有关圆锥曲线中的类比探讨

周子君

摘 要：类比是高中数学新教材中新增加的选修内容，本文主要探讨了近年高考、模考中涉及圆锥曲线基本运算、相似性质的类比.

关键词：圆锥曲线；类比

类比是高中数学新教材中新增加的选修內容，由于其方法多样，形式灵活，涉及的知识点较多，正越来越受到出题者的青睐. 圆锥曲线在课本的引入过程中本身就带有类比的特性，如统一定义（第二定义）时比例的类比，还有一些基本量、基本性质的类比等，因此关于圆锥曲线的类比频频出现在近年各地高考和模考试题中.

本文拟对圆锥曲线中较为常见的一些类比进行归类探讨，希望同行赐教.

有关切线类比

1. （1）椭圆+=1（a>b>0）上一点P（x0，y0）处的切线方程为+=1.

（2）双曲线-=1（a，b>0）上一点P（x0，y0）处的切线方程为-=1.

（3）抛物线y2=2px（p>0）上一点P（x0，y0）处的切线方程为y0y=p（x+x0）.

2. （1）过椭圆+=1（a>b>0）外一点P（x0，y0）作椭圆的两切线，切点为M，N，则切点弦MN所在直线方程为+=1.

（2）过双曲线-=1（a，b>0）外一点P（x0，y0）作双曲线的两切线，切点为M，N，则切点弦MN 所在直线方程为-=1.

（3）过抛物线y2=2px（p>0）外一点P（x0，y0）作抛物线的两切线，切点为M，N，则切点弦MN所在直线方程为y0y=p（x+x0）.

离心率类比

1. 如图1，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A为长轴端点，B为短轴端点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”. 类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于__________.

图1

解：如图2，⊥时，BF2+AB2=AF2，即b2+c2+c2=（a+c）2，所以3c2-a2=a2+c2+2ac，得c2-ac-a2=0，所以e2-e-1=0，即e=（负的舍去）.

2.（1）若F1，F2是椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，α，β∈（0，π），则椭圆的离心率e=.

（2）若F1，F2是双曲线-=1（a，b>0）的左、右焦点，P是双曲线上任意一点，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，α，β∈（0，π），则双曲线的离心率e=.

（提示：在△F1PF2中运用正弦定理及圆锥曲线定义即可求得，但需注意绝对值不能丢！）

角的类比

1. （1）过椭圆+=1（a>b>0）的左焦点F任作一条弦AB，若点P为左准线l与x轴的交点，则有∠APF=∠BPF.

（2）过双曲线-=1（a，b>0）的左焦点F任作一条弦AB，若点P为左准线l与x轴的交点，则有∠APF=∠BPF.

（3）过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F任作一条弦AB，若点P为准线l与x轴的交点，则有∠APF=∠BPF.

证明：（1）如图3，过A，B分别作l的垂线，

垂足为C，D，得：==e，所以=. 又AC∥FP∥BD，所以=，所以=，即=，

所以∠APC=∠BPD？圯∠APF=∠BPF.

（双曲线及抛物线仿此证明）

2. （1）若P为椭圆+=1（a>b>0）左准线l与x轴的交点，过P任作一直线与椭圆交于两不同点A，B，F为左焦点，则有∠AFP=∠BFx.

（2）若P为双曲线-=1（a，b>0）左准线l与x轴的交点，过P任作一直线与双曲线交于两不同点A，B，F为左焦点，则有∠AFP=∠BFx.

（3）若P为抛物线y2=2px（p>0）准线l与x轴的交点，过P任作一直线与抛物线交于两不同点A，B，F为焦点，则有∠AFP=∠BFx.

定点类比

1. （1）若P为椭圆+=1（a>b>0）左准线l上一点，过P作椭圆的两切线，切点为A，B，则直线AB必过左焦点F，且PF⊥AB.

（2）若P为双曲线-=1（a，b>0）左准线l上一点，过P作双曲线的两切线，切点为A，B，则直线AB必过左焦点F，且PF⊥AB.

（3）若P为抛物线y2=2px（p>0）准线l上一点，过P作抛物线的两切线，切点为A，B，则直线AB必过焦点F，且PF⊥AB.

更一般地，有

2. （1）若P为定直线l：x=m上一点，过P作椭圆+=1（a>b>0）的两切线，切点为A，B，则直线AB必过定点，0.

（2）若P为定直线l：x=m上一点，过P作双曲线-=1（a，b>0）的两切线，切点为A，B，则直线AB必过定点，0.

（3）若P为定直线l：x=m上一点，过P作抛物线y2=2px（p>0）的两切线，切点为A，B，则直线AB必过定点（-m，0）.

定量类比

1. 过双曲线-=1（a，b>0）的右焦点F（c，0）的直线交双曲线于M，N两点，交y轴于P点，且=λ1，=λ2，则有λ1+λ2的定值为；类比双曲线这一结论，在椭圆+=1（a>b>0）中，则有λ1+λ2的定值为________.

图4

简解：采用特殊位置法. 取如图4特殊位置，λ1=-=，λ2=-= -，所以λ1+λ2=-+=-（一般性证明略）.

2.（1）设AB是椭圆+=1（a>b>0）中与坐标轴均不平行的弦，其所在直线的斜率为k1，弦AB的中点为M，直线OM的斜率为k2，则有k1k2=-.

（2）设AB是双曲线-=1（a，b>0）中与坐标轴均不平行的弦，其所在直线的斜率为k1，弦AB的中点为M，直线OM的斜率为k2，则有k1k2=.

3. （1）已知椭圆+=1（a>b>0），M，N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则k1k2=-.

（2）已知双曲线-=1（a，b>0），M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上任意一点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则k1k2=-.

（提示：设点P（x0，y0），M（x1，y1），N（-x1，-y1），利用点差法可证）

4. （1）已知曲线C1：+=1（a>b>0）与曲线C2：x2=2py（p>0）的交点分别为A，B，曲线C1和曲线C2在点A处的切线分别为l1，l2，且l1，l2的斜率分别为k1，k2，当为定值时，则k1·k2为定值-.

（2）已知曲线C1：-=1（a，b>0）与曲线C2：x2=2py（p>0）的交点分别为A，B，曲线C1和曲线C2在点A处的切线分别为l1，l2，且l1，l2的斜率分别为k1，k2，当为定值时，则k1·k2为定值.

图5

证明：（1）设点A的坐标为（x0，y0），则曲线C1在A的切线l1为+=1，所以k1=-，同样有曲线C2在A的切线l2为x0x=p（y+y0），所以k2=，所以k1k2= -·=-. 又py0=，所以k1k2=-= -=-为定值.

（双曲线类似证明）

另外，由于曲线C2位置的改变，也可以有：

（1）已知曲线C1：+=1（a>b>0）与曲线C2：y2=2px（p>0）的交点分别为A，B，曲线C1和曲线C2在点A处的切线分别为l1，l2，且l1，l2的斜率分别为k1，k2，当为定值时，则k1·k2为定值-.

（2）已知曲线C1：+=1（a，b>0）与曲线C2：y2=2px（p>0）的交点分别为A，B，曲线C1和曲线C2在点A处的切线分别为l1，l2，且l1，l2的斜率分别为k1，k2，当为定值时，则k1·k2为定值.

轨迹类比

1. （1）椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上任意一点，F2在∠F1PF2的外角平分线上的射影为M，则M的轨迹方程是x2+y2=a2（y≠0）.

（2）双曲线-=1（a，b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线上任意一点，F2在∠F1PF2的内角平分线上的射影为M，则M的轨迹方程是x2+y2=a2（y≠0）.

2. （1）设A，B为椭圆+=1（a>b>0）的左、右顶点，M，N为椭圆上两不同点，且M，N关于x轴对称，则直线AM与BN交点的轨迹方程为-=1（y≠0）.

（2）设A，B为双曲线-=1（a，b>0）的左、右顶点，M，N为双曲线上两不同点，且M，N关于x轴对称，则直线AM与BN交点的轨迹方程为+=1（y≠0）.

（此二例是“交轨法”的典例）

恒等式类比

（1）若AB是椭圆+=1（a>b>0）的長轴，直线AC，BD是椭圆过A，B的切线，F1，F2为左、右焦点，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有PF1·PF2=PC·PD.

（2）若AB是双曲线-=1（a，b>0）的实轴，直线AC，BD是双曲线过A，B的切线，F1，F2为左、右焦点，P是双曲线上任意一点，CD是过P的切线，则有PF1·PF2=PC·PD.

在圆锥曲线中还有许多优美的类比结论有待我们去发现，本文只是平时的一些积累，抛砖引玉，期望与同行们一起探讨.