用向量工具探究圆锥曲线对定点张直角弦的性质

李习凡　朱胜强

[摘要]圆锥曲线对定点张直角弦的问题一般视为直线与圆锥曲线的交点问题，可通过联立方程，化为一元方程后求解．向量是沟通几何与代数的桥梁．运用向量工具也可以有效地揭示对定点张直角弦所具有的一般性质．

[关键词]圆锥曲线；对定点张直角弦；性质；向量；探究

问题提出

“圆锥曲线对定点张直角弦的性质”指的是对圆锥曲线上某定点张直角的弦所在直线必过定点或固定方向（为简便起见．下文称该性质为“弦的性质”）．

多年来．弦的性质一直受到关注，许多研究者从不同角度对其进行了拓展研究．获得了诸多有价值的结论．弦的性质还不时被作为背景材料出现于一些解析几何试题中，虽然性质的条件与结论均简洁明了．但推导过程相对复杂．由于它并非教材所明确的圆锥曲线的几何性质．因此在许多场合不宜作为推理的依据直接使用，需要给出结论产生的过程．

弦的性质所涉及的问题可视为直线与圆锥曲线的位置关系问题．对于解析几何中的这类问题有常用的求解思路．

记圆锥曲线为C，A（s，t）是其上一定点，弦MN的端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），并有MA⊥NA．

先设直线MN的方程.M，N是直线MN与圆锥曲线C的两个交点，它们的坐标是直线方程与圆锥曲线方程联立所得方程组的解．由方程组消元可得关于x或y的一元二次方程．

几何条MA⊥NA也可用M，N的坐标表示，即用x1，x2或y1，y2表示．这也是上述一元二次方程有解应满足的条件．

依据方程的根与系数之间的关系．可得一元二次方程的系数应满足的条件，进而得到直线MN方程的系数所满足的关系，在此基础上便可推导出所需结论（思路如图1所示）．

这个思路充分体现了解析几何的基本特征．也就是用代数法解决几何问题，实现数形结合，虽然这个思路十分明确．但运算过程比较烦琐，简洁是数学发展永远追求的一个目标，因此，当面对熟悉、不断重复且烦琐的流程时，很自然会提出这样—个问题：弦的性质有其他简洁的推导方法吗？

基金项目：江苏省教育科学“十三五”规划课题“通过微型探究培养学生数学核心素养的实践研究”（B-b/2018/02/78），江苏省教育科学“十二五”规划课题“高中数学课堂实现教学目标的问题驱动策略研究”（B-b/2015/02/261）．