基于核心素养的初中生几何计算能力培养实践

摘" 要：在学生核心素养的培养要求下，初中几何教学不能过多偏向理论、定义讲解，要以学生的数学思维启发为重点，结合实际题型培养和增强学生的空间几何意识和计算能力，让学生不再畏惧几何题型，实现知识与能力的有效提升。文章阐释了初中数学核心素养内涵，分析了初中几何课程的特点和在初中几何教学中培养学生计算能力的必要性，并通过引入具体题型进行了培养方法的详细探讨，希望能为其他初中数学教师的教学工作提供一定经验参考，进一步提升初中数学教学质量。

关键词：初中数学;核心素养;几何计算能力

一、初中数学学科核心素养的概念

数学教育目标可以分为显性目标与隐性目标两大内容，而核心素养属于隐性目标。数学核心素养主要包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面。新课标明确提出初中生应具备的核心素养包括“抽象能力”“运算能力”“几何直观”“推理能力”“模型观念”等。这就要求初中数学教师应以新课程标准为导向，在初中数学教学中，除了重视学生对数学概念、公式、法则、定理的理解和掌握，更注重启发学生的数学逻辑思维，培养学生灵活、正确运用数学方法，通过准确计算解答数学题型解决实际问题的能力。

二、初中几何课程特点及培养学生几何计算能力的必要性

（一）初中几何课程的主要特点

1. 抽象性。初中几何是一门抽象性很强的学科，它涉及形状、位置、大小和变换等概念，核心在于抽象思维的运用。学生需跨越具象与抽象之间的认知鸿沟，将实际物体的理想化模型与其内在属性相联系。例如，理解“点”无大小、“线”无宽度的概念，以及探索多边形、圆等几何图形的性质，都需要学生在脑海中构建清晰的抽象模型，这不仅考验学生的想象力，还是培养其逻辑思维和问题解决能力的重要途径。2. 系统性。初中几何的教学设计强调知识的系统性和连贯性。通过逐步深入讲解基本概念、定义、公理，再到复杂的几何定理和证明方法，教师引导学生构建起一个由简至繁、层层递进的知识体系。这种系统性的学习过程不仅帮助学生掌握了丰富的几何知识，更培养了他们严密的逻辑思维和推理能力。在解题过程中，学生学会了如何运用已知信息，通过逻辑推导得出未知结论，这种能力在日后的学术研究和日常生活中都将发挥重要作用。3. 图像性。几何学的图像性特征为学生提供了一个直观的学习平台。借助几何图形，学生能够直观观察和分析图形的属性，如角度、长度、面积等，从而更深入地理解和记忆相关的几何概念与定理。图形的直观展示不仅有助于学生形成清晰的空间概念，还能激发他们的创造力和探索欲，培养敏锐的观察能力和空间想象力。在解决几何问题时，图形的辅助能够将抽象概念变得具象化，便于学生从多个角度思考问题，找到解决问题的关键路径。

（二）培养学生几何计算能力的必要性

1. 提高学生空间思维的必要。几何计算需要学生运用几何知识和技巧进行推理和计算，培养学生的几何计算能力可以提升他们解决与形状、位置、大小和变换有关问题的数学思维。2. 提高学生解决生活实际问题的必要。几何计算能力对学生的日常生活有实际应用价值。比如，测量房间的面积、计算建筑物的体积等，都需要几何计算能力。初中几何教学重视学生几何思维及计算能力的培养，有助于学生正确理解、阐释生活实践中的几何类现象和问题，并用于实践。3. 有效助力学生数学知识学习的必要。几何计算能力是学生学习高中几何和其他数学分支的基础，在学生理解和应用更复杂的几何概念和定理时，能起到重要作用。

三、初中几何教学中培养学生计算能力的有效方法

为培养学生的几何思维，提升他们题型解答和计算的能力，在此引入典型例题进行教学方法的探讨。例题如下：如图1所示，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4经过点A（-3，0）和点B（3，2），与y轴相交于点C，请解决以下问题：

1. 求这条抛物线的表达式;2. 点P是抛物线在第一象限内的一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距;3. 在第2小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上的一点，点F是直线AP上的一点，当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标。

图1" 平面坐标系

本题是初中数学中关于二次函数的典型问题。在此之前，学生已经做了一定量的题目，对概率知识也有了一定的认识和掌握基础。但是他们缺乏对知识梳理和计算方法的总结，特别是在对题目条件的抽象与运用、解题时，学生应该掌握一般策略。为此，教师需要在教学中引入几何思维，着重培养学生应用几何知识进行计算的能力。具体教学实践方法如下：

（一）引导学生读图并回顾知识点

在正式讲解本题前，教师可以先让学生认真读题审图，然后结合相关问题来思考。比如，学生读完题干后，从第1问入手，思考应该如何求二次函数的解析式。通过教师的启发，学生容易想到，只需要将A（-3，0）、B（3，2）两点带入，并求解关于a、b的二元一次方程组，就可以得到这个函数的解析式。在充分肯定学生的基础上，教师可以继续提问引导：“本题已经给出了解析式y=ax2+bx+4，所以相对简单，但如果没有给出类似的函数解析式，那么又该如何求解呢？”对这个问题，很多学生在解题实践中存在困难，鉴于此，数学教师需要引导他们深入挖掘题目中的已知条件，应用待定系数法求解函数解析式。教师引导学生认真读图审题并回顾二次函数的三种常用解析式，以及求解函数解析式的常用方法——待定系数法，学生会体会到：做题不仅是将这一道题做好、做对，更为重要的是能够将与本题相关的知识点有机串联起来，达到以题目复习巩固已学知识点的目的。

（二）借助画图分析，点拨学生几何解题思路

“画图分析”是解决几何类问题的基本方法，这一点在第3问中直观体现。通过分析可以发现，第3问的难点完全可以划归到第2问来解决，为此，可采用如下教学方式：首先，让学生结合画图进行分析，学生可以从第2问挖掘出对称这个知识点，进而明白本题的关键就是利用对称知识来求解，由此能够将已知条件中的基本概念或性质转化为等量关系或者几何计算。这样学生可以得到如下解题思路：首先可以得到直线AP垂直平分CD，进而得到AC=AD。然后在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC=AD，从而得到D的坐标为（2，0）。记CD的中点为M，根据点M为线段CD的中点，给出M点坐标，然后求出直线AP的解析式，最后求出截距。

这里还有一个重要问题：P的坐标怎么来确定？对这个问题，教师在教学过程中，应避免习惯性地直接向学生提供方法，给出最终答案。而是应该将问题留给学生，让他们去思考和探索。有一些学生能够想到利用中点坐标的知识，分析得出P的横纵坐标，分别是C、D两点横纵坐标的算术平均值。但是由于教材上并没有这样可以直接使用的结论，因此需要教师引导学生结合比例线段等知识绘出坐标点，再进行解答。

（三）归纳相关知识与方法，培养学生多元几何计算能力

在初中的几何计算中，教师在要求学生做题时，不仅要就题论题，还要将做题的经验进行提炼升华——将计算的方法进行归类、将不同的解法进行对比，从而将初步的感性经验上升到理性的总结、归纳。这个过程也是锻炼学生抽象能力的过程，即不断思考找到问题的本质。为了让学生熟悉并对比不同的方法，教师可以采用如下方法：

首先，让学生思考是否可以不用求解函数解析式来解答本题。一些学生能想到使用中垂线和勾股定理求出截距的方法。那么具体应该如何应用呢？教师可以让学生进行小组探究。多数学生的答案是：从求解点D的坐标入手，假设直线AP与y轴的交点为H，根据中垂线的性质可知HC=HD，这样HD=4-HO，OD=2。在直角三角形HOD中，利用勾股定理即可求出HO的值。这里通过两次使用中垂线的性质和勾股定理，避免了比例线段的使用和直线解析式计算，解法更加简单。中垂线和勾股定理都是学生在八年级下学期学过的几何知识，通过这一方法的使用，学生会再次意识到勾股定理作为几何计算的工具，其功能是极其强大的;后面的中垂线和勾股定理，相当于起到了比例线段和函数解析式的求取作用。通过这样的具体计算，学生能意识到不同运算方法之间的相互替代作用，以及知识之间的联系。

其次，让学生采用不同方法求解问题。在教学中，教师引导学生在求出点D的坐标后，使用三角比求出直线AP的截距。具体而言，学生可以先求出∠OCD的正切值，然后倒角得到∠PAD=∠OCD，进而得到∠PAD的正切值，再利用OA的长度求出直线AP的截距。这里，AP是CD的中垂线，x轴与y轴是互相垂直的，对三角形ACD而言，两条高已经画出来了。如果将三角比的方法和前面去做一个对比，三角比的方法显得更加简洁且计算量更小。当然，这里的三角比也完全可以由一个相似三角形来替代，毕竟三角比就是由相似的直角三角形定义的。事实上，如果学生能够看到三角形和两条边上的高，那么他们就会看到这个图形有着非常丰富的几何性质。这对学生的几何直观能力培养极其重要。学生在观察图形时，要能够去除一些无关紧要的图形，留下重要的图形信息。

为进一步深化学生的解题思维，教师可再次抛出问题：“可以通过不求D点坐标来解决这个问题吗？”部分学生可以想到，利用对称得到角平分线，然后利用角平分线的第二定理，即角平分线对边之比等于两邻边之比。此时提醒学生，角平分线的这条性质并不是定理，在证明或推理的过程中不能直接使用。于是有学生又提出，通过添加平行线，利用8字形来解决;建议直接添加平行线，利用8字形并使用“角平分线上点到角两边的距离相等”这条定理。

在课堂上，教师发现，没有学生使用角平分线结合勾股定理的做法，这一点确实让人非常诧异，因为这个做法是八年级学生最常使用的方法。由于这一方法和第3问的关系相对密切，所以教师对这个方法进行了讲解。课后，对这一点再次进行了反思，学生之所以没有采用这个办法，是因为他们的关注点都在整个图形的右侧部分，尤其是点D的坐标。同时学生没有采用这个方法，也说明他们没有对整个问题的关键点与待求结论进行很好的整合与思考，而是仅根据题目的交代去求相应的点和线段。从此可以看出，数学教师应该锻炼学生在推理和思考中抽象出条件和问题的本质;在直观观察中找出基本的几何模型，避开让题目的表面叙述“牵着鼻子走”。

为了引导学生对解题方法进行对比和归纳，教师询问学生：“知道上述方法的差别吗？”多数学生表示不太清楚。对一个问题的不同解法进行抽象分类、归纳是一件极其困难的事情。学生对这个问题，一定要有深刻的理解，在此基础上提出自己的依据，然后进行分类、归纳。从解题的着眼点来看，基本上是从边和角两个方面进行入手;从大的方法分类看，教师将之分为解析法和几何法;从具体计算方法来看，可以把它归纳为等量代换、勾股计算、比例线段、倒角、三角比等。

通过这样的梳理，学生对几何计算有了更加清晰的认识，对几何计算也有了一个整体的方法掌握。

在课堂实践中，学生的各项能力或者各项核心素养不是孤立的。比如在几何问题的解决中，都会体现几何直观、推理、计算、模型观念、创新素养等，关键问题是数学教师如何对学生的解题方法给予恰当的回应和评价，而学生又是如何从这些回应与评价中理解自己的数学能力。

参考文献：

[1] 常燕燕. 核心素养理念下的初中数学课堂教学实践探索[J]. 学周刊，2023（17）：76-78.

[2] 李建国. 初中数学教学中培养学生计算能力的探索与反思[J]. 读写算，2019（03）：121.

[3] 卢珍. 核心素养理念下的初中数学课堂教学实践探索[J]. 试题与研究，2023（26）：7-9.

（责任编辑：淳" 洁）