高中数学“思维场”的理解与反思

黄春兰

[摘 要] 数学是思维的学科，高中数学教学需从学生的角度重视思维能力的培养. 提出思维场的概念，意义在于让教师能够真正立足于学生去培养其思维能力，从而为核心素养的培育奠定基础. 数学教师要在理解思维场概念意义的基础上，在不同的教学环节中生成思维场的营造策略.

[关键词] 高中数学；思维场；核心素养

近日，再次看到有数学教学同行提出了“思维场”的概念，感觉颇是有趣. 虽然说思维场的概念数年之前就有人提出，但那个时候更多的是作为社会领域或经济领域的概念而提出的，在数学教学研究领域提及者相对少见. 当然，数学是思维的科学，在数学教学中提出思维场的概念，以促进数学教学更有效地发展，也是数学教学的应有之义. 尤其是在核心素养的背景下，指向“关键能力”的核心素养培育要求，原本就要在具体的思维过程中得以实现，从这个角度来讲，高中数学教学中以思维场来引导教学发展，也是具有积极意义的.

■核心素养视角下高中数学思维场的理解

将思维场与核心素养联系起来，并不是想借核心素养这面大旗来烘托思维场的价值，而是笔者在多年的高中数学教学中发现，数学学习的魅力其实在于数学思维的运用，而学生在数学学习中遇到的困难更多的也是思维困难，从核心素养的视角来看，学生的关键能力在数学学科的学习中，归根到底还是体现为思维能力. 因此，思维能力与核心素养之间有着密不可分的关系.

思维能力从哪里来？数学教学经验告诉我们，只有在一个有效的情境中，学生的思维才能得到激活，思维能力也才能在具体的运用中得到发展. 很多时候，情境并不是一个空洞的概念，而是一个能够将学生的思维引入高效运行的“场”. “场”本来是一个科学概念，意指在有质量的物体周围存在的一种看不见、摸不着但客观存在的物质，万有引力就是通过场来发生的. 用场来比喻学生在高中数学学习中的思维，其巧妙之处在于让师生可以同时认识到思维是需要其他因素支撑的，其他因素能够发挥着潜移默化的隐性作用. 尤其是对于教师而言，这种作用发挥的机制在于可以培养学生基于思维的默会知识，可以让学生在这个场中生成强大的思维能力.

回顾曾经的教学事例，应当说也曾经有过这样的努力：比如说在教“共面向量定理”的时候，我们也曾给学生提供一个长方体ABCD-A1B1C1D1，然后让学生认识到其中哪些量是向量，哪些量是共面向量，尤其是通过现代教学手段的支撑，让学生认识到哪些向量是“能够平移到同一平面内的向量”，從而顺利建立“共面向量”的概念. 在这个过程中，学生的思维在教师提供的素材下展开，学生通过观察与想象，构建起了共面向量的表象. 这个过程是思维的过程，而思维是由现代教学手段提供的素材支撑的，因此在思维素材的周围就出现了一个“思维场”，并发挥了支撑、引导、促进学生思维的作用.

但仍然应当看到，那个时候的努力更多的是面向共面向量这一数学概念而构建的，对其中的思维重视程度实际上是有限的，对于哪些素材能够引发学生的思维，对于学生思维高效运行所需要的场并没有太多关注. 而今当将注意力集中到思维场上时，才发现其中有着更为丰富的教学及研究意义.

■以思维场引导高中数学教学的策略

那么，在高中数学教学中，思维场的营造具体可以有哪些策略呢？笔者以为只要本着以思维场引导学生进行数学学习的思路，就可以总结出有效的关于思维场的教学策略. 下面分几种情况进行讨论.

1. 第一种情况：情境创设时的思维场营造策略

对于学生而言，高中数学学习最大的挑战在于数学知识的抽象性，因此数学教师常常通过创设情境的方法来让学生感觉到数学的形象，而情境创设作为一种教学策略，其指向应当是思维，但思维又是依靠具体的教学素材而展开的，同时是通过问题的提出来驱动的，因此在情境创设中，思维场的营造就需要教师建立“素材支撑，问题引领”的策略.

例如，在“空间向量及其线性运算”这一内容的教学中，笔者注意到学生对向量的理解是比较困难的，尽管在其他学科的学习中曾经遇到过，在此前也已经学过平面向量，但他们大脑中绝大多数情况下以数量形式存在的“量”，与以有向线段表示的“量”之间，还是会有相当大的矛盾. 要将本就不太能够顺利接受的向量放到一个三维空间，没有有效的思维支撑是不可想象的. 基于这样的思考，笔者创设的教学情境是：先帮学生复习平面向量的知识，然后用三根不等长的削成一端带有箭头的木棍表示向量，并在两个同学的帮助下构建空间向量的关系. 同时提醒学生根据空间中三根直线（立体几何的知识）可能的关系，来猜想向量的关系（多考虑方向这个因素），这样学生在具体的事物之下构建出来的空间向量关系就比较清晰了. 在这种背景下再向学生提出问题：在一个三维空间，向量的运算是如何进行的呢？有了前面的素材作为思维的材料，有了问题作为驱动，学生的思维自然就围绕空间的向量可能性去思考其可能的运算法则了. 在这样的情境中，学生思维的指向性非常明确，即使是猜想也少了许多的毫无理由，因为在这个思维场中，学生的思维是围绕明确的对象并在有效的问题驱动之下展开的，因此思维就是高效的. 归纳这种情境创设的成功，实质上就是思维场营造策略的成功.

2. 第二种情况：新知构建时的思维场营造策略

高中数学教学中，新知构建的有效性体现在学生能够将新学的知识有效地纳入原有的知识体系，这个过程从皮亚杰认知心理学的角度来看，要么是同化，要么是顺应. 而从思维场的营造角度来看，则是学生通过某个场中思维的运用，在新旧知识之间形成了接触点，从而将新知识的大厦牢固地建立在这些接触点之上. 而这，就是新知构建中思维场的营造策略.

在“圆锥曲线”的教学中，很多学生对一个平面与一个圆锥面相截可以得到椭圆、双曲线、抛物线等曲线感觉到神奇，原因在于他们此前学习这三种曲线时都是孤立的，认为三者之间即使可以比较但联系性也是不强的. 待到这种情境下，怎么看起来三种曲线就好像是一母所生（学生语）呢？为了解答学生的这个问题（这个问题看起来与本课内容无关，但其实很重要，因为这个问题是指向学生的思维的，这个问题不解决，学生在理解这三种典型的圆锥曲线时就会出现认知上的障碍，这种障碍会影响他们对圆锥曲线的理解），于是笔者做了一个工作，那就是让学生进一步认识：圆锥面是怎么形成的？这个问题提出之后，学生的思维是活跃的，因为他们迅速意识到（这实际上就是一个高效思维的过程）圆锥面实际上可以看作一条直线绕着与他相交但不垂直的另一条直线旋转而成的曲面，这样的一个空间想象过程（必要的时候教师可以提供课件来支撑学生的想象表象），可以进一步让学生认识到：所谓的平面截圆锥面，实际上可以理解为一根直线绕着另一根相交且不垂直的直线转动的过程中，被另一根在同一平面内平移的直线相截，由于后面的这根直线截入角度不同，因而所得到的图形也就不同，于是就出现了不同的圆锥曲线. 反之，观看这三种不同的圆锥曲线，其实也可以看到它们相同的地方，那就是都可以分为两部分（学生自己总结的）：这两部分开口大小不同，方向相反则为抛物线或双曲线，开口相对并结合起来就是椭圆. 这样的理解虽然有些粗糙，但因其是学生基于已有知识进行的思维，因此不失为学生构建关于圆锥曲线的有效的默会知识.

3. 第三种情况：问题解决中的思维场营造策略

问题解决是高中数学学习的重头戏，问题解决的挑战也在于问题的抽象性. 因此日常训练中，教师要培养学生善于将抽象的数学描述转化为形象的数学思维加工对象的过程，这也需要思维场的支撑. 这一点，实际教学中教师努力较多，笔者不赘述，简单举一例吧，苏教版“圆锥曲线”教材中，介绍了“圆锥曲线的光学性质”这一内容，学生很感兴趣，在知识的学科迁移中可以对本章知识的理解进一步深化，教师利用一点时间跟学生一起研究这一内容，收获必定良多.

■思维场的最终指向应是学生的数学思维

思维说到底是学生的思维，因此思维场说到底应当是面向学生的数学思维，由教师去努力构造的能够促进学生思维的情境.

笔者的经验表明，当教师致力于培养学生的数学思维时，就已经触摸到了高中数学教学的大门上的锁，而如果知道培养学生的数学思维需要类似于“场”的支撑，那就是找到了打开数学大门的钥匙. 只有当数学思维培养的意识立足于学生时，亦即通过学生自身的努力去使得他们的数学思维得到发展时，数学教学才是真正有效的.

思维场其实只是数学教学研究中生成的一个促进教师与学生对数学形成深刻理解的概念，其本质上还是通过思维的发展去形成数学抽象能力、直观想象能力、逻辑推理能力、数学运算能力、数学建模能力、数据分析能力，而这些正是数学学科核心素养的重要体现.