溯源寻根 有效探究

陈相友 孙军波

摘 要：本文以一道简单的练习题为抓手，深入思考研究获得一般性的结论，进而追溯至圆的性质，发现圆中的一系列“两直线斜率乘积为定值”，类比发现椭圆中相关性质并研究. 透过有效的探究、反思、拓展，使得我们高屋建瓴，进一步领悟问题背景的本质所在及其解决策略.

关键词：解析几何；溯源；探究；反思；拓展；有效

高考试题不仅具有选拔功能，还具有很高的教学价值，在平时的教学中，如何使用高考试题是值得我们研究的问题. 本文以2011年江苏卷第18题、2012年天津卷第19题、2013年山东卷第22题及2013年全国新课标试题为例设计了一堂地区高三复习课，对直线与圆锥曲线位置关系中一类斜率乘积为定值的问题进行解法的总结提炼，追溯问题的源头，探求解法的本质，力求提升学生的能力.

忽视的问题

问题1：已知椭圆C：+y2=1，过椭圆上一点A（0，1）作直线l交椭圆于另一点B，点P为线段AB的中点，若直线AB、OP的斜率存在且不为零，则kAB×kOP的值为________.

分析：该题为某校模拟训练中的一个问题，学生很快会用特殊值的思想给出答案-，如果严格推理，可能会考虑设l：y=kx+1，通过联立方程来解决，不过仔细想一想，再回忆一下中点弦问题，自然也提出点差法：+y=1，+y=1 ？圯+y-y=0？圯kABkOP=-.

“点A在椭圆上”是一个易被人所忽视的一个条件，不过通过计算不难发现点A的坐标并不需要具体给出，只需要满足点A在椭圆上，两直线的斜率如果存在，则斜率乘积肯定为定值-，进一步推广到椭圆C：+=1（a>b>0），这个定值就是-. 这是一个比较特别的结论. 在（2013年新课标Ⅱ卷20题）中平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：+=1（a>b>0）右焦点的直线x+y-=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，求M的方程，就是利用该性质编制的一个题目.

大胆的猜测

对于椭圆的这一性质大家并不太熟悉，不妨再从最特殊的椭圆入手看看，不难发现相应的在圆中就是垂径定理. 顺着这一思路走下去，颇为自然地去思考圆中还有哪些斜率乘积为定值，相应的椭圆中会不会还有类似的斜率乘积为定值呢？

图2

学生提出多种猜想，通过几何画板的研究，初步会得到这样两个猜想：

（1）圆上任意一点P，过P的切线与OP的斜率乘积为-1，

类比：对于椭圆上任一点P，过点P的切线和OP的斜率乘积是否为定值？

图3

（2）？摇过原点的直线AB交圆于A，B两点，圆上任意一点P，PA与PB的斜率乘积为-1，

类比：过原点的直线AB交椭圆于A，B两点，椭圆上任一点P，PA与PB的斜率乘积是否为定值？

图4

严格的论证

问题2：已知椭圆C：+=1（a>b>0），点P为椭圆上除顶点外任意一点，过点P的直线l与椭圆相切，若直线l的斜率为k且不为零，则k×kOP是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

图5

解：设P（x0，y0），l：y-y0=k（x-x0）代入C：+=1（a>b>0）得到

+x2++-1=0. 根據Δ=0可得

-4+·-1=0？圯（a2-x）k2+2x0y0k+（b2-y）=0；

再抓住P（x0，y0）在椭圆上+=1？圯k2+2x0y0k+=0

？圯k+=0？圯k=-得证.

当然如果学生了解椭圆的切线方程是+=1那将可以更快得到结论.其实这一问题就出现在2013年山东卷的最后一题.

（2013年山东卷）椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆截得线段长为1.

（1）求椭圆C的方程；（C：+y2=1求解略）

（2）P为椭圆C上除长轴端点外任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率为k1，k2，若k≠0，试证明+为定值，并求出这个定值.

易得，设P（x0，y0），由+=+=可得+=，利用（问题2）的知识就可解决.

深层的探索

进一步探索另一个结论是否成立：

问题3：已知椭圆C：+=1（a>b>0），过原点的直线l与椭圆交于A，B点，P为椭圆上任意一点，若直线PA，PB的斜率存在且不为零，则kPA×kPB是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

图7

分析：设P（x0，y0），A（x1，y1），B（-x1，-y1），则kPA×kPB=×=.

抓住点P，A两点在椭圆上，利用点差法即可得到kPA×kPB==-.

这一性质就应用在（2012年天津卷19）：设椭圆+=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点. 若直线AP与BP的斜率之积为-，求椭圆的离心率.

不难发现这即是这一性质的简单应用，更有意思的是在2011年江苏卷中，如果我们了解这一背景，将使得原问题快速解决.

（2011年江苏卷）如图8，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆+=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B. 设直线PA的斜率为k，任意k>0，求证：PA⊥PB.

图8

分析：要证明PA⊥PB，即证明kPA×kPB=-1，直接研究二者斜率乘积为-1较为困难，若了解kAB×kPB=-=-，则只需证=2即可. 设P（x0，y0），则A（-x0，-y0），C（x0，0），易得=2.

未完的推广

那么同为有心曲线的双曲线是否也有如此结论.

探索：对于双曲线C：-=1，下列三个斜率乘积是否为定值：

（1）C上任意两点A，B，P为AB的中点，则kAB×kOP是否为定值？

（2）点P为C上除顶点外任意一点，过点P的直线l与双曲线相切，则kl×kOP的值是否为定值？

（3）过原点的直线l与C交于A，B两点，P为C上任意一点，则kPA×kPB的值是否为定值？

类比问题1、问题2、问题3的解决思路，不难得到三个斜率乘积也是定值.

深入的反思

记住结论并非目的，通过高考试题的研究，使用类比和归纳发现新的数学性质，给出一般性的研究方法和解决策略才是我们的目标. G·玻利亚指出：“创造过程是一个艰苦曲折的过程，数学家创造性的工作是论证推理，即证明，但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的.” 本文从练习入手，通过归纳获得一般性的结论，再追溯至圆的性质，发现圆中的一系列“两直线斜率乘积为定值”，类比发现椭圆中相关性质并研究. 透过这些性质研究，使得我们从高处再看高考试题，领悟其中的奥秘和解决策略.

数与形的结合是解析几何解决问题的关键，教师虽然明白这一点，但往往在实际课堂教学中很难抓住. 就目前的高三教学现状而言，我们教师大量选取历年全国各地高考试题进行教学，很多时候仅仅是就题论题进行教学，不能把握问题的本质以及不同问题之间的联系，导致重复地讲解大量的题目，使得复习效率低下，并不利于学生能力的提升，难以达成“提高能力”的目标. 如何充分用好各地高考试题，笔者认为对试题可以考虑从以下几方面进行研究：（1）试题的来源；（2）有哪些解决策略；（3）试题变式、推广和拓展. 通过几方面的研究，把几个问题讲透，可以做到事半功倍的效果.

高考考查学生的能力，题目设计往往是以能力立意. 作为教师，如果能经常引导学生运用合情推理，由此类对象的性质想到彼类对象的性质，从已知的具体结果出发，归纳、抽象出一般结论，然后再对结论进行验证和证明，那么我们的数学教学将会呈现出别开生面的另一番景象，学生的创新精神和创造能力就有机会得到真正的提升.