基于“做数学”理念 再识平行四边形

王华中 顾香才

1 教学背景

八年级学生在平行四边形的学习过程中，已经知道平行四边形可以看成是一个三角形绕某一边的中点旋转180°所形成的中心对称图形，并在此基础上按照“定义—性质—判定—应用”的过程完成了相关学习.但笔者感觉学生在学习过程中有一种被牵着鼻子走的感觉，并没有打通平行四边形的判定条件与中心对称图形之间的关系，对平行四边形的判定条件缺乏理性的思考和本质的认知，只能稀里糊涂地走进记忆、模仿的巢臼.因此，教师有必要设计一些活动让学生去操作、验证、发现、感悟，进而从本质属性上再识平行四边形的判定条件.

2 教学过程

2.1 活动一：基于尺规作图，积累活动经验

尺规作图，用不同的方法作一个平行四边形.

预设：教师根据学生作图情况主要展示平行四边形的四种不同作图方法，如图1～4所示.

问题1 四种作法的依据分别是什么？

教学实施：教师引导学生分析尺规作图的条件并分别回答作图依据，目的是复习平行四边形的四个判定定理（包含定义）.

问题2 连接图中的对角线AC（如图1～4），根据尺规作图的条件，△ABC与△CDA全等吗？如果全等，全等的依据分别是什么？

教学实施：根据作图的条件，学生不难得到三角形全等的依据，其中图4的证明可以转化为图2的证法，即先通过证明△AOD与△COB全等得到AD与BC平行且相等，从而与图2的条件一致，图4的证明也为后面活动三的探究积累了活动经验.

问题3 因为△ABC≌△CDA，所以四边形ABCD可以看成是由△ABC如何运动得到的？

预设：学生已有旋转和中心对称图形的知识和学习经验，所以不难得到四边形ABCD可以看成是由△ABC绕AC的中点旋转180°得到的中心对称图形，这样相对的边一定平行且相等，所以四边形ABCD一定是平行四边形.

教学说明：此活动以基本作图为基础，起点较低，在让学生动脑、动手的同时，也让平行四边形“动”了起来，既复习了平行四边形的判定方法，又从本质上理解了平行四边形的判定条件，在实践探究活动中将几何直观和逻辑推理相结合，发展推理能力.同时让学生进行理性的思考——平行四边形的一条对角线能够将平行四边形分割成两个全等的三角形，这两个三角形关于对角线的中点中心对称.因此，我们可以得到，只要一条对角线把四边形分成的两个三角形一定全等，则该四边形一定是平行四边形，从而让学生从中心对称的本质属性上重新认识平行四边形的判定定理.

2.2 活动二：基于活动经验，识别平行四边形

问题1 尺规作图，作一个“一组对边相等且一组对角相等的四边形”.

预设：学生根据平行四边形的性质，可以想到作出一个平行四边形即可满足题目条件，如图5所示.

问题2 作出的四边形一定是平行四边形吗？为什么？

教学实施：教师引导学生重新审视题目的条件（AB＝CD，AC＝CA，∠B＝∠D），如图5所示（注：∠B与∠D为锐角），对角线AC分成的两个三角形△ABC与△CDA满足的条件是“边边角”，所以两个三角形不一定全等，其中一个三角形的形状可以改变，根据活动一的经验可知，构成的四边形不一定是平行四边形.

问题3 根据“边边角”的条件，你能想到如何构造反例吗？

预设：根据前面学习全等三角形“SSA”的经验，学生想到只需改变△ABC或△CDA的形状，同时与另一个三角形满足“边边角”的条件即可.

问题4 如何改变其中一个三角形的形状呢？请拿出提前准备好的△ABC与△CDA纸片（∠B与∠D相等且为锐角），你能通过“剪拼”的方式，构造出反例吗？

教学实施：本活动对学生的思维和动手能力要求较高，所以通过小组合作、交流的形式开展.教师应给予充足的时间让学生去操作、交流、验证，并在巡视过程中适时给予帮助，最后请小组代表汇报“剪拼”的方法，展示“剪拼”的过程，

如图6所示.让学生在探究活动中将几何直观和逻辑推理相结合，发展推理能力，从而达到降低尺规作图难度的目的，体验成功的喜悦.

问题5 你能通过尺规作图构造出反例吗？

教学实施：在“剪拼”的基础上，学生想到只需在原来平行四边形ABCD的基础上，通过“边边边”的条件作△AB′C与已裁剪出来的三角形全等即可.学生直接在给出的平行四边形ABCD基础上作出反例并板书展示，如图7所示.

教学说明：通过剪纸、拼图和尺规作图等一系列“做数学”活动，促使学生去体验、感悟构造反例的有效方法，再通过尺规作图加深对这个假命题的认识，积累构造平行四边形反例的经验，渗透类比、化归、转化等数学思想，提升表达交流、分析和解决问题的能力，体验成功的喜悦，增强自信心，体现了“做数学”的学习理念.这样的活动对学生来说具有曲折性和创造性，既体现了数学的发现，又体现了数学的应用，在探究活动中培养应用和创新意识，提升几何直观、模型观念、抽象能力与逻辑推理能力等数学素养.

2.3 活动三：基于本质属性，再识平行四边形

“一组对边相等且一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形”是真命题还是假命题？如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请用尺规作图作出反例.

为降低探究难度且方便学生分析与操作，将此问题用符号语言描述如下.

已知在四边形ABCD中，AB＝CD，BO＝DO，四边形ABCD一定是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请用尺规作图作出反例.

教学实施：本活动的难点是没有给出图形，教师可以引导学生根据活动二中构造反例的经验，先从平行四边形出发去分析已知条件，发现构造的平行四边形中仍然存在两个三角形（△ABO与△CDO）满足“边边角”的条件，当图中∠AOB与∠COD为锐角时，与活动一的图4进行比较可知，这两个三角形不一定全等，

从而得到这是一个假命题，并作出反例，如图8所示.

教学说明：引导学生从另一种中心对称的角度（8字型全等）关注平行四边形的本质属性和图形结构，渗透类比、转化等数学思想，提升分析问题和解决问题的能力，体验成功的喜悦，增强学习的自信心.

2.4 总结反思

通过本节课的学习，你对平行四边形的判定条件有哪些认识？

教学说明：学生可以从三角形全等和中心对称图形两个方面进行回答.只要学生回答得有道理，教师都应给予肯定.教师在学生回答的同时，完成如图9所示的板书，归纳平行四边形的判定条件与中心对称图形之间的本质关系.

3 几点反思

3.1 重视对平行四边形判定条件的理性思考

《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求以中心对称为主线，探究平行四边形中各元素的位置关系及数量关系，在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力.本节课的学习，可以让学生清晰地知道研究平行四边形的判定条件，其本质就是在探索“两个三角形全等”的等价条件的指引下，利用中心对称的图形属性，达到确定判定条件是否成立的目的.对平行四边形判定条件的理性思考，为后面学习矩形、菱形、正方形的判定条件奠定了坚实的基础.

3.2 重视“做数学”理念下学生核心素养的培育

《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生经历操作、实验、观察、思考、交流的过程，积累数学活动经验；经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力.本节课基于“做数学”的理念，以探究活动的形式呈现，让学生经历“猜想—实验—验证—运用”的几何研究方法，基于学生已有认知，引导学生在把握平行四边形的图形本质属性的基础上，主动建构知识、图形间的从属关系与逻辑体系，领会特殊事物的本质属性与特殊性质的关系.这是发展学生几何直观、空间观念、推理能力等核心素养的必经路径.

3.3 重视逻辑推理中证实与证伪的结合

长期以来，“证实—求真”是数学教学的基本逻辑.从逻辑推理的角度来看，传授真理的整个教学过程就是演绎推理的表现，其指向是训练学生的演绎推理能力，与合情推理毫无关联，不能达到培养学生全面的数学推理能力的目标，显然与当下新课程理念大相径庭.

逻辑推理中证实与证伪的结合可以达到去伪存真的目的，既是认识论也是方法论，既是教师的一种信念也是教师的一种行为.在由知识为重转向素养为重的课程改革推进中，数学教师应当树立这种信念并将其内化为一种自觉行为，给学生提供一些多向思维的空间，给他们铺设情感投入学习的路径，给他们构筑核心素养发展的平台，不要割裂“去伪存真”，这是数学教学的应然之路.

综上所述，在数学课堂教学中应多一些实质性的操作、交流，多一些有助于思考的探究、实验，多一些对知识的充分体验和感悟，从而在“做数学”中培育学生的数学核心素养.