“问题导学”教学模式下圆锥曲线中斜率之积问题的教学案例及反思

宋东胜 邓城

[摘 要] 本文通过对圆锥曲线中斜率之积问题的教学现状分析，在“问题导学”教学模式的理论指导下，利用超级画板软件辅助教学的优势，设计了针对性的专题教学课，并在教学实践中进行初步反思.

[关键词] 问题导学；圆锥曲线；超级画板

■问题的提出

圆锥曲线中有许多优美且重要的性质，然而，现行教材只讲了圆锥曲线最基本的性质，其他部分性质仅以例题或习题的形式出现，其背后隐藏的本质规律在教学大纲中没有教学要求，这对于减轻大部分普通学生的学习压力来说有一定的作用. 但由于应用某些性质、结论，往往能快速地解决看起来颇为棘手的问题，并且许多高考题也经常以某些性质作为命制背景，因此从考试这根指挥棒出發，在教学中根据学生的学习水平适当地补充一些常见性质是可取的，也是常见的. 但笔者在实际教学中却发现，对于教师补充的性质、规律，学生掌握得并不好，一是印象不够深刻，容易遗忘；二是学生对于补充的性质一知半解，不会灵活应用. 原因何在？笔者认为，其中一个重要的原因是，教师没有把额外添加的教学内容进行合理地教学设计，只是生硬地强加给学生，且没有后续的强化训练. 鉴于此，笔者近年来在数学信息技术软件——超级画板的支持下，对圆锥曲线中补充性质的教学进行了初步探讨和实践，现以圆锥曲线中斜率之积为定值的问题为例，“晒出”一个经过初步思考和实践的教学案例，以期起到抛砖引玉的作用.

■学情分析

笔者所在学校为国家级示范性高中，学生的学习基础相对较好. 近年来，学校推行“问题导学”教学模式，教师注重问题的设计和引导，大部分学生养成了自主学习、合作探究、展示交流的学习习惯，良好的教学生态环境逐渐形成. 此时，学生已经学完圆锥曲线章节的内容，开始进行章节复习. 大部分学生对圆锥曲线中基本概念、基本性质的理解比较到位，能够使用定义解决某些简单问题，也对“点差法”和“设而不求”的方法有了一定的理解和应用. 学生存在的问题主要有：对圆锥曲线中的运算问题不够熟练，对多个变量中蕴含的关系难以寻找，部分学生还因圆锥曲线内容的繁难存在惧怕心理.

鉴于以上情况，笔者在“问题导学”教学模式理论的指导下，充分借助信息技术辅助教学的优势，设计并执教了如下专题教学课.

■教学设计和教学过程（节选）

（说明：本专题教学课需2课时，课堂上给了学生较多的自主探究和合作学习时间）

【问题1】？摇 （课本原题再现，人教版选修2-1 P41例3）设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM与BM交于点M，且它们的斜率之积是-■，求点M的轨迹方程.

设计意图：刚开始复习时，要从基础开始，循序渐进. 课本中的经典例题反映了核心概念和解题的基本方法，许多高考题的题根就来自课本，本题简单却又蕴含着背后的一系列规律，可以从此题出发，顺藤摸瓜，温故而知新.

生1：（用直接法解答）设点M的坐标为（x，y），表示出直线AM，BM的斜率，然后相乘易得点M的轨迹方程为■+■=1（x≠±5）.

师：很好，轨迹是个挖掉左右两顶点的椭圆. 那-■与椭圆方程中的a，b，c有什么关系呢？

生2：-■=-■.

师：如果题目中的条件由“斜率之积是-■”改为“斜率之积是-■”，结果如何？

生3：结论仍然是挖掉左右两顶点的椭圆，不过结论会变成■+■=1（x≠±5），且-■=-■.

师：反过来，已知椭圆方程为■+■=1（a>b>0），椭圆上的一点P（不是左、右顶点）与长轴两端点连线的斜率之积是定值吗？

生4：是，且斜率之积是-■.

（教师用超级画板演示点P在椭圆上运动时斜率之积为定值的情况，于是很自然就得到下面的性质1）

性质1：椭圆■+■=1（a>b>0）上任意一点P与长轴两顶点连线的斜率之积为-■.

师：如果a=b呢？

生5：a=b时就不是椭圆而是圆了，但此时仍有斜率之积为-1=-■.

【问题2】？摇 椭圆具有这个性质，那双曲线呢？结论一样吗？

学生跃跃欲试，很快就发现双曲线中也有类似的性质，教师继续用超级画板展示，得出性质2.

性质2：双曲线■-■=1（a，b>0）上任意一点P与实轴两顶点连线的斜率之积为■.

例1：设A，B是椭圆■+■=1长轴的两个端点，C，D是垂直于AB的弦的端点，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程是__________.

设计意图：笔者在课前曾将此题给几个基础一般的学生做，结果他们觉得题目中的变量较多，不知道解题方向. 基于此，笔者选取此题引导学生加强对解析几何中“斜率”这个核心概念的重视和感悟.

生6：可根据题意画出图1. 由已知不妨设A（-3，0），B（3，0），C（x1，y1），则D（x1，-y1），再设交点M（x，y）. 由A，C，M三点共线，得■=■ ①；又D，B，M三点共线，所以■=■②. ①×②得■=■. 因为■+■=1，所以■=■. 所以■=■. 所以点M的轨迹方程是■-■=1.

■

图1

师：不错！这个方法利用三点共线表达出斜率后将①②相乘再化简，变化巧妙，但不容易想到. 刚才，我们发现了新的性质，现在有更快的方法吗？

生7：注意到A，B是椭圆长轴的两个端点，且由椭圆的对称性有kMB=kMD=-kCB，利用性质1，有kCAkCB=-■，所以kMB·kMA=-kCB·kCA=■=■. 故点M的轨迹方程是以A，B为顶点的双曲线，方程为■-■=1.

师：漂亮！大家是不是还感觉意犹未尽呢？请看下面的变式题，刚才还没反应过来的同学，这次可要抓紧机会啦！

变式题：设A，B是双曲线■-■=1实轴的两个顶点，C，D是垂直于AB的弦的端点，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程是__________？摇.

【问题3】？摇 把两顶点换成其他两点，那么斜率之积还会是定值吗？例如A，B是椭圆上关于原点对称的两点.

设计意图：性质1和性质2是基础，同时A，B为顶点的条件要求太高，现改变条件，扩大范围，引导学生跳出原有的思维定式尝试探究新情境下的问题，提升学生的迁移能力. 另外，考虑到学生的实际能力和教学时间限制，同时也为了增强学生的直观感受，可利用超级画板展示实验过程，必要时请学生操作，在实验中进行观察，得出猜想，然后让学生加以证明，尽量让所求问题处在学生的“最近发展区”内.

教师利用超级画板给学生演示实验（图2），移动点P，发现仍然有结论kPA·kPB=-■. 转动AB，结论仍然成立！

■

圖2

学生在对结论感到惊讶之余，也对证明该结论有了征服的欲望和成功的信心. 通过运算，易得下面的性质3和性质4.

性质3：已知A，B是椭圆■+■=1（a>b>0）上关于原点对称的两点，P是椭圆上一动点，则有kPA·kPB=-■.

性质4：已知A，B是双曲线■-■=1（a，b>0）上关于原点对称的两点，P是双曲线上一动点，则有kPA·kPB=■.

例2：已知双曲线■-■=1（a，b>0），过x轴上一点P的直线l与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN. 若∠MPO=60°，∠MNQ=30°，则该双曲线的离心率为（ ）

A. ■？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 B. ■

C. 2？摇？摇？摇？摇？摇？摇 D. 4

设计意图：学生在本题若是用常规解法，通常不知从何处下手，有“山穷水尽疑无路”之感，但在学习了性质4之后，则有“柳暗花明又一村”的舒畅.

生8：如图3，注意到M，Q两点关于原点对称，且点N在双曲线上，由性质4则有kNQ·kNM=■. 由∠MPO=60°得kNM=tan（180°-∠MPO）=tan120°=-■，由∠MNQ=30°得kNQ=tan（∠OPN+∠PNQ）=tan（120°+30°）=-■，故有kNQ·kNM=■=1，所以离心率e=■=■，选A.

■

图3

变式1：已知直线y=■x与椭圆C：■+■=1（a>b>0）相交于A，B两点，若椭圆上存在点P，使得△ABP是等边三角形，则椭圆C的离心率e=__________.

设计意图：本题的条件比例2更加隐蔽，更能锻炼学生的观察能力和灵活使用性质的能力.

教师先展示常规解法：如图4，由y=■x，■+■=1 ？圯x2=■，y2=■，所以OA2=■. 由题设，直线OP的方程为x= -■y，由x=-■y，■+■=1？圯x2=■，y2=■. 所以OP2=■. 所以■=■=3，即■=3，解得e=■.

■

图4

师：有没有其他思路？

生9：设y=■x的倾斜角为θ，则有tanθ=■，k■=tan∠AED=tan（θ+60°），kPB=tan∠ODB=tan（θ-60°），所以kPA·kPB=tan（θ+60°）·tan（θ-60°）=-■. 又由性质3得kPA·kPB=-■，所以■=■. 所以e=■.

变式2：已知直线y=■x与双曲线C：■-■=1（a，b>0）的左、右两支分别交于A，B两点. 若双曲线上存在点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则双曲线的离心率e=__________.

（注：考虑到课堂时间限制，可将此变式作为课后练习题，此题的图如图5）

■

图5

例3：已知椭圆■+■=1，A，B是其左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A，B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP，MQ的交点，则点Q的坐标为？摇_________.

生10：如图6，因为以MP为直径的圆经过直线BP，MQ的交点，所以kMQ·kPB= -1. 又因为点P在椭圆上，所以kPA·kPB= -■=-■. 所以■=4. 又kMQ=■，kPA=kMA=■=■，所以■=4. 所以QB=2. 所以点Q的坐标为（2，0）.

■

图6

【问题4】 前面的性质均可通过类比圆获得，那么在椭圆中动弦AB的斜率与谁有关呢？

设计意图：引导学生继续通过类比思想发现其他有关斜率之积的性质，并在证明中强化学生“点差法”和“设而不求”的解题方法.

生：类比圆，椭圆有动弦AB的斜率与其中点M和椭圆中心O连线的斜率之积为定值.

师：定值为多少呢？

生11：类比前面的性质，椭圆中应有斜率之积为定值kOM·kAB=-■.

师：如何证明呢？

生11：可以使用“设而不求”的方法，即先设动弦AB的直线方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，再根据韦达定理……

生12：涉及中点的问题可以考虑使用“点差法”！

师：那请同学们动手证明一下，看看哪种方法快些.

一番证明后，同学们很快发现，用“点差法”简单快捷，且容易得到性质5.

性质5：椭圆■+■=1（a>b>0）上有不与两坐标轴垂直的弦AB，M为AB的中点，则有kOM·kAB=-■. （注：可以告诉学生2015年全国Ⅱ卷第20题第（1）问就是证明这个性质）

类比前面的性质，再次使用“点差法”，同样可以得到双曲线的类似性质（性质6）.

性质6：双曲线■-■=1（a，b>0）上有不与两坐标轴垂直的弦AB，M为AB的中点，则有kOM·kAB=■.

教师通过超级画板演示性质，加深学生的直观印象.

师：有了这个性质，我们可以快速解决与弦中点有关的圆锥曲线问题，请看下面的例题.

例4：（2013年全国Ⅰ卷第10题）已知椭圆E：■+■=1（a>b>0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为（1，-1），则E的方程为（ ）

A. ■+■=1？摇 B. ■+■=1

C. ■+■=1？摇？摇？摇 D. ■+■=1

师：原来我们要用什么方法做这个题目？

生13：“设而不求”方法或者“点差法”，但现在直接利用性质5更快，几乎可以口算出答案！kAB=■=■，kOM=-1，所以有kOM·kAB=-■=-■，所以■=■. 只有D选项符合要求.

师：继续使用类比思想，椭圆的弦AB变成切线时有何结论？

生13：椭圆中心与切点连线的斜率和切线的斜率之积仍为定值-■.

师：没错，同学们不妨把相切看成性质5的特殊（极限）情形，弦AB的斜率变为切线的斜率，OM的斜率变为O与切点连线的斜率，于是结论仍然成立. 也可以类比圆得到结论.

通过超级画板容易验证，无论是椭圆还是双曲线，弦变切线时结论均成立，性质如下.

性质7：直线l为椭圆■+■=1（a>b>0）的一条切线，M为切点，则有kOM·kl= -■.

性质8：直线l为双曲线■-■=1（a，b>0）的一条切线，M为切点，则有kOM·kl=■.

例5：（2016年郑州模拟）如图7，内、外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为■+■=1（a>b>0），若直线AC与BD的斜率之积为-■，则椭圆的离心率为（ ）

A. ■？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 B. ■

C. ■？摇？摇？摇？摇？摇？摇 D. ■

■

图7

设计意图：此题从常规解题思路入手，非常烦琐，但使用前面的新性质和应用类比的思想能快速迎刃而解，可以考查学生对前面性质的掌握情况和迁移能力.

学生通过自主探究和合作交流，得到了以下解法.

解法1：应用类比思想，将椭圆类比到圆，按原条件作图，如图8. 易证此时直线AC与BD垂直，kAC·kBD=-1，伸缩变换回原题中的椭圆，则应有kAC·kBD=-■= -■，故所求离心率e=■，选C.

■

图8

解法2：应用特殊化思想. 注意到椭圆的对称性，过点B作椭圆的另一条切线BD′，有kBD=-kBD′，考虑到直线AC与BD的斜率之积为-■，是定值，而内、外椭圆只是离心率相同，因此可使用极端值法，调节内层椭圆的大小，使切线BD′与AC共线，此时有kAC=kBD′=-■，故由kAC·kBD=-■得-■=-■，故所求离心率e=■.

解法3：利用前面所学性质. 由内、外层椭圆的离心率相同，可设外层椭圆方程为■+■=n，切点C（x1，y1），则切线AC的方程為■+■=1. 因为A（a■，0）在切线AC上，所以■=1. 所以x1=■. 又因为C（x1，y1）在椭圆■+■=1上，所以y1=b■. 故kOC=■=■■. 又由椭圆的性质kOC·kAC=-■得kAC= -■. 设D（x2，y2），则切线BD的方程为■+■=1. 因为B（0，b■）在切线BD上，所以y2=■. 又因为D（x2，y2）在椭圆■+■=1上，所以x2=-a■. 故有kOD=■=-■. 又由椭圆的性质kOD·kBD=-■得kBD=■■. 所以kAC·kBD=-■=-■. 所以e=■.

师：事实上，前述的求解过程也证明了一个相似椭圆的性质.

性质9：如图7，内、外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为■+■=1（a>b>0），则直线AC与BD的斜率之积为定值-■.

■几点反思

教师的教以学生的主动学习为基础. 首先，学生是认识的主体；其次，学生的学是教师教的出发点和归宿. 那么，如何激发学生主动学习的积极性呢？笔者认为，精心设计好问题是前提，导学得当是关键.

数学家哈尔斯说：“问题是数学的心脏.” 圆锥曲线中的斜率概念是核心概念，它用代数形式刻画了直线的位置，许多圆锥曲线的性质都涉及斜率. 其中，斜率之积为定值的问题在教材中以例题的形式出现，但并没有“点破”隐藏在问题背后的本质规律，正如本文开头所述，教材这样处理有其目的，但这也给部分教师提出了挑战：我们都知道要“用教材教”，那么，面对“喂不饱”的学生，教师应设计怎样的问题，才能激发学生主动探索，一步步拨开迷雾，发现真相？笔者结合教学尝试和实践反思，认为设计问题要做到以下几点.

1. 要“集中火力”，不要“灵机一动”

斜率之积为定值的问题并非教材“规定”的教学内容，笔者以往的做法是将这个问题渗透在平常的圆锥曲线教学中，碰到相关的问题时想到了就提一下，结果造成大部分学生理解地半生不熟，知识网络结构凌乱，碰到类似问题也不懂得应用. 容易出现教师自己感觉讲了很多遍，但学生还是似懂非懂，教学效益低下的情况. 与其这样东一榔头西一棒子，还不如集中火力，设计好一系列关联问题，花费1～2课时的时间逐个击破，让学生得到较为深刻的理解和记忆，而在平常碰到类似问题时，则适当点拨提醒，鼓励学生应用所学的新性质解决问题.

2. 要“铺设台阶”，不要“一步登天”

大部分学生都觉得圆锥曲线问题难度较大，不少学生存在逃避心理，因此在设计斜率之积为定值的问题时，宜从教材中的问题引申提出，由特殊到一般，从具体到抽象，采用问题链的形式，多铺设几个台阶，让尽量多的学生能跟上步骤，也保持学生进一步探索的信心. 笔者反对过早提出总结性的结论，因为这样做会让学生缺乏逐渐发现、逐渐认识的过程，摆在学生面前的性质结论只会成为空洞的、冷漠的一堆数学符号，教学效果可想而知. 笔者也反对不顾学生的理解水平，拔高结论的理解层次. 例如，本文所提的斜率之积问题，站在更高的角度看，是几何中的仿射变换问题，但这对许多学生（个别尖子生除外）来说，不但超出了理解水平，增加了学习负担，还影响了其继续学好解析几何的信心. 笔者认为，通过在“最近发展区”内不断设计好问题，让学生积极尝试，发现性质，并能用类比圆的思想来理解和记忆椭圆和双曲线中的新性质，就可以了.

3. 要“前后类比”，不要“顾此失彼”

圆锥曲线中斜率之积为定值的性质比较多，椭圆和双曲线中都有性质，并且既有弦的情形，又有切线的情形，倘若不注意，不从诸多性质的内在关联和难易变化中精心设计问题的顺序排布，则容易让学生产生混淆，顾此失彼，也记不牢. 笔者在设计问题时，尽量抓住椭圆与圆的类比、双曲线与椭圆的类比、弦的情形与切线的情形类比，有机衔接问题，让学生在类比中触类旁通地解决问题，发现性质.

设计好问题后，如何“导学”成了关键. 问题设计得再好，那也只是预设，学生的学习效果还要看教师如何引导，如何处理课堂中各种问题的生成. 正如有了一流的食材，但给了一个不谙烹饪的厨师，那结果也可能是暴殄天物. 特别是圆锥曲线中斜率之积问题的专题教学存在学习难度较大、结论较多等情况，所以教师在“导学”过程中应注意以下几点.

（1）要注意数形结合思想的强调. 虽然解析几何是用代数的思想解决几何问题，但其本质归根到底还是几何问题，且类比回圆后学生更容易找到椭圆和双曲线中类似的几何特征. 课堂中，教师首先要让学生从数形结合的思想尝试解决问题，且在课终小结阶段引导学生自行画图以表达诸多性质.

（2）宜借助信息技术来辅助教学. 圆锥曲线中的相关性质只靠纸笔画图观察是难以确定量与量之间的关系的，通过超级画板之类的软件，可以便捷直观地进行数学实验，其中量的变化情况能准确测量和记录，从而帮助学生观察变化，发现规律，获得初步的结论猜想. 超级画板也可用于验证证明出的结论，强化结论的理解和记忆. 另外，值得一提的是，解析几何的计算和证明相对来说比较枯燥、烦琐，而超级画板软件的引导则如清风拂面，学生的学习兴趣和专注力会提升不少. 事实上，笔者欣喜地看到，部分学生课余时间都能利用超级画板软件研究起一些解析几何问题来，这也是笔者提倡的“做中学”学习方式.

（3）引导学生从一般和特殊的联系观点来思考问题. 面对问题的一般情形，要引导学生先从特殊情况入手，这样容易找到规律特征. 而面对一个问题的特殊情形，我们还要看一般情形能否成立. 斜率之积为定值的诸多相关性质之间存在着许多一般和特殊的关系，例如性质1、性质2分别是性质3和性质4的特殊情形，性质7和性质8分别可以看成性质5和性质6的特殊（极端）情形. 这样引导，有利于学生加深对性质的理解和应用，也有利于学生在其他内容学习中达到知识的迁移，并最终促进学生自主学习能力的提升.

（4）应注重学习的螺旋式上升，避免揠苗助长. 圆锥曲线中斜率之积为定值的问题属于难度较大的教学内容，预设得再好，在实际教学中也可能出现预想不到的困难. 预设问题碰到學生冷场时，可以适当调整问题难度，退到较为简单的特殊情形，唤醒学生的思维，等待学生意识到前后两个问题间存在某种关联时，再次对原预设问题进行攻坚突破，这也是一种以退为进的策略. 当然，若是退一步，学生还接受不了，则应战略性地放弃，将宝贵的教学时间放在其他问题的突破上，因为有舍才有得. 例如，在本课例的设计中，部分例题和变式题的难度较大，部分学生一下子接受不了很正常，可以先放一放，让学生在后续的学习中再慢慢消化，融会贯通.