基于学材开发，加深数学理解

邹卫刚

[摘要]新课标强调，高中数学教学既要立足教材，又要创造性地使用教材，积极开发和整合各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材，从而将“教材”转化为“学材”，让学生的思维活起来，让课堂动起来，切实发展学生的综合能力和综合素养．研究者以“阅读与思考代数基本定理”为例，通过对教材资源的开发与整合，充分调动学生参与课堂的积极性，在加深理解代数基本定理的同时学会学习．

[关键词]教材；学材；理解；学习

数学教材是最基本也是最重要的课程资源，是教师教和学生学的基本素材和重要工具，在教学中的价值和地位是不言而喻的．不过．强调教材的价值并不是说在教学中可以照抄照搬，要知道不同地区、不同学校、不同学生，其教学水平、学习水平等有所不同．若在教学中照本宣科，势必造成部分学生的不适，从而影响学生的学习兴趣和学习信心，不利于学生数学学习能力和思维能力的发展．因此，在高中数学教学中，教师要从教学实际出发．活用教材提供的材料，创造性地使用教材．将教材转化为更适合学生发展的“学材”，当然，为了达到这一目的．教师要认真钻研教材、钻研学生，深刻理解教材的编写意图．准确把握学生学习的现实起点，充分挖掘材料的功能，将教学资料以学生最易理解和接受的方式呈现出来．真正做到尊重教材．却不拘泥于教材．有效激发学生的学习兴趣，提升教学品质.

笔者教学“代数基本定理”时，以教材为依据，以学生已有知识为出发点，多方面整合各种教学资料，充分发挥学材的价值，引导学生在独立思考与合作探究中获得关键能力和必备品格.

教学分析

1．内容分析

在唯分论的影响下．部分教师在教学中喜欢“捞干货”．对于“探索与发现”和“阅读与思考”等内容常常是置之不理．本节课内容出于“阅读与思考”栏目．蕴含着重要的数学思想方法．对开阔学生的视野．引导学生做数学、用数学有着非常积极的作用．因此．在实际教学中．教师要充分挖掘蕴含其中的数学思想方法，并提供时间和空间让学生自主探究，将多种教学资源整合为学材，逐步提高学生的自主学习能力，发展学生的数学学科核心素养.

在学习本节课前．学生已经完成了复数的概念、性质等内容的学习，在此基础上，将复数领域推广到多项式方程领域．引导学生亲身经历用数学、做数学等过程，让学生充分体会数学学习是一个不断发展与完善的过程，从而让学生学会用发展的眼光看待问题．切实提高学生学习的主动性、积极性，促进学生全面发展．

代数基本原理的证明超出了学生现有水平．因此本节课教学只要学生能够猜想出代数基本定理，并且能够用于解决简单的问题即可，在本节课教学中，教师要摆脱传统的讲授式教学模式的束缚，引导学生经历观察、猜测、交流、反思等理性思维过程．让学生在学懂会用的基础上．掌握数学学习方法，培养学生可持续学习能力．

2．教学目的

（1）让学生在具体实例中归纳猜想代数基本定理．并用规范的数学语言进行描述；

（2）体会方程的根的个数与方程之间、根与根之间、根与系数之间的关系．学会用归纳的思想方法研究问题;

（3）引导学生自主探究，让学生在互动交流中养成良好的思考习惯，提升学生的自主学习能力．

3．教学重点和难点

（1）理解和掌握代数基本定理；

（2）韦达定理的推广与应用；

（3）通过经历观察、归纳、猜想等思维过程，主动获取知识.

教学过程

1．复习导入，启迪思维

问题1数系为什么要扩充7在扩充过程中，什么保持不变？

问题2在复数集内，以下方程该如何求解？

（1）x2-1=0;（2）x4_1=0;（3）x2-2x+3=0;（4）x2-ix=0;（5）x3-3x2+5x-3=0;（6）x3+ix2-x-i=0.

问题给出后．笔者让学生独立求解．待大多数学生完成求解后．笔者让学生以小组为单位进行讨论．笔者巡视并适时给予指导．从而帮助学生顺利完成解答．笔者让各小组派代表展示解题结果，并鼓励学生进行解后反思．让学生体会方程形式的差异、根的差异，激发学生探索新知的积极性．

设计意图 从学生的最近发展区出发．让学生体会数系扩充的必要性和不变性，加强对基础知识的理解，从而为新内容的学习做铺垫，本课内容比较抽象，为了帮助学生理解和掌握，笔者从学生熟悉的方程出发，让学生初步体会方程与根之间的关系．以便学生快速地融入新知的探究中．在此过程中，笔者创造机会让学生独立思考与合作探究．一方面加强学生对已有知识的理解和巩固，另一方面让学生学习复数后．对方程的根及方程的形式的认识更加丰富．点燃学生的学习热情．

2．自主探究，知识建构

（1）指导观察，猜想结论．

问题3 结合以上方程的形式及根的形式，请思考这样几个问题：①一元n次方程在复数集有几个根？②如果一元n次方程有复数根．那么复数根间存在怎样的关系？③类比实系数二次方程根与系数的关系能否得到复系数二次方程根与系数的关系？④复系数三次方程x3+ix2-x-i=0的根与系数存在怎样的关系？⑤一元n次方程的根与系数存在怎样的关系？综合以上分析过程，你能得到怎样的结论？

在教学中．笔者用PPT呈现各方程的计算结果，先让学生独立观察、分析，然后小组讨论、合作探究．在笔者的启发和指导下，学生独立思考．主动交流，课堂气氛活跃．待大部分学生有结论后．笔者让学生汇报交流.

设计意图 从计算结果出发．让学生对比观察、归纳总结，逐渐形成猜想，在此过程中，笔者设置精心创设的问题，为学生思考提供方向．加快知识生成速度，本节课所学的内容非常抽象，仅凭讲授很难让学生理解和接受，同时直接教授也很难让学生经历观察、归纳、猜想等思维过程，影响学生学习的积极性．不利于新知的理解与掌握．因此．在本节课教学中，笔者将主动权交给学生．让学生相互交流、相互启发、相互补充，逐渐形成正确认识，进而突破难点．当然．在此过程中，学生也遇到过一些障碍，笔者通过鼓励和引导，充分发挥学生的主体价值．让学生真正成了课堂学习主体．

（2）合作探究，提升能力．

探究1 任何一元n（n∈N'）次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计算）．

①巧借特例，验证定理．

学生根据以上结果能够得到探究1，但是借助6个方程就得到这一结论．难免有些牵强，于是笔者又让学生列举了一些实例进一步验证，从学生列举的实例来看，大多数为一元二次方程和一元三次方程．因为一元方程的次数超过4．就没有统一的求根公式了，这样学生求解比较困难．基于此，为了让学生获得丰富的感知，笔者借助Mathematica软件进行演示（如图1所示），这样学生就可以列举更为复杂的方程进行验证．以此加深对探究1的理解．

设计意图 探究1的论证要用到代数基本定理．但是运用高中知识证明该定理是无法完成的，因此笔者没有直接利用代数基本定理去验证．而是引导学生运用特殊到一般的思想方法进行总结归纳，不过．仅通过6个特例来验证显然不具说服力．于是笔者又提供机会让学生列举更多的实例，让学生像数学家一样去发现、去探索，以此提升学生的学习信心，让学生逐渐爱上数学学习．由于高次多项式的因式分解是一个难点问题．为了帮助学生突破这一难点．笔者借助Mathematica软件进行了演示．这样既能帮助学生积累丰富的感性素材，又能让特殊到一般的思想方法深入学生之心．大幅提升学生参与课堂的积极性．

②引人数学史，理解定理.

接着笔者介绍代数基本定理的发展历史．并鼓励学生课后查阅有关资料，让学生进一步体会引入该定理的必要性，坚定学生的学习信心．

设计意图 数学学习不单要让学生掌握知识，更重要的是要让学生掌握研究方法．激发学生的学习兴趣．因此．在实际教学中．教师有必要搜集一些学生感兴趣的数学史．让学生体会数学发展是如何一步一步走过来的，这样不仅可以丰富课堂活动，激发学生的学习兴趣，还可以培养学生的逻辑思维，对发展学生的问题解决能力也是极有益的，代数基本定理是比较抽象的．让学生顺着数学家的思路走近代数基本定理，有利于学生获得深刻的理解．

探究2 假设复数a+bi是实系数一元n次方程axn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的根．那么它的共轭复数a-bi也是该方程的根．（复数根是成对出现的）

在论证探究2时，笔者又给出了这样一个问题：已知复数1+2i是方程x2-ax+b=0（a，b∈R）的一个根，则a=____，b=____，方程的另一个根是____.

从教材安排来看．共轭复数只涉及相关概念．没有对性质进行深入探究．因此．对于探究2的证明可以留给学生课后完成．这样一方面可以减少课堂容量．提高学生的学习积极性；另一方面可以给学生提供独立探究的机会，让学生学会自主学习．

设计意图 探究2比较抽象，学生很难理解和接受，基于此，笔者给出具体实例，以此降低思维难度，提高学生参与的积极性．同时，借助此实例可以有效链接探究1和探究2。并为后续问题的解决做铺垫．

探究3 对于问题3．是否可以用韦达定理来解决呢？

设计意图 引导学生利用韦达定理解决问题，让学生亲身体验从二次方程的韦达定理推广至三次方程的韦达定理的过程，渗透类比、归纳等思想方法，在此基础上．笔者进行适度启发．以此让学生自然地将二次方程的韦达定理推广至n次方程的韦达定理．引导学生用发展的眼光看待问题．

在笔者的启发和指导下．学生完成韦达定理由二次向三次的推广后．笔者又提出了一个问题：设a，b，c是方程x3-3x-2=0的根．则（1+a/1-a）+（1+b/1-b）+（1+c/1-c）=________.

结合探究2的结果．由韦达定理可得a+b+c=0，ab+bc+ca=-3，abc=2，然后通分并化简，易求（1+a/1-a）+（1+b/1-b）+（1+c/1-c）=-3．

设计意图 借助具体应用．一方面检查学生对探究2的理解程度，另一方面让学生体会数学探究的意义．提升学生的数学探究兴趣．

3．学以致用，拓展延伸

（1）设a，b，c是方程x3-k1x-k2=0的根（k1+k2≠），则1+a/1-a）+（1+b/1-b）+（1+c/1-c）=________.

（2）试写出anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的根与系数之间的关系．（不需要证明）

设计意图 引导学生应用探究1及探究2的结论解决问题．让学生体会韦达定理在解决实际问题中的价值，加深学生对代数基本定理的理解．

4．课堂小结，稳固知识

问题4通过本节课的学习．你有哪些收获，还有哪些困惑？请从知识、思想、方法等方面谈一谈．

本环节笔者让学生独立思考．然后让学生展示并交流所思、所想.

设计意图 教学中引导学生从知识、思想、方法等方面进行多角度反思与回顾．让学生在获得知识的同时．掌握数学研究方法，提高学生的数学能力．

教学思考

1．充分发挥教师主导作用．提升课堂资源的价值

教师作为课堂教学的组织者．其肩负着对课程资源的鉴别、开发与利用．在课堂教学中．教师要提高对课程资源的认识．要充分理解数学知识的前世今生，以便教学中更好地呈现问题的来龙去脉．实现知识的融会贯通，同时．教师要关注学情．精心创设符合学生认知水平的问题．让学生主动参与探究活动．有效激发学生的学习兴趣．另外．教师要了解学生的困惑．在适当的节点创设梯度问题，以此提升学生的学习信心，让不同层级的学生都能有所发展.

例如．在本节课教学前．笔者认真研究过教学内容，明确了三个探究主题（根的个数、根与根之间的关系和根与系数之间的关系）．并结合实例设计了相应问题．引导学生经历观察、探究、猜想等思维过程，从而让学生在获得知识的同时．掌握数学研究方法．获得可持续学习能力．

2．充分激发学生主体价值，丰富课堂教学资源

学生不仅是课程资源的消费者．更是课堂教学资源的开发者．随着现代信息技术的广泛发展，学生获得知识与信息的途径趋于多元化，教师要提供机会让学生查阅相关资料．以此通过信息的整合与加工，开阔学生的视野．加深学生对相关知识的理解．让学生学会学习.

例如，在本节课教学中，笔者让学生课后查阅相关资料补充探究结果的证明过程．这样不仅可以开阔学生的视野．加深学生对代数基本定理的理解．还可以提高学生应用相关知识解决问题的能力．

3．充分发挥信息技术优势，实现课堂资源的整合

在新课程背景下，各种与数学有关的信息技术为数学学习带来了便利．例如本节课教学．在论证探究1的过程中，笔者引入了Mathematica软件，帮助学生获得更多的教学资源，让学生充分体会探究的科学性、合理性，促进知识的深化和能力的提升．

总之．教师作为课堂教学的组织者、启发者和点拨者，要不断更新教学观念和教学方法，关注各种教学资源的整合与加工，将“教材”转化为“学材”，有效激发学生的学习兴趣，让学生从学会走向会学．