例析数形结合直观突破向量模长最值问题

摘要：数形结合思想非常契合于解决平面向量这一同时兼备“数”与“形”的数学问题.通过平面向量的模长最值（或取值范围等）问题的不同类型，结合实例剖析，就数形结合思想的应用加以分析，总结解题规律与技巧策略，帮助考生进行复习备考.

关键词：数形结合；平面向量；模；最值

数形结合思想是实现数学对象中“数”与“形”两者巧妙结合与转化的一种基本数学思想方法，而平面向量自身同时兼备“数”与“形”的基本属性，因而数形结合思想在平面向量问题中的应用显得非常自然.数形结合思想成为解决平面向量问题中一种非常巧妙的思维方式.

1 单一向量的模长最值问题

点评：借助题设中的平面向量的概念、线性运算、数量积以及模长等信息，合理构建几何模型，在几何直观下确定动点的轨迹，为进一步数形结合确定向量的模长最值（或取值范围等）问题提供条件.数形结合可以有效挖掘题中平面向量的代数与几何等方面的信息内涵，为问题的直观处理奠定基础.

2 多个向量线性关系的模长最值问题

点评：从平面向量的几何特征入手，通过数形结合加以直观想象，从平面几何特征层面来研究与平面向量模长最值的相关问题.这里结合平面向量的数量积的几何意义，从射影、垂直等几何视角来直观处理，利用几何图形直观，结合“动”态变化规律来解决“静”态的最值问题.

3 多个向量模长的线性关系最值问题

点评：此题是一道平面向量的综合问题，借助有关平面向量的模恒成立的不等式来巧妙创新设置，从平面几何视角隐蔽创设平面向量之间的位置关系，为进一步的分析与破解提供条件.借助平面向量的“形”的几何特征，数形结合，直观形象来分析与确定，从而破解起来更加直观.

4 创新定义下的模长最值问题

点评：此题是以平面向量为背景，结合平面向量的位置关系、模、数量积以及投影等相关知识，交汇函数的最值问题，借助创新定义来巧妙设置，探讨多元函数的最值问题.抓住创新定义的实质，数形结合建立平面几何模型，图形直观分析，更加具体，更加直接，易懂易操作.

基于此，借助数形结合思想来处理平面向量中的一些相关问题，特别是解决与平面向量的模长范围（或最值）问题，成为培养数学直观想象素养的一种重要场所.依托平面向量中“数”与“形”的有机结合与巧妙转化，给问题的解决开拓一个更加巧妙的视角，对问题的解决、能力的提升以及素养的培养等都是十分有益的.