点，“发展”是目标. 维果茨基认为至少可以确定学生有两个发展水平，第一个是现有发展水平，是由已经完成的发展程序的结果形成的心理技能的发展水平，表现为学生能独立地、自如地完成教师提出的智力任务；第二个是潜在发展水平，是那些尚处于形成状态，表现为学生还不能独立地完成任务，但在教师帮助下，在集体活动中，通过训练和自己的努力能够完成. 这两个水平之间的幅度即为“最近发展区”. 如图1所示，数学课堂教学若想利用好“最近发展区”，则需要教师准确把握学生对新学习内容的现有水平和潜在水平的有机螺旋上升关系，推动学生不断积累知识和发展数学思维.

“最近发展区”理论指导下的教学是知识自然发展的过程，与当下颇受重视的数学史融入高中数学教材有异曲同工之处. 当代学生学习知识的顺序以及知识的储备，使得老师们可以从更宽阔的视角实现知识自然发展的过程，甚至突破历史，实现创新. 正如课程标准十大基本理念之一：教学应通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.

■教学内容简析

教材中，等比数列前n项和公式的教学从国际象棋棋盘上小麦数量的具体等比求和问题开始，符合特殊到一般的思维发展过程. 紧接着研究一般的等比数列求和问题，直接进入技巧性较强的错位相减法的学习，这样的编排给了老师们很大的发挥空间，帮助学生实现知识“鸿沟”的跨越.

本节课的发展目标包括知识目标和方法目标，知识目标是等比数列前n项和公式，方法目标是推导与证明公式的方法，包括错位相减法、裂项相消法等. 实现发展目标的基点是学生学过的与等比数列求和有关的知识. 例如，从特殊到一般的思想方法出发，可以以归纳猜想为基点；从研究数列的思维方法角度出发，把Sn看成是一个新数列的通项，可以以探寻与Sn有关的递推关系为基点，这不仅能引导学生实现知识与思维的发展，还可以探寻历史方法的本质联系；从多项式化简的角度出发，可以以因式分解和运算律为基点等，本文就试图从该角度出发，应用“最近发展区”，实现学生知识与思维的发展.

■教学设计与实施

1. 引入与归纳

引例：国王要奖赏国际象棋发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.” 请大家帮国王算算需要给发明者多少粒麦子？

生：国王需要给发明者的麦粒数为S64=1+2+22+23+…+263.

师：如何求这个等比例数列的前64项和？

生：从特殊情况入手，找规律.

教师让学生计算归纳，完成表1第3行.

表1

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通过学生活动，得到具体等比数列求和问题的结果S64=1+2+22+23+…+263=264-1.

设计意图：数学学习是具体到抽象、特殊到一般的过程. 在该具体问题中，学生具备相关运算及归纳猜想的能力，通过思考、计算、归纳猜想得到问题的结果，是学生现有水平的體现，为课堂发展做好铺垫.

2. 探究与发现

等比数列求和问题：已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，求数列{an}的前n项和Sn.

教师给出问题，并根据前n项和定义Sn=a1+a2+a3+…+an，得Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1（1+q+q2+…+qn-1）. 因此，要求Sn，只需求Tn=1+q+q2+…+qn-1，Tn的求解可以是一个特殊多项式化简的过程.

师：请大家按照由特殊到一般的归纳过程，联系初中所学的平方差、立方差公式，完成表2第三行.

表2

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师：请大家说说表2中，T2和T3怎么填写？

生：n=2时，由1-q2=（1-q）（1+q），得1+q=■. n=3时，由1-q3=（1-q）（1+q+q2），得1+q+q2=■.

师：有没有需要完善的地方？

生：在除以1-q之前，需要注意它是否为0，所以q≠1时，T2=■，T3=■；q=1时，T2=2，T3=3.

师：根据T2和T3，大家归纳的Tn怎么填写？

生：Tn=■（q≠1），n（q=1）.

师：很好，这样我们便有了Sn=■（q≠1），na1（q=1）， 我们猜想的公式是否正确？如何证明？

设计意图：这里用与引例相似的方式进行等比数列求和公式的研究，学生具备平方差、立方差公式及归纳猜想的能力. 学生现有水平是能够分别由平方差、立方差公式得到T2、T3，潜在水平是归纳并发现Tn . 其本质就是把平方差、立方差公式从二、三维推广至n维公式1-qn=（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）的过程. 该过程的实现，强化了学生归纳猜想的能力，提升了学生由低维向高维推广结论的意识.

3. 推导与证明

公式推导与证明的核心是q≠1的情形.

师：要证Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）=■（q≠1），即证1+q+q2+…+qn-1=■，请大家将式子（1-q）（1+q），（1-q）（1+q+q2）展开，谈谈你的发现，并证明公式.

（1）裂项相消法

学生活动发现1：（1-q）（1+q）=1-q+q-q2=1-q2；（1-q）（1+q+q2）=1-q+q-q2+q2-q3=1-q3.

师：请发现1的同学说说你的证明思路.

生：由（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）=1-q+q-q2+q2-q3+…+qn-1-qn=1-qn，两边同时除以1-q得1+q+q2+…+qn-1=■.

师：很好，这样Sn=■（q≠1）的证明过程可以写成： Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1） =■=■·（1-q+q-q2+…+qn-1-qn）=■.

师：请大家观察一下证明过程，用了什么求和方法？

生：过程中an=a1qn-1=■（qn-1-qn），一项裂成了两项，是裂项相消法.

（2）错位相减法

学生活动发现2：（1-q）（1+q）=（1+q）-q（1+q）=1-q2；（1-q）（1+q+q2）=（1+q+q2）-q（1+q+q2）=1-q3.

师：请发现2的同学说说你的证明思路.

生：由（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）=1+q+q2+…+qn-1-q（1+q+q2+…+qn-1）=1-qn，两边同时除以1-q得1+q+q2+…+qn-1=■.

师：用Tn表示，即（1-q）Tn=Tn-qTn=1-qn，请大家写一写Sn的证明过程.

生：在Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）两边同时乘以q得qSn=a1（q+q2+q3+…+qn），两式相减得Sn-qSn=a1（1-qn），当q≠1时，Sn=■.

师：这就是课本上我们要学习的新方法：错位相减法. 错位相减法利用了等比数列前n项和的自相似性.

设计意图：裂项相消法和错位相减法可视为从同一个多项式不同运算顺序提炼而成的方法，在学生活动过程中，哪个先被学生发现是随机的. 证明过程中，学生的现有水平是多项式运算证明，潜在水平是由此提炼而成的证明方法. 方法提炼的过程中，总结出裂项相消法是因指数幂的自相似性而得，错位相减法是因等比数列求和式结构的自相似性而得. 这里把运算顺序、方式的变化升格为数学方法，推动学生方法学习的发展.

（3）秦九韶算法

师：除了初中所学的多项式相关知识，高一有没有与多项式有关的算法可以帮我们证明公式？

生：秦九韶算法，Sn=a1+q（a1+a1q+…+a1qn-2）=a1+qSn-1.

师：很好，如何求Sn？

生：可以用待定系数法构造等比数列.

生：还可以把Sn-1换成Sn-an，即Sn=a1+q（Sn-an），求出Sn=■（q≠1）.

设计意图：回归数列内在的研究方法逻辑是非常重要的，在秦九韶算法的视角下，把Sn视为数列通项时，要求Sn，即要寻找Sn的递推关系. 这时学生的现有水平是秦九韶算法v0=an，vk=vk-1x+an-k（k=1，2，…，n），潜在水平是算法本质即数列递推关系，等比数列求和的多项式正是其特殊情况，即S1=a1，Sk=qSk-1+a1（k=1，2，…，n）.

（4）q进制数法

生：老师，还可以用q进制数推导公式！

师：你来说一说！

生：Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）=a1·（■）（q）=■[（q-1）（■）（q）]=■[■]（q）=■·{[■]（q）+1-1}=■·[■（q）-1]=■（qn-1）=■.

师：大家看看严谨吗？

生：只证明了q>1的情况.

生：q>1，也只能整數才行啊！

师：这个证明的想法非常好，他想利用的是把任意正实数按给定的一个等比数列公比分解，符合公式（■）（q）=an×qn+an-1×qn-1+…+a1×q1+a0×q0，只要能保证每个实数按这个q进制分解的唯一性，这个证明方法就没有问题了.

师：请大家课后查阅进位制的相关资料，看是否有关于进位制的广义定义，并按照这个思路研究0

课堂反思：这个做法超出了课堂预设，是学生受到算法的启发，进行广泛地联系之后，产生的富有创造性的想法，虽然应用的原理有待明确，但依然让人倍感兴奋. 学生的现有水平是正整数进位制数与多项式的关系，潜在水平是任意正实数进位制与多项式的关系. 该潜在水平是对新的数学问题的提出，值得师生共同去研究，若能证明数的分解的唯一性，便能得到广义的进位制数的定义.

■“最近发展区”的运用分析

本节课教学设计的主导思想是把等比数列求和公式的探寻与证明视为多项式的化简与证明，教学过程所呈现的通过“最近发展区”把“潜在水平”转化为“现有发展水平”的过程关系图如图2.

本节课利用“最近发展区”的教学过程实现了三个数学思维的成长：第一个是由低维到高维的思维成长；第二个是由运算变形到方法的成长；第三个是由现有所学思考广义数学问题的成长.

■结语

奥苏泊尔在其论著《教育心理学——认知观点》一书中写了一段话：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之：影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么. 要探明这一点，并应据此进行教学. ”在“最近发展区”理论的指导下，教师需要在课前明确学生学习的起点，以期学生在课堂探索与合作中收获成功的喜悦，教师还需要做好问题的设计，力求做到学生跳一跳能摘到“桃子”，这样教师便实现了教学与学生发展之间的桥梁作用.