例谈数学思想在解析几何中的切入

印金风

摘 要：解析几何教学在一定程度上要将思想方法的教学渗透进去，对解析几何问题用数学思想方法进行结合教学，才能使学生对其理解透彻，真正明白为什么要学习解析几何？为什么要学习思想方法？本文以数学思想在解析几何中的切入为视角，浅要分析解析几何教学中数学思想方法的渗透和运用.

关键词：数学思想；解析几何

解析几何一直是高中数学的重点和难点. 从知识层面来说，解析几何有很多的基本知识，包含直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等概念及其基本性质，这是学生必须掌握的初级学习目标；次级目标是学生要掌握解析几何中曲线之间的知识衔接和整合性问题；解析几何教学的高级目标是使学生掌握该版块中的数学思想方法，通过思想方法看到解析几何最值、范围类问题的数学本质.

对称变换思想

对称变换源自函数. 众所周知在学习函数时，函数的奇偶性是对称变换最基本、最原始的形态. 随着数学知识的深入，对称变换思想也渐渐渗透到高中数学的其他章节，比如：抽象函数的对称变换，排列组合中的位置变换、平均分组，解析几何中的光线问题等.

例1 光线沿直线l1：x-2y+5=0射入，遇直线l：3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.

分析：（1）入射光线所在直线与反射光线所在直线关于l对称；（2）对称点的连线被对称轴垂直平分.

解析：法一：由x-2y+5=0，3x-2y+7=0得x=-1，y=2.所以反射点M的坐标为（-1，2）. 又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设P关于直线l的对称点P′（x0，y0），由PP′⊥l可知，kPP ′=-=. 而PP′的中点Q的坐标为，，Q点在l上，所以3·-2·+7=0.

由=-，（x0-5）-y0+7=0得x0=-，y0=-.

根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x-2y+33=0.

法二：设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0，y0）关于直线l的对称点为P′（x，y），则=-. 又PP′的中点Q，在l上，所以3×-2×+7=0，由=-，（x0+x）-（y0+y）+7=0可得P点的坐标为x0=，y0=，代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0，所以所求反射光线所在的直线方程为29x-2y+33=0.

说明：（1）综合利用物理学知识，利用对称变换的思想方法是求解本题的关键；（2）构建方程解方程组是本题的又一重要方法；（3）坐标转移法是对称变换中常用的方法之一.

方程思想

方程思想是用代数的观念解决几何问题的代表思想. 诸如在解决两个函数f（x）=lnx和g（x）=x2交点的问题时，我们常常可以构造新的函数F（x）=f（x）-g（x），进而研究F（x）的零点即可，这就是将图形问题代数化的典型體现. 另外，此类思想在解析几何初步、立体几何教学（向量法解决角和距离问题）都有着重要的作用.

例2 已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足：∠APB=2θ，且PAPBsin2θ=2.

（1）求动点P的轨迹Q的方程；

（2）过点B的直线l与轨迹Q交于两点M，N，试问x轴上是否存在定点C，使·为常数. 若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由.

分析：（1）本题的突破关键在于双曲线的定义和余弦定理；（2）由条件·建立起带参的方程，利用参数建立的方程解决定值问题.

解析：（1）依题意，由余弦定理得：AB2=PA2+PB2-2PA·PB·cos2θ，

即16=PA2+PB2-2PA·PB·（1-2sin2θ）=PA2+PB2-2PA·PB+4PA·PB·sin2θ

=（PA-PB）2+8，所以（PA-PB）2=8，即PA？摇-PB？摇=2<4=AB（当动点P与两定点A，B共线时也符合上述结论）.

所以动点P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，所以轨迹G的方程为x2-y2=2.

（2）假设存在定点C（m，0），使·为常数，

①当直线l斜率存在时，设直线l为y=k（x-2），联立x2-y2=2得：

（1-k2）·x2+4k2x-（4k2+2）=0，由题意知，k≠±1.

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1·x2=，

于是·=（x1-m）·（x2-m）+k2（x1-2）·（x2-2）

=（k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2=-+4k2+m2=+m2=+m2+2（1-2m）

要使·是与k无关的常数，当且仅当m=1，此时·=-1，

②当直线l斜率不存在时，易得点M（2，），N（2，-），当m=1时，·=-1，故在x轴上存在定点C（1，0），使·为常数.

说明：（1）在解决与解析几何的轨迹问题、离心率问题时，常常借助于解析几何的概念，往往会使得求解轨迹方程的思路简洁明了；（2）本题中定值解法是用方程思想求m值，即围绕“列出m的方程”求m值.

函数思想

解析几何中的求最值、范围等常见问题可围绕通过变量建立函数关系的函数思想来求解，比如可从函数的三大性一窥某些函数关系的性质、利用导数等工具解决稍难的最值问题、利用扎实的函数基本功解决解析几何的难点.

例3 已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴（垂足为T），与抛物线交于不同的两点P，Q且·=-5. （1）求点T的横坐标x0；（2）若以F1，F2为焦点的椭圆C过点1，. ①求椭圆C的标准方程；②过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，设=λ，若λ∈[-2，-1]，求+的取值范围.

分析：求解第2问的关键是建立+关于斜率k的函数关系式，即利用函数思想来解决+的取值范围，其本质是求解函数的值域问题.

解析：（1）由题意F2（1，0），F1（-1，0），设P（x0，y0），Q（x0，-y0），则=（x0+1，y0），=（x0-1，-y0）. 由·=-5，得x-1-y=-5，即x-y=-4①. 又P（x0，y0）在拋物线上，则y=4x0②，联立①②易得x0=2.

（2）①易得椭圆的标准方程为+y2=1.

②容易验证直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=ky+1，将直线l的方程代入+y2=1中得：（k2+2）y2+2ky-1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）（y1·y2≠0），则由根与系数的关系，可得：y1+y2=-③，y1y2= -④. 因为=λ，所以=λ，且λ<0. 将③式平方除以④式，得：++2=-？圯λ++2=-，由λ∈[-2，-1]？圯-≤λ++2≤0？圯-≤ -≤0，所以0≤k2≤.

因为=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），所以+=（x1+x2-4，y1+y2），又y1+y2= -，

所以x1+x2-4=k（y1+y2）-2= -，

故+2=（x1+x2-4）2+（y1+y2）2=+=16-+.

令t=，因为0≤k2≤？摇，所以≤≤，即≤t≤，

所以+2=f（t）=16-28t+8t2=8t--. 而≤t≤，所以f（t）∈4，，所以+∈2，.

说明：我们知道，本题中最终的函数关系是以二次函数为背景的，涉及二次函数图象、性质、最值等基本问题，这足以体现函数思想在解析几何问题中的重要运用. 笔者一直认为，解析几何最值问题的教学关键是函数思想教学，而函数思想教学的根本在于加强函数模型教学，这是极为重要的环节，诸如分式函数的常规处理方式分离常数法，利用基本不等式解决的x+模型，用导数解决更高次的函数最值问题等，掌握好这些内容，对求解析几何最值问题大有帮助.

总之近年来，对高中数学思想方法的考查越来越受到各地高考试卷的重视，教师在解析几何教学的初始就要全面渗透数学思想方面，提升学生通过问题看本质的能力，使其在掌握扎实的双基的同时，将知识点进行有机的整合，最终上升到思想方法的高度进行提炼. 久而久之的磨炼可以提升优秀学生的数学能力和数学素养，用诺贝尔奖获得者李政道教授的话说：“我觉得今天取得自己的一点成就离不开数学的功底，而数学的功底又在于我当年中学时代对数学思想方法的理解和运用，其伴随我研究一生.”