活动导学，分层探究，自然生成

石鹏

[摘 要] “任意角”是苏教版必修四“三角函数”的起始课，也是三角函数的重要概念，借助于“活动单导学”模式，设计相应活动产生认知冲突，激发学生学习的必要性和兴趣；设计相应活动引导学生自主探究角的定义、角的概念的推广、象限角等，体验自主探究过程的乐趣；设计相应活动引导学生自主探究终边相同角，体验学习过程拓展性；设计相应活动巩固新课知识，体验学习过程的应用性，让学生最终掌握相关的知识并提高相应的能力.

[关键词] 任意角；活动导学；自主探究

■基本情况

1. 学情分析

授课班级为某一重点高中的高一实验班，学生的数学基础比较好，课堂教学气氛比较活跃，绝大多数学生敢于质疑，勇于表达自己的思想，同时也能大胆地回答问题或者提出问题；同学间相互讨论、相互研究、相互合作的气氛浓厚，但也有少部分学生数学学习的主动参与性欠缺，在课堂上作教师和其他同学忠实的听众，这需要教师在日常的教学中加以引导和培养. 由于笔者在平时教学过程中利用了活动单导学模式，在教学过程中设置了相应的活动让学生探索新的知识，因此在探索活动中，学生的思维过程得到了暴露，学生开放性地接收到了新的知识.

学生在苏教版必修一的课本中，已经学习了一次函数、二次函数、幂函数等相关概念，他们对概念的学习已有比较好的接受方式；同时他们在初中已经学习了角的概念，不过只局限于在0°到360°. 本节课先设计一些活动和问题用于激发学生的认知冲突，让学生体会到已有知识和新知识的学习任务不一致，从而吸引学生的注意力，激发认知内驱力；再设计一些学生熟知的、直观的，易理解、易接受的探究活动，提升学生的学习兴趣，增加学生感性体验；最后设计一系列与概念相对应的探究活动，给学生一定的时间和空间，让学生独立思考、自主探究、合作讨论，然后全班交流，让学生通过活动单导学，自己探究出推广后的角的定义及角的表示方法.

2. 教材分析

“任意角”是必修四“三角函数”的起始课，而三角函数是描述客观世界周期性变化规律的重要模型，在高中数学以及整个数学领域具有重要的作用，在高考数学中也占有不少的分值；同时三角函数也是在学习了对数函数、指数函数、幂函数等基本初等函数后学习的最后一个基本初等函数. 任意角这一课主要处理：①角的概念的推广；②任意角、正角、负角、零角、象限角、轴线角以及终边相同的角的概念.

教学目标：①理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意；②能在0°到360°范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角；③能写出与任一已知角终边相同的角的集合.■

教学重点：角的概念的推广，终边相同角的集合.■

教学难点：任意角、正角、负角等概念的形成过程.

■教学过程

1. 活动一：角的概念的推广

问题1：在体操、跳水比赛中，常听到“转体720°”，这里的角度是一个什么含义？

学生回答：旋转两圈.

设计意图：突出知识产生的背景及其与现实的联系，揭示学习的必要性，激发学生的学习兴趣.

问题2：初中所学的角在0°～360°间，已适应不了实际的需要，角的概念需要重新定义，那又如何定义呢？

学生方便地得出：一条射线绕端点旋转而成的图形.

（1）角的定义：一个角可以看作平面内一条射线绕它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边. ■

设计意图：①温故而知新，通过具体生活实例打破学生原有的角不大于360°的认知，引发学生认知冲突. ②让学生先认识到生活中存在大于360°的角，然后再考虑如何完善角的概念，如何度量新的角.

问题3：挂钟慢了5分钟，如何调准？快了5分钟呢？

学生回答：慢了，将分针顺时针转30°；快了，将分针逆时针转30°.

设计意图：让学生意识到，为了有效刻画现实中的各种角，数学意义上的角不仅仅可以区分大小，也可以区分方向.

问题4：这两个角度一样吗？如何区别表示？（引导学生类比正数、负数，构建概念）

学生自然得出了正角、负角、零角的概念，从而将0°～360°的角推广到了任意角. 角的概念的推广：按逆时针方向旋转的角为正角，按顺时针方向旋转所成的角为负角. 如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角. ■

设计意图：学生应类比正数、负数，构建正角、负角的概念，强化类比思想和方法的应用. 为了方便，数学上有许多约定俗成的概念，如规定：按逆时针方向旋转的角为正角，按顺时针方向旋转所成的角为负角. ■

问题5：试用图示表示α=420°，β= -150°，并描述一下你是怎么作出来的.

图略.

设计意图：通过作图操作，让学生进一步理解任意角的概念，同时让他们感知没有统一标准时，角表示得不便，体会引入象限角的必要性.

2. 活动二：数形结合，探究象限角

问题1：如何比较几只笔的长短？

學生回答：将笔的一端（起点）放在同一平面上.

设计意图：为后面角放在象限里研究埋下伏笔.

问题2：我们为了方便研究许多角，是借助怎样的平台来研究的？

在平面直角坐标系中（学生回答不出，教师讲解）.

设计意图：让学生讨论认识到，寻找“平台”是认识和刻画事物和研究问题的常用方法.

问题3：把角放到平面直角坐标系中，如何放置既简单又合理？放置后，对任意一个角，终边有可能在哪些位置？

学生讨论合作后就能得到象限角与轴线角的概念. 象限角：角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限的角. 轴线角：终边落在坐标轴上的角. ■

设计意图：把角放在直角坐标系里研究，研究角就有了统一的平台. 让学生认识到，面对一个庞大的群体，分类是经常的、必要的事件. 这样既增强了学生学习的积极性，又强化了知识的整体性与联系性.

问题4：在平面直角坐标系中画出下列角：-300°，-150°，-60°，60°，210°，300°，420°，并判定它们在第几象限.

设计意图：由于角的范围变大到任意角，如何用简单的图形来表示，让学生自己动手画图体会，学生之间交流讨论心得，体会把角放到直角坐标系内给研究角带来的方便和好处. 通过自主探究，这样得到的结论更有意义，体现了学习过程的理解性.

3. 活动三：学以致用，探究终边相同角的表示

问题：在同一坐标系中作出下列各角：30°，210°，-330°，390°，750°.

（1）其中哪些角终边相同？

（2）从作图上看，和30°终边相同的角有什么关系？

（3）从数量上看，和30°终边相同的角有什么关系？能用集合表示吗？若能请用描述法表示.

（4）你能写出终边相同的角的表达式吗？

（5）如何用集合表示与角α终边相同的角？

一般地，与角α终边相同的角的集合为__________.

设计意图：终边相同的角的关系及其表示是本节课的难点，为突破这一难点，设置由易到难、从特殊到一般的子活动，引导学生通过作图可以发现它们的终边旋转相差若干周，从而便容易发现在数量上相差k·360°. 經历这一探索过程，这样得到的知识与技能更加牢固，理解更加深刻，体现了学习过程的拓展性.

4. 活动四：数学应用，巩固新知

问题1：在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：（1）650°；（2）-150°；（3）-990°15′.

问题2：已知角α与240°角的终边相同，试探究■是第几象限角，2α是第几象限角.

设计意图：通过解决问题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角，体现了学习过程的应用性.

5. 活动五：课堂小结，提炼升华

（1）知识结构：任意角（正角、负角、零角）？圯象限角（终边所在的象限）？圯与角α终边相同的角的集合S={ββ=α+k·360°，k∈Z}.

（2）思想方法：①数形结合：静态向动态扩充，形成任意角；②化归思想：形成终边相同的角的集合；③分类讨论：由k得不同的取值确定第几象限角.

（3）探究途径：独立思考、动手操作、合作探究.

设计意图：突出教学目标，不仅要进行知识的小结，还要对思想方法进行小结；体现知识间的联系，帮助学生构建知识系统的结构，对数学思想和思维进一步提升.

6. 活动六：课堂检测

（1）下列哪些角与30°角的终边相同：

①？摇210°？摇 ②-330°？摇

③945°？摇？摇 ④-650°

（2）下列命题中正确的是（ ）？摇

A. 第一象限角一定不是负角

B. 小于90°的角一定是锐角

C. 钝角一定是第二象限角

D. 第一象限角一定是锐角

（3）在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：

①-55° ②395°8′ ③1563°

（4）若α是第四象限角，试分别确定-α，180°+α，180°-α是第几象限角.

设计意图：课堂时间充裕则对学生进行检测，主要考查学生对知识把握的情况.

■回归与反思

1. 设计思路

在设计本节内容的教学过程中，笔者决定运用“活动单导学”的教学模式，设计相应的活动引导学生自主探究、自主讨论、自主合作交流、自主生成相应的概念，让学生经历概念的探究和生成过程. 主要依据有以下几个方面：

（1）“活动单导学”的教学模式在我市开展了十年时间，这些学生从小学开始就已经接受了这种教学模式，这些学生是笔者从高一带上来的，笔者知道他们的学习经验和学习能力，完全能够胜任解决所设计的相关活动.

（2）在课堂的引入过程中，设计前两个问题，引入新的认知，紧扣角的定义的本质之一“旋转”埋下伏笔；设计后两个问题，紧扣角的定义的本质之二“方向”，为零角、正角、负角打下基础，有利学生学通过自主讨论、合作、交流、探究等提炼出相关的概念.

（3）在知识的形成的过程中，设计相应的问题，引导学生意识为什么要引入概念，为什么要这样定义概念等，突出概念产生的原因，从而引导学生自然而然地将角的静态定义生成为动态定义. 对“角为什么要放在直角坐标系中研究”，可能由于缺少相关的知识和能力，采用了部分探究的方法，提高了探究的有效性.

（4）在知识的运用过程中，对例题和习题的选择，注意到数量恰当、难度适中，并且要具有典型性、代表性，同时避免同类型题的简单重复. 对例题和习题的处理，可让绝大多数学生完成后，请几个成绩中等或中等偏下，以及在一些题目中出现典型错误的学生，同时板演所有题目的答案. 如果正确，就不讲或进行简单的点评；如果错误，让学生讨论纠正、自主讲评，教师引导、总结、提炼.

（5）在课堂小结的过程中，可以在教师的引导下，让学生进行自主小结，也可以是教师自己进行总结.课堂小结要突出教学目标，突出教学要点，不仅仅要对知识进行总结，而且对与本堂课有关的思想方法进行总结.

（6）在课堂检测的选题过程中，课堂检测可以帮助学生加深和巩固本堂课的知识、方法等，同时也能帮助学生形成相关的技能和解决问题的能力. 不仅如此，也能检测到学生的学习水平，让教师及时了解到学生对知识的掌握情况，以便在后续教学中进行纠错和补偿.

2. 反思

从教学的过程与结果来看，本堂课基本实现了笔者的活动单所设计的内容，课堂进展比较流畅，学生基本能通过自主探究、小组合作、讨论交流，发现角的概念推广的必要性，能够完成相应概念的生成，能够对相关知识进行应用. 这节课学生不仅增加了知识，培养了思维，提高了数学的素养，还让所有的学生都产生了成就感，在教师的引导下构建了新的数学知识体系.

由于课堂时间的有限以及学生的个体差异，在课堂引入部分，没有充足的时间进行举例，没有给学生足够的想象空间，这样由于部分学生的认知水平的限制，在构建“角”的过程中，容易产生表面化、片面性的理解，不利用他们对实例共同特征的归纳、概括以便形成角的定义，更不能让学生很好地认识和把握概念的准确内涵.