关于函数极限一题多解的探讨

2017-03-14曾春花

科技视界 2016年27期

关键词：洛必达法则极限

曾春花

【摘要】函数极限是微积分的基础，求极限更是高等数学中的基本运算之一。本文通过对函数极限例题一题多解的探讨，使学生熟练掌握求极限的方法，并且培养学生数学思维的灵敏性，提高解题能力。

【关键词】极限；等价无穷小；洛必达法则

The Function Limit Discussion on Multiple Solutions to a Problem

ZENG Chun-hua

（School of Mathematical Sciences， Kaili University， Kaili Guizhou 556011，China）

【Abstract】Limit of function is the basis of calculus. Solveing the limit is one of the basic operations of higher mathematics. In this paper， through the function limit example discussion on multiple solutions to a problem， so that students master the method of solveing limit. It raises the sensitivity of students mathematical thinking，and improve problem-solving ability.

【Key words】Limit；Equivalent infinitesimal；Lobidas law

极限理论是高等数学的重要内容，其思想理念贯穿了高等数学的始终，掌握极限的概念和计算是学好高等数学的基础。如何求函数极限是在高等数学教学中的重点，求极限的方法有很多种，如利用极限定义；利用极限的运算法则；利用函数的连续性；利用兩个重要极限；利用等价无穷小量的替换；利用夹逼准则；利用洛必达法则；利用函数的单调有界性；利用微分和积分的中值定理等等。有关求函数极限的论文很多，例如：文献[1-3] 探讨了求函数极限方法、技巧与应用例析；文献[4]研究了函数极限定义；文献[5]陈龙卫讨论了函数极限计算的一般步骤及其在考研数学中的应用。在求函数极限时从不同角度出发，就得到不同的解题方法，本文通过函数极限例题的一题多解，使学生熟练掌握求极限的方法，并且培养学生数学思维的灵敏性，提高分析和解题能力，从而提高学生的学习兴趣。接下来通过例题来进行分析：

例1 求极限

解法一：这是“”型未定式，利用洛必达法则得==n

解法二：先利用二项式定理把（1+x）n展开得

再利用利用等价无穷小量的替换，当x→0时，sinx～x，于是

==C+Cx+…+Cx=n

解法三：利用微分的定义所得的等式，由于（1+x）n=1+nx+o（x），

所以====n

解法四：利用等价无穷小量的替换，当x→0时，sinx～x，（1+x）n-1～nx，于是==n

解法五：利用等式an-1=（a-1）（1+a+a2+…+an-1），于是（1+x）n-1=x[1+（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n-1]

因此==n

例2 求极限（1+）x

解法一：利用重要极限（1+）φ（x）=e和幂指函数的连续性得（1+）=（1+）x=e=1