不等式存在性与任意性问题串教学探讨

罗晓雪

摘 要：对于不等式存在性与任意性问题来说，基础不好的学生学起来比较困难。通过问题串的教学方式，让学生学好这方面知识。

关键词：不等式；存在性；恒成立；问题串

不等式存在性与任意性问题是高中数学的重点，也是难点。笔者认为通过设置一系列类似的问题将难题化为简单问题串题的教学方式能提高学生的学习效率。

给出问题：已知函数f（x）=x2-ax，g（x）=lnx，若？坌x1，x2∈[1，3]都有f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围。

先设置一些简单问题如：

问题1：若不等式x2+ax+1≥0对任意的x∈R+恒成立，求a的取值范围。

问题4：已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=xlnx+1，若？坌x∈[2，3]都有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围。

解析∵函数f（x），g（x）的定义域都为{x|x>0}

∴x2+ax+1≥xlnx+1 ∴ax≥-x2+xlnx（x∈R+）即a≥-x+lnx

要使？坌x∈[2，3]都有f（x）≥g（x）恒成立，只需a≥h（x）max

∴h（x）max=h（2）=-2+ln2 ∴a≥-2+ln2

问题5：已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=xlnx+1，若？埚x0∈[2，3]使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围。

解析∵函数f（x），g（x）的定义域都为{x|x>0}

∴x2+ax+1≥xlnx+1 ∴ax≥-x2+xlnx（x∈R+）即a≥-x+lnx

要？埚x0∈[2，3]使得f（x）≥g（x）成立，只需a≥h（x）min

∴h（x）min=h（3）=-3+ln3 ∴ a≥-3+ln3

通过上面5个问题的铺垫可以解决给出的题目

解析：依题得只需f（x）min≥g（x）max，而g（x）max=g（3）=ln3

本人认为问题串教学有几个好处：

1.充分照顾了学生的发展差异，能够因材施教，通过由简单到复杂的教学方式，把难点简单化。

2.激发所有学生的数学学习兴趣，让学生自己从一道难题中分解出若干个小问题和所需要的知识点，提高学生的学习能力。

3.让学困生觉得自己也不是所有的题都不会，在简单题中建立信心，慢慢地会激发他们的学习兴趣和斗志，他们的学习会逐步提升一个层次。

编辑 杨兆东