由一道高考题探究圆锥曲线的光学性质及其应用

余晓军

摘 要：精心研制的高考题，知识点都来自教材，但通常让人觉得耳目一新，此谓“源于课本，高于课本”. 本文通过对高考中出现的一类问题的研究，探本溯源，找到了题目在教材上的落脚点，并对圆锥曲线的光学性质进行了证明和应用举例. 获得了解决一类问题的通法，揭示了事物发展的规律.

关键词：圆锥曲线；光学性质；探究；应用

试题背景的呈现

每个精心研制的高考试题，几乎都出生豪门，身价都是很高的，它们往往有一个一般意义上都成立的大背景. 我们首先看一看下面这个试题：

（2010高考（安徽理19））已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=.

（1）求椭圆E的方程（答案：+=1）；

（2）求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程；

（3）略.

图1

对于第二小题，命题组给出的参考解答是：

解法1：由（1）知F1（-2，0），F2（2，0），所以直线AF1的方程为：y=（x+2），即3x-4y+6=0，直线AF2的方程为：x=2. 由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数.

设P（x，y）为l上任一点，则=x-2.

若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0（因其斜率为负，舍去）.

所以直線l的方程为：2x-y-1=0.

解法2：因为A（2，3），F1（-2，0），F2（2，0），所以=（-4，-3），=（0，-3）.

+=（-4，-3）+（0，-3）=-（1，2），所以kl=2，所以直线l的方程y-3=2（x-2），即2x-y-1=0.

解法1利用了角平分线定义，解法2借助了单位向量的性质，实际上这两种解法，都没有涉及这个问题的本质.那么，这个问题的本质到底是什么呢？

接下来我们研究一下第2小题的背景是什么. 如果我们注意到∠F1AB=∠F2AB，不就很容易想到“由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点”吗？于是，这个问题的大背景就在新课程人教A版必修2-1的教材P75“阅读与思考”：《圆锥曲线的光学性质及其应用》这一阅读教材中椭圆的光学性质. 掀开神秘的面纱后，一个触摸问题本质的解法就呈现在我们的面前. 根据光反射原理，光线经过椭圆面反射时反射界面就是过A点的切线，∠F1AF2的角平分线AB就是这条切线的法线，也就是过A点且与这条切线垂直的直线. 于是，我们得到这个问题本质的解法.

解：易知过A点的切线方程为+=1，+=1，切线的斜率为-，故过A点且与切线垂直的直线方程为y-3=2（x-2），即2x-y-1=0.

越是接近本质的解法，就显得愈简洁明了. 数学本质的教学，始终是我们数学教学上的最大追求.

无独有偶，2013年，山东卷高考试题也在这个光学性质背景下，给出了一个压轴题.

（2013高考（山东理22））椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于M（m，0），求m的取值范围；

（3）（略）

略解：（1）椭圆方程为+y2=1.

（2）先看命题组的参考解答：由题意可知，=，

=，

设P（x0，y0），其中x≠4，将向量坐标代入并化简得：m（4x-16）=3x-12x0. 因为x≠4，所以m=x0，而x0∈（-2，2），所以m∈-，.

再看椭圆光学性质背景下的解法：

设椭圆的在P点处的切线方程为+y0y=1，则角平分线PM的斜率为k=，故PM的方程为y-y0=（x-x0），将点M（m，0）代入得，m=x0，而x0∈（-2，2），所以m∈-，.

我们可以看到，在上述突破问题本质的解答中，快速直达的思维量与简单超低的计算量，几乎把该问题直接进行了“秒杀”！

圆锥曲线光学性质的研究

由此笔者不由想起了新课程人教A版必修2-1课本P46上的一个例题，例题中说道“由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点”. 当时在教学过程中一带而过，告诉学生这是椭圆面的光学性质，直接拿来应用了. 看到安徽、山东高考卷上的这两个考题之后，就觉得很有必要对椭圆的这个光学原理进行数学理论上的研究.

【性质1】 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.

证明：设椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于M（m，0），设P（x0，y0），其中x≠a2. 由题意可知=，即=，化简得：m=x0. 由“Δ法”或“导数法”不难求出过椭圆上一点P（x0，y0）的切线的斜率为k=-， k′=kPM==，所以kk′=-1，因此过P点的切线与PM垂直. 椭圆面光反射原理得证.

【性质2】 从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它反向延长线经过另一个焦点.

图4

证明：设双曲线C：-=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线C上除实轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，N在PF1的反向延长线上，设∠NPF2的角平分线PM交C的长轴于M（m，0）.

由题意可知=，=. 设P（x0，y0），其中x≠a2，将向量坐标代入并化简得：m=x0，kPM==-，过点P切线斜率k=，因此kkPM=-1，得证.

【性质3】 经过F点发出的光线，经抛物面反射后变为与对称轴平行的光线；反之，平行对称轴的光线经过抛物面反射后聚集在焦点F处.

证明：设抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，点P是抛物线C上除顶点外的任一点，过P作PN平行于x轴，∠FPN的角平分线PM交x轴于M（m，0）. 不妨设P（x0，y0）（y0>0），因为∠FPM=∠FMP，所以PF=MF，x0+=m-，所以m=p+x0.

过P点切线的斜率k=，kPM==-，所以kkPM=-1，得证.

教材《抛物线及其标准方程》例2中就用到了这个性质. 我们知道高考试题源于课本，但又高于课本，课本是高考题的“策源地”，安徽2010以及山东省2013年高考解析几何解答题的考查真正落实了高考命题的这一特点. 圆锥曲线的光学性质已用我们学过的知识证明了，那么它在解题中有何应用呢？

圆锥曲线光学性质的应用

1. 切线问题应用

例1 已知l是过椭圆C：+=1上一动点P的椭圆C的动切线，过C的左焦点F1作l的垂线，求垂足Q的轨迹方程.

图5

分析：如图5，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，或许借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当烦琐. 由于l是椭圆的切线，切点为P，联想到椭圆光学性质及反射定律，可知：l是∠F1PF2的外角平分线，F1关于直线l的对称点F′2在F2P的延长线上. 这样，由于PF1=PF′2，故F2F′2=PF1+PF2=2a=8，而Q，O分别是F1F′2、F′2F2的中点，所以QO=4. 从而Q点轨迹是以O为圆心，以4为半径的圆. 即Q点的轨迹方程为x2+y2=16.

下面这个问题我们类似地可以用双曲线的光学性质来解决.

已知双曲线的方程为-=1（a>0，b>0），F1，F2为左、右焦点，Q是双曲线上任意一点，过Q作双曲线的切线l，从左焦点作切线l的垂线，垂足为P，求点P的轨迹方程.

图6

2. 光线问题应用

例2 设抛物线C：y2=4x，一光线从点A（5，4）射出，平行C对称轴射在C上的P点，经过反射后，又射到C上的Q点，则P点的坐标是______，Q点的坐标是______.

图7

解：易知P（4，4），F（1，0），设Q（a，b），则=，b2=4a，b2-3b-4=0，所以b=-1或4（舍），所以Q，-1.

例3 从双曲线-=1的左焦点F1处发出的光线，经过该双曲线左支上一点M-，3反射后，反射光线所在直线方程为________.

略解：由双曲线光线性质知反射光线所在直线方程为12x+35y-60=0.

3. 距离问题应用

例4 已知椭圆C：+=1，F1，F2分别为左、右焦点，点Q（2，1），P是C上的动点，求PF1+PQ的取值范围.

解：因为椭圆是封闭图形，所以取值范围既有最小值又有最大值. 根据光线最近传播法则，结合椭圆光线性质可知，从F1发出的光线经椭圆反射后经过Q的光线所经过的路程最短. 利用椭圆定义也可证明，PF1+PF2=2a，PF1+PQ=2a-QF2，P′F1+P′F2=2a，P′F1+P′Q+QF2≥2a，P′F1+P′Q≥2a-QF2，所以PF1+PQ≤P′F1+P′Q. 因为QF2=，所以（PF1+PQ）min=2a-QF2=10-，（PF1+PQ）max=10+. PF1+PQ∈[10-，10+].

類似的，我们可以解决下面这个问题：已知双曲线C：x2-=1，F1，F2分别为左、右焦点，点Q4，，M是C上的动点，求MF2+MQ的取值范围.

圆锥曲线的光学性质是奇妙的，奇妙的背后蕴涵着奇妙的数学关系. 我们只有善于观察，勤于钻研，及时总结，才能闪现更多的灵感，才能在奥妙的数学世界畅游.