夯实基础，挖掘潜力，培养数学素养

潘楷佳

[摘 要] 对于学生，数学复习课是必不可少的. 怎么样设计问题才能更有效呢？这些问题必须是能帮助学生夯实基础，挖掘潜力，积累数学经验，能培养学生数学素养的素材. 因此，数学复习课应重视例题的选择及呈现方式的设计.

[关键词] 复习课；例题；开放题；数学思想

问题的提出

裴光亚教授曾说：“复习课是一种特殊的教学方式，如何根据复习课本身的特点，根据学生第二次学习的认识规律，根据复习内容的内在逻辑，来选择恰当的复习方法，还是一个远没有解决的问题”. 特别是初中数学复习课，重要又难上. 因为教材的代数、几何知识技能是递进安排的，而数学思想与方法蕴含在各个章节里，其呈现方式是螺旋上升的. 需要教师适时进行归纳整合，总结提高. 可是，学生的数学学习有明显的个体差异，问题多，数学素养还很低，教师难以把握一节数学复习课的重难点. 事实上，有效地设计数学复习课也正是一线教师一直在探索的课题. 根据皮亚杰的科学认知结构和布鲁纳的学科基本结构原理，复习课模式可以由“知识联系—正例同化—反例顺应—联系强化”四个环节构成，也可以是其他教学模式等. 但是例题如何选择和呈现，才能帮助学生夯实基础、挖掘潜力、培养数学素养呢？笔者结合教学实践谈谈自己对初中数学复习课的理解和做法.

初中数学复习课的现状

初中数学复习课按先后顺序分为章节复习、阶段复习（期中、期末与月考）和总复习；按知识技能可分为概念复习、原理复习、数学思想方法复习与模块复习. 很多一线教师只在公开课、优质课评比时才精心设计复习课，更多的时候是采用作业讲评辅导或以考试代替复习，讲练结合，以应付各种考试，失去了教书育人的本质.

不能调动教师认真上好复习课的原因是多方面的. 从学科角度看有：①工作量大. 一个数学教师一般教2个班，每周12课时，重点学校或私立学校的数学教师带3个班的比比皆是，成天疲于奔命. ②缺乏资源. 教学离不开解题教学，数学课也不缺题目，但能有效挖掘学生潜力、培养数学素养的问题没有现成且适合的，需要教师把学生的问题与教材的重难点知识整合在一起，形成有梯度的能彰显数学思想的问题. 正是因为复习题没有统一的标准，至今没有可共享的资源库. ③教师忽视学情，缺乏问题钻研能力，没有更新教学理念，总是以考试为中心，培養尖子生，不能做到因材施教与分层次教学等.

用新课程理念指导复习课的

设计

1. 《义务教育数学课程标准》（2011版）

教师教学应该以学生的认知发展水平和已有经验为基础，面向全体学生，注重启发式教学与因材施教.

课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生的体验、理解、思考与探索，呈现层次性与多样性.

2. 基本学情

初中生随着数学学习、语言学习的深入，使用文字与符号表达的能力有一定发展. 在分析一些简单问题时也有了抽象思维方式的特征，已具备一定的数感、空间观念、数据分析观念等. 特别是八、九年级的学生，他们对于感兴趣的、具有挑战性的问题表现出很大的兴趣. 但是初中生的心理很不成熟，性格未定型，不能熟练地用数学方式思考问题，仍然属于启蒙阶段的未成年人. 因此，在复习课上，教师需要为其提供多角度理解数学的机会，渗透数学思想，挖掘学生的潜力，提高数学素养.

基于培养学生数学素养的复习

课设计

1. 初中数学复习课的导入

人教版初中数学教学参考书对每一单元的小结都安排了2～3个课时，单元复习课的安排从时间上就有了一定的弹性. 可先设计复习知识点，补缺补漏，再设计巩固提高性的问题. 而阶段复习与总复习时对知识技能的巩固时间可长些. 一般来说，复习课的导入通常有：①用学习任务单（安排知识点及巩固性习题等）导入；②用类比纠错法、实验法、悬疑法等设置问题情境导入，所用问题应容易引起学生的兴趣.

2. 问题的呈现方式

鉴于以上分析，初中数学复习课应遵循以下原则：系统性原则、针对性原则、拓展性原则. 问题的呈现方式应遵循学生的认知规律，由易到难. 内容决定形式，尽量形式多样，可借助多媒体工具动态演示，也可插入微课、微视频辅助教学. 目的是调动全体学生参与，关注学生四基（基本知识、基本技能、基本方法、基本活动经验）的掌握情况以及情感态度的培养等. 其中，数学活动经验的积累是学生提高数学素养的重要标志.

3. 例题的选择

复习课的例题应突出层次性和利于通性通法的教学，设置探索性问题、开放性问题、拓展性问题为宜. 具体选择视教学目标与蕴含的数学思想而定. 每一节课的例题要少而精，开始的问题切入口要低，面向全体学生，逐步拓展深度与广度，而每一次的拓展都要加大思维力度，拓展思维宽度. 故选择探究性与开放性的问题较好，它需要学生展开观察、试验、类比、归纳、猜想等思维活动. 探索性问题不仅可以促进知识技能的掌握，而且更加有利于整体发展和思维品质的全面提高. 开放性问题是培养学生创造精神、创造能力最有价值的问题. 在教学内容展开的过程中，注意生成性资源的利用，及时鼓励学生，能使复习课更具有针对性与有效性，能更好地培养学生的数学素养.

4. 例题的来源

复习课的例题来源主要从3个渠道寻找，改编整合，形成开放性的数学问题，设置变式训练，一题多解等：①来源于作业错题. 学生的错误正是重难点所在，这就为教师发现问题、改编问题提供了一条有针对性的途径；②来源于课本，又高于课本，但拓展不能超越学生的认知水平；③来源于各地中考试卷及数学刊物等. 这样设计复习课例题进行教学，就不再是简单的“知识框图+例题”的形式，而是从学生的问题出发，从生成和内化的角度出发，从学生对开放题的数学思考出发，复习通性通法及数学思想了.

例证1 二元一次方程组的复习.

现有含盐15%的盐水20克，含盐40%的盐水15克，另有足够多的盐和水，要配制成含盐20%的盐水30克. （1）试设计多种方案；（2）如果要求尽可能多地使用现有盐水，应怎样设计配制方案？

说明：本题是一个过程和结论都开放的习题，对学生运算能力、推理能力的培养都很有意义. 人教版初一学生没有学过浓度，故应先向学生解释“含盐15%”的含义是“平均每一克盐水里有盐0.15克”，以启迪思维，有利于培养学生的数学素养.

第（1）小题，直觉上有多种方案可供学生探究交流讨论；第（2）小题，若设含盐15%的盐水x克，含盐40%的盐水y克，则x=24，y=6，但x=24>20是不切实际的，那么怎么设合理呢？上面不合理的x值告诉了学生：含盐15%的盐水都不够用了，可见含盐15%的盐水要全部用上，再配上其他.

例证2 复习一次函数概念与性质.

原题：已知y=（m-1）xm2-2m+8是y关于x的一次函数，求m的值.

变式1：已知y=（m-1）x-2m+8是y关于x的一次函数，图像过一、二、四象限，求m的取值范围.

变式2：已知y=（m-1）x-2m+8是y关于x的一次函数，且1

变式3：已知y=（m-1）x-2m+8是y关于x的一次函数，且m<1，此时y随着x的增大怎样变化？

变式4：已知y=（m-1）x-2m+8是y关于x的一次函数，你能添加适当的条件，求出它的解析式吗？

说明：这是一组变式训练，很多资料上都能见到. 其中变式4是一个开放题：当x=2时，y恒为6，因此，函数y=（m-1）x-2m+8的图像是过定点（2，6）的直线族. 学生只要不是添加m=1或x=2就容易得出函数解析式. 因此，此类题有利于学生数学素养的培养.

案例：人教版初中数学九年级

下“第27章 相似”专题复习

1. 探究过程的设计

探究1：如图1，已知锐角三角形ABC，画2个不同位置的三角形，分别与△ABC相似. 画一画，比一比.

设计意图 这是一个开放性问题，面向全体学生. 切入口低，学生兴趣高. 构造相似三角形，用軸对称、平移、旋转、位似法与截取法等都容易做到. 只要能画出来即可，不必做得很准确. 主要是培养学生空间想象能力、推理能力、动手与合作交流的情感态度.

探究2：如图2，在四边形ABCD中， ∠B=∠C=90°，AB=2，BC=8，DC=5，在BC上是否存在点P，使△ABP与△PCD相似？

（1）若存在，试求出BP长度，若不存在，请说明理由.

（2）若存在点P，你能用画图的方法找到P点的位置吗？试一试，小组讨论一下.

追问1：假设存在点P使这两个三角形相似，但并没有指出对应顶点，怎么办？

追问2：假设存在点P使这两个三角形相似，点P的位置可以用BP的长度来说明，由此就可以设BP=x，但x的值能不能求出呢？

追问3：能不能用画图的方法准确找出点P呢？因为分类了，所以要分别思考画图的方法.

（1）当△ABP ∽ △DCP时，有∠APB=∠DPC，点P的位置如何作出呢？画一画（如图3）.

（2）当△ABP∽△PCD时，有∠APB+∠DPC=90°，从而∠APD=90°，由此，你能想到点P的画法吗？画一画（如图4）.

说明：此题还可以变式为∠B=∠C，不是直角梯形了，其他条件不变，是否还有这样的相似三角形存在？

设计意图 此题来源于作业，是自己改编的一个拓展性问题. 用代数计算方法解决几何问题，体现了数形结合思想，学生普遍感到困难或解答不全面. 题目并没有指出对应顶点，需分类讨论，同时，对存在性问题的一个普遍思路是假设法，学生也不适应. 本题BP=，4±的三个结果不是整数，不便于作图，而用圆和轴对称找出三个P点的位置，学生有很大困难，这里进行了层层点拨. 通过此题的学习，以期培养学生的探究兴趣，提高学生的数学素养，启迪学生的思维.

2. 课堂练习的设计

如图5，矩形ABCD的边AB=4，BC=8，在BC上是否存在点P，使△ABP与△PCD相似？

（1）若存在这样的点P，能找出几个？

（2）若存在点P，则△ABP与△ADP是否也相似？

教学反思

东北师范大学教授史宁中2017年在教师继续教育网上说：“今后的教育教学质量监测应遵循4个原则：①不要求计算速度；②监测内容中蕴含数学素养；③应当有一道开放题；④关注学生的认知规律.”这就是说，新一轮基础教育课程改革，既要面向数学素养的培养，又要面向中高考的评价和选拔. 而教学的最后任务就落在复习课上.

复习课是学生的第二次学习，学生的认知水平参差不齐，所以，复习课上应强调通性通法的解题复习、问题学生的补缺补差、数学思想的再次渗透，既夯实基础又挖掘潜力. 特别地，中考前的复习课还应帮助学生培养良好的心态与各种考试策略. 因初中生数学学习的问题意识、独立意识、探究能力等还不强，故初中数学复习课的教学要精心设计问题，点面结合，兼顾全体和个体差异. 当然数学复习也要注意细节和进行一定量的习题训练.

教师在平时的教学工作中应注意积累素材，以能培养学生的数学素养为抓手去筛题、编题，梳理教材和学生错误，并善于发现且利用好生成性资源. 在课堂教学实施过程中，充分调动学生的学习积极性，探究问题、解决问题，才能帮助学生夯实基础、挖掘潜力，发展学生的数学思维能力，提升数学素养. 另外，教师不仅要面向中考，更要有课题研究的精神，吃透新课标，才能得心应手地上好初中数学复习课.