圆锥曲线相交弦的一个共有性质

胡建国

摘 要：本文从人教版教材选修4-4第38页上一道例题出发，给出了此类题的多种解法，并对其进行了推广，得到了圆锥曲线相交弦的一个性质.

关键词：圆锥曲线；相交弦；直线参数方程；弦长公式

【原题】 如图1所示，AB，CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P.两弦AB，CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2，求证：PA·PB=PC·PD.

图1

证明：建立如图1所示的坐标系，设椭圆的方程为+=1（a>b>0）. ①

设∠1=θ，P的坐标为（x0，y0），則直线AB的参数方程为x=x0+tcosθ，y=y0+tsinθ（t为参数）. ②

将②代入①并整理，得到

（b2cos2θ+a2sin2θ）t2+2（b2x0cosθ+a2y0sinθ）t+（b2x+a2y-a2b2）=0. ③

记③式的两根分别为t1，t1，容易得到PA·PB=t1·t2=t1·t2=. ④

同理，对于直线CD，将θ换为π-θ，即得到，

PC·PD = =. ⑤

由④⑤，得到PA·PB=PC·PD.

笔者发现，该结论可以推广到双曲线和抛物线.

【推广1】 AB，CD是双曲线-=1（a>0，b>0）的两条相交弦，交点为P. 两弦AB，CD的斜率互为相反数，求证：PA·PB=PC·PD.

分析：类同于上一题的证明，我们也可以用直线的参数方程解决此题.现设直线的普通方程，用弦长公式推导此命题如下.

证明：设P的坐标为（x0，y0），设直线AB的方程y-y0=k（x-x0），记A（x1，y1），B（x2，y2）.

联立y-y0=k（x-x0），-=1，

得到：（a2k2-b2）x2+2k（y0-kx0）a2x+a2·（y0-kx0）2+a2b2=0；①

得到：x1+x2=，x1·x2=.②

因为PA=x1-x0，PB=x2-x0，

所以PA·PB=（1+k2）（x1-x0）·（x2-x0）=（1+k2）x1x2-x0（x1+x2）+x. ③

把②代入③，得到

PA·PB=（1+k2）-x0+x=（1+k2）·. ④

显然，把④式中的k改为-k，即得到：

PC·PD=（1+k2）=（1+k2）. ⑤

由④⑤，得到PA·PB=PC·PD.

【推广2】 AB，CD是抛物线y2=2px（p>0）的两条相交弦，交点为P. 两弦AB，CD的斜率互为相反数，求证：PA·PB=PC·PD.

证明：设P的坐标为（x0，y0），则直线AB的参数方程为x=x0+tcosθ，y=y0+tsinθ（t为参数）.①

将①代入y2=2px（p>0）并整理，得到

（sin2θ）t2+（2y0sinθ-2pcosθ）t+y-2px0=0. ②

由sin2θ≠0，记②式的两根分别为t1，t2，

容易得到PA·PB=t1·t2=t1·t2=. ③

同理，对于直线CD，将θ换为π-θ，即得到，

PC·PD==. ④

由③④，得到PA·PB=PC·PD.