探究构造相似三角形求线段和的最值

吴杰

摘要：线段和的最值问题是中考中经常会考到的难点和热点，学生对于这类最值问题没有一个清晰的解决思路，往往无从下手.如何迅速从题目条件中找到突破口将线段和的最值问题转化为熟悉的常用方法去解决，是学生所面临的比较大的难点.本文中主要探讨如何构造相似三角形将复杂的线段和问题转化为课本上常见的最短路径问题来处理，从而提高学生解决问题的能力，拓展学生数学思维方式.

关键词：初中数学；相似三角形；最短路径问题；转化思想

1 研究背景和现状

初中数学中，几何中线段和的最值问题一直是学生所面临的最大难点，其主要涉及形如“PA+PB”或“PA+kPB（k≠1）”的最值问题.由于初中所学的知识有限，学生仅对最短路径中只有一个动点且动点轨迹为一条直线的情况较为熟悉，对于除直线轨迹外的其它轨迹，比如动点轨迹为圆、抛物线，或者动点数量不止一个的情况并没有深入学习和研究.基于此，不少学者针对动点轨迹为圆、抛物线等研究出了一系列解题模型，比如阿氏圆模型、胡不归模型［1］等，给学生提供了较好地处理“PA+kPB（k≠1）”型最值问题的方法.然而，在最近的学习中也经常会遇到两个动点，且动点轨迹不是同一条直线的情况，从而无法用之前所研究的一系列方法去求解，学生再一次陷入迷茫.双动点线段和的最值问题最主要的特点就是所求线段和中涉及到的两条线段都有一个端点是动点，本文中针对这种情况，专门研究如何构造相似三角形将双动点线段和最值问题转化为我们所熟悉的最短路径问题来解决.希望通过本文学生能够看透知识点背后的本质，同时有一定的系统分析问题的能力，拓展数学思维方式.

2 线段和最值问题分类研究

在八年级课外学习活动中，对于最短路径问题中有一个动点，且动点轨迹为一条直线的情况，往往通过对称的方法将求和的两线段转化到动点轨迹的异侧，然后利用两点间线段最短原理，找到线段和的最小值［2］.当所求的线段和的形式为“PA+kPB（k≠1）”时，常见的对称无法处理，因此不少学者研究了一些特殊模型，例如阿氏圆模型、胡不归模型［3］等去解决，但学生对于模型的认知比较局限，容易陷入到套模式、套方法的误区里.笔者希望通过课本最原始的最短路径问题，让学生分析新问题与最短路径问题的异同点，结合条件与目标选择合适的方法，将所求的两线段转化到动点轨迹异侧，借助以折化直的思想找到线段和的最值.

3 本文研究的不足和展望

综上所述，本文中提供了解决线段和最值问题的一种构造相似三角形的方法，其本质是转化为课本上最短路径的问题来处理，通过观察新旧问题的异同点，同时结合想要达到的目标，让学生探索如何构造相似条件将求和线段转化到动点轨迹异侧去处理，这在一定程度上强化了学生带着问题去分析、推演、归纳的能力.同时让学生明白，线段和最值问题背后的本质就是利用两点之间线段最短达到化折为直的目的.随着中考知识研究的深入，中考考查的方法和方式也会越来越灵活，可能受初中知识限制导致动点轨迹考查的仅仅是以直线和圆为主，后续随着课程改革的深入，动点的轨迹可能会多样化，例如轨迹是双曲线、抛物线等，但其本质都是利用两点之间的距离、以折化直的思想去解决此类问题.

由此可知，当遇到求线段和的最值问题时，我们可以引导学生观察所求问题属于哪种情况，然后用对应的方法去突破.只有学生做到善于分析题目中的条件，深入研究数学中的转化思想，才能快速地找到问题的本质，从而提高数学的解题能力.

参考文献：

［1］史增习.再谈几何最值之阿氏圆问题［J］.初中数学教与学，2016（14）：37-38.

［2］于新华.于新华中考数学16讲［M］.杭州：浙江大学出版社，2018.

［3］张侣.破解动点轨迹长度问题的几种策略［J］.中学数学研究，2021（12）：58-60.

［4］蔡国雄.初中几何“PA+k·PB”型的最值问题［J］.数学学习与研究，2019（3）：151-152.