关注章起始课教学，发展数学学科核心素养

周康

[摘要]章起始课具有统领整个章节、搭建知识架构、发展学生的数学学科核心素养等重要作用．研究者以“圆锥曲线”的章起始课为例，从“创设情境，揭露现实意义”“材料分析，了解主要内容”“探究定义，感知基本方法”“归纳总结，勾勒知识脉络”“拓展延伸，开阔认知空间”等方面展开教学设计与分析．与同行交流．

[关键词]章起始课；核心素养；圆锥曲线

数学教材第一单元的第一课时基本上都与数学分支初始概念相关，不少教师因为这部分内容相对简单，且在高考试题中鲜少出现，因此课堂中常以“快进”的模式处置．这种“重解题，轻结构”的行为．导致学生对知识的理解为碎片状．难以建立完整的认知结构，事实上．章起始课是沟通本章节知识的纽带．是建构完整知识体系、完善认知结构的基础．

教学简录

1．创设情境．揭露现实意义

多媒体播放我国自主研发的月球探测器嫦娥五号发射过程．让学生从直观中感知嫦娥五号的升空过程与应用装置.

设计意图气势恢宏的嫦娥五号顺利拉开了新章节的序幕，学生在这个充满科技感的视频中燃起了探究热情与爱国情怀．为接下来研究圆锥曲线奠定了基础．

2．材料分析，了解主要内容

（1）问题导读，名称追溯.

要求学生自主阅读教材的章引言．并思考如下问题．

问题1哪几种曲线属于圆锥曲线？圆锥曲线和圆锥有什么联系？怎样改变平面和圆锥轴线的夹角来获得圆锥曲线？

如图1所示．为了增强学生的理解，教师借助多媒体用动画的方式展示“当平面和圆锥轴线的夹角α发生改变（截面不过定点）时，截口曲线是如何变化的”．

当学生顺利解决以上问题后．教师向学生介绍公元前200年左右，古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollo-nius）是如何借助几何法系统研究圆锥曲线的.

设计意图以问题导读的方式引发学生理解什么是圆锥曲线．动画演示与史料渗透．意在深化学生对圆锥曲线由来的认识．为后续深入探究奠定基础．

（2）实例应用，揭露性质.

问题2请列举圆锥曲线可应用在哪些方面？

圆锥曲线不仅广泛应用在人类生活与生产中．还应用在科技研究中．在学生列举的基础上．教师分别介绍彗星、行星与人造天体在运动过程中所形成的轨迹，让学生感知三者围绕太阳运动所形成的轨迹各不一样，揭露椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的特性，由此引入著名的“开普勒三大定律”，以丰富学生的认知体系.

此例成功驱动了学生的学习动力．让学生对圆锥曲线产生了研究兴趣．此时教师趁热打铁．分别展示探照灯、橄榄球等生活物品，让学生再次感知生活中无处不在的椭圆、抛物线等．

设计意图从科研、生活、生产等出发，引导学生了解“为什么要学习圆锥曲线”“学的内容是什么”，使学生从这些素材中初步感知圆锥曲线的特性与学习价值．以及更直观地体会圆锥曲线的现实意义．对主要内容形成大概印象．

3．探究定义，感知基本方法

受传统教学理念与应试教育的影响．当下仍有些教师存在“考试至上”的心理．殊不知．这种理念会令课堂丧失生命力．学生会因为课堂过于枯燥而丧失学习兴趣．长期的被动学习会严重消减学生的学习效率．研究表明，在课堂上增加探究活动，借助问题驱动学生的探究行为．不仅能增强学生的学习体验．还能让课堂充满智慧．师生则在富有生命力的课堂中实现教学相长．

（1）探究类比，提炼定义．

探究1若一根绳子上拴一支铅笔，将绳子的一端固定住，另一端的铅笔最大边界是什么形状？

探究2如果将一根绳子的两端固定住（固定点的距离小于绳长）．在绳子上套一个环．将铅笔拴在这个环上．在这种背景下铅笔活动的最大边界是什么形状？

要求学生以小组合作学习的模式进行操作探究．学生在互相配合的基础上获得相应的结论．

问题3说说这两个探究活动的区别在哪儿？通过探究活动的开展，尝试总结椭圆的扁平程度与什么有关系？

问题4若探究2中固定两根绳子的两点距离大于或等于绳长．可画出什么图形？

设计意图问题引领互动．学生在丰富的探究活动中进一步深化对椭圆定义、绘制要领以及扁平程度的理解，初步感知探索椭圆的基本方法，为接下来的验证与应用夯实基础．

（2）双球探究，验证定义．

探究3如图2所示，在圆柱内放两个球．两个球与圆柱侧面均相切．借助多媒体的动画功能展示一个斜截圆柱的平面在运动过程中始终保持椭圆的形状.

在动画演示过程中．教师引导学生一起探索证明方法，并鼓励学生基于合作交流展示结论，派一名代表到讲台上详细介绍证明过程．顺利完成以上环节之后．教师向学生渗透相应的数学文化．详细介绍此为数学家丹德林（Dandelin）的双球证明法．（其实，丹德林还借助单球明确了截口曲线为抛物线的事实．若学生对此感兴趣，则鼓励学生课后查阅资料进行了解．）

设计意图这是一个验证定义的过程．通过数学家的研究方法的展示．成功启发了学生的思维．使学生对椭圆产生了探索兴趣．感知一个定义的形成是多么有趣．同时又遵循了数学独有的严谨性与科学性，在探索中，学生的自主讲解可进一步巩固对椭圆定义的认识．不仅认识到椭圆的来龙去脉，还能发展科学精神．感知每一个数学定义的背后都有严谨的论证过程．

（3）方程推导，方法探索．

引导学生深入探索圆锥曲线方程的推导过程．可拔高学生的思维．让学生进入深度学习的状态．由此提升实践技能与创新意识，此处．侧重圆锥曲线方程的推导方法的探索．引发学生自主探究与合作交流，充分凸显学生是课堂真正的主人．学生主动执行教学任务．完成探究过程．不仅能完善认知结构．还能有效提升核心素养.

问题5圆的方程的推导是大家熟悉的过程．如果与之进行类比．该怎样借助坐标系为圆锥曲线构建方程呢？

设计意图类比思想作为重要的数学思想之一，它帮助学生从已有的认知经验出发．通过知识或方法的迁移来探索新知，因此．类比思想的应用属于一个“从已知出发．探索新知”的过程．圆的方程的探索是学生熟悉的过程，以此为出发点．通过迁移法的应用，学生能基于新旧知识的异同点发现端倪．为构建椭圆的方程奠定基础．

操作活动：准备图钉、40厘米长的绳子、纸、笔等工具，为学生设定好图钉之间为20厘米的距离．让学生按照要求画椭圆，边画边思考．并与圆的方程的探索过程进行类比，在合作探索的模式下推导椭圆的方程.

学生自主选建的平面直角坐标系有两类：①以两个定点F1，F2所在的直线作为横轴，以线段F1，F2的中垂线作为纵轴；②以两个定点F1，F2所在的直线作为横轴，以点F作为原点.

展示：选择典型的建系方式进行投影展示，要求学生讲解建系方法、列式、化简等，类比不同方程的优劣，引发学生反思．另外，要求学生分析和思考：若将以上探索过程中的具体数据更换成2a．2c．那么椭圆的方程是什么？

探索发现：椭圆的一般方程为特殊的二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0（*）．

设计意图紧扣不同的建系方式，促使学生自主提炼数形结合思想，并让学生在拓展延伸中进行推测．在比较中进行辨析，为形成辩证思维奠定基础.

问题6类比之前研究函数的过程，椭圆的方程同样满足（*）式，那么（*）式是否具备代表圆锥曲线方程的功效呢？

在这个问题的驱动下．学生很快就想到用列举法来分析，即借助“反比例函数”与“二次函数”来探索．具体方法为：xy-1=0是反比例函数y=1/x所对应的方程；ax2+bx+c-y=0（a≠0）是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）所对应的方程．坐标系的平移或旋转（可用多媒体演示）可将它们变成标准方程，据此，推测出（*）式的系数在满足特定关系时．可用来表示相应的圆锥曲线，因此圆锥曲线又被称为二次曲线．

设计意图结合建构主义理论．由旧知引发新知．让学生从真正意义上明确“如何学”．圆锥曲线从“形”与“数”两方面的展示．为形成统一定义奠定了基础．

4．归纳总结，勾勒知识脉络

问题7本节课我们学习了哪些内容？用了什么数学思想和方法？请用导图表示．

设计意图学生用语言与图示等总结课堂所学，提炼出相应的知识结构（见图3），对本章节的知识体系有了初步认识．

5．拓展延伸，开阔认知空间

（1）若一个三角形的一条边为6，周长为16，则这条已知边所对应的顶点运动的曲线是怎样的？要求学生基于平面直角坐标系探索待求的曲线方程．

（2）查阅丹德林研究不同截口曲线的资料．探寻最简方法．

设计意图拓展问题的设计．意在开阔学生的思维．进一步激发学生的探索欲，尤其是思考题的设计，彰显了课堂的前后呼应．为后续教学埋下了伏笔．

几点思考

1．多种手段．丰富教学模式

章起始课具有统领整个章节的作用．因此教师不能将目光只聚焦于本节课核心知识的探索上．还应从整体视角带领学生通过多种方式感知单元知识结构．为初步形成良好的探究方法奠定基础．如本节课就应用了合作交流、自主查阅资料、实践操作等方式，在教师的引导下，学生在展示中充分体现了数学学科的“探究性”特征．

嫦娥奔月、画椭圆、数学史的渗透等．促使学生对圆锥曲线的来龙去脉有了深刻理解．让章起始课实现了“起—启”的变化，整个课堂紧紧围绕“什么是圆锥曲线”“为什么要学圆锥曲线”“如何学”等问题而定位，在多种手段的并用下有效完成了教学任务．

2．实验探究，尊重数学事实

数学是一门严谨的学科．从具体情境与实操活动中抽象圆锥曲线的定义是尊重数学事实的体现，虽然学生在日常生活中对椭圆的形状已经有了一定的感知．但对椭圆所满足的几何与代数特征并不了解，因此，教师借助丹德林的双球模型展开教学．让学生对椭圆的认识由感性上升到理性．

3．以生为本．核心素养为纲

新课标再三强调学生是课堂的主人，章起始课亦不例外．本节课的每个环节都将学生的自主思考、合作交流、操作实践放在首位，教师只是起到组织与引导的作用，尤其是数学史的渗透．对培养学生的数学文化具有重要意义．这是“以生为本”理念的体现，也是将核心素养作为教学纲领的表现．对发展学生的关键能力具有重要价值与意义．

总之．关注章起始课教学．可从链接章节素材、活化知识结构、有机渗透数学文化等方面着手．实践证明．章起始课是章节教学的“指南针”，对发展学生的数学学科核心素养具有重要意义．