波利亚解题理论在三角函数解题教学中的应用研究

吴加火

[摘要]三角函数是高中数学中的重点内容之一，鉴于这部分知识对学生的逻辑思维要求较高，传统的解题教学效果不佳，研究者尝试将波利亚解题理论应用到本章节教学中，取得了较好的成效．文章从以下四个方面展开阐述：分析条件，理解题目；拟订方案，建构思路；执行方案，自我监控；回顾反思，完善思路．

[关键词]波利亚解题理论；解题教学；三角函数

数学解题的核心是问题，解题教学实际上是问题探索过程．因此．教师要带领学生去思考与分析问题．充分应用相关知识.

怎样设计解题教学呢？波利亚著作《怎样解题》回答了这个问题，书中明确指出解决数学问题应遵循的一般性规律与步骤为：理解题目、拟订方案、执行方案、回顾总结．

分析条件，理解题目

准确理解题目是解题的前提，有些学生读题审题时马马虎虎．没有完全吃透题目信息，只能以失败告终．调查发现，部分教师在解题教学中，留给学生的审题时间和空间非常少，学生因缺乏充分的思考时间和空间，无法发现题目中的隐性条件．导致解题困难重重.

波利亚解题理论告诉我们，只有透彻理解题目所表达的意思．理清题设条件与结论之间的关系，挖掘出隐性条件等，才能确保解题万无一失．想让学生在审题阶段理解题目的意思．离不开教师的点拨与指导，学生一旦形成良好的审题习惯．离成功解题就更近了一步，在此过程中，教师应完成以下工作．

第一，带领学生转述或概括题目的意思．通过问题设置来启发学生的思维．引发学生思考．让学生明确题目所表达的真实含义，探寻问题蕴含的已知与未知条件．以及它们之间的联系，同时将以上内容用数学语言表述出来．以便更好地理解问题．

第二．梳理题目条件．将显性条件明确标示出来．如α的正弦值、角的范围等，三角函数问题大多出现在填空题和选择题中．其特点是题干短、条件少，学生虽然易梳理，但三角函数公式多．有不少隐性条件需要学生自主挖掘，不仅如此．一些挖掘出来的隐性条件还需要甄别．

第三．三角函数问题的表述一般偏于抽象，教师在解题教学中应有意识地带领学生利用题目所给条件画出相对应的图象．并在图象上标示字母或符号等．以便理解与识别．

例1在平面直角坐标系中．α的始边恰好位于x轴的正半轴上．它的终边和单位圆相交于点p（-3/4，4/5），求sin（π/4+α）的值．

解题教学的第一步是引导学生自主审读问题，分析题目中的已知量、未知量分别是什么．在此基础上，教师先鼓励学生思考角α的大小或对应的三角函数值．然后让学生用图表来表示题目条件．学生在独立思考与教师的引导下．妥善运用单位圆来标示点P的位置．获得角α的终边，如此把题目条件变得更加直观明朗．

完成上述几个步骤后，为进一步深入理解问题．教师可鼓励学生自主画出求对应三角函数的图．思考用获得的条件来解决题目是否充分．当然．这一切都要在学生理解题目意思的基础上进行.

拟订方案，建构思路

学生在审题时．一旦对问题有了初步认识，思维就会活跃起来．此时需要将解题思路合并成一个整体．事实上，大部分学生都没有拟定解题思路的习惯，不少学生拿到题目就直接解题，一旦出现思维障碍就选择放弃．而不是换个角度思考其他方法．

想要改变这一现状．教师可引导学生拿到问题时．首先拟定一个初步解题方案，让学生将未知量写出来，再罗列题目中的已知条件，鼓励学生自主发现未知量与已知条件之间的联系．并将这些联系标示出来．为后续解题奠定基础.

在解题过程中，若学生的思维受阻．教师可有针对性地设置问题．以启迪学生的思维．帮助学生获得解题思路，这犹如盖一座别墅．首先要准备相应的建材．数学解题需要的“建材”就是学生的认知经验以及掌握的概念、定理、法则等，若能从信息库中提取与题目相关的知识，就能帮助学生沟通新旧知识的内在联系．让学生根据原来的做题方法判断能否为当前问题提供帮助．

用类比方法解题更加容易．因此．遇到新题时．应引导学生在审题基础上搜索自己的信息库，尽可能发现与之类似的问题，通过类比思想的应用初步设计解题方案．形成解题思路，但有些新颖问题毫无头绪，此时教师可鼓励学生对问题进行拆分、重组、整合等．尽可能把新颖问题转化成熟悉的内容．为解题提供思路与方法．提高解题效率．

例2已知tanα=1/3，求sin2α-sin2α/cos2α+1的值．

学生分析与理解本题后．从tanα=1/3这个条件推导出sinα=1/3．但所求的量中含有二倍角．这是学生思维的障碍点．教师可有针对性地进行适当的点拨．问学生“之前是否遇到过类似的问题”．引发学生回忆，为拟定解题方案服务．

经思考．大部分学生能想到正弦、余弦二倍角公式sin2α=2sinαsinα．cos2α=cos2α-sin2α，结合正弦、余弦二倍角公式与三角恒等式．可推出cos2α=2cos2α-1=-2sin2α+1．于是原题转化为：求2sinαsinα-sin2α/2cos2α的值．

在此基础上，教师可询问学生之前有没有碰到过“正余弦齐二次求正切值”之类的问题．若有，学生则能通过类比来拟定解题方案，形成解题思路：若无，则引导学生从不同角度出发设计解题思路，如分子、分母同时除以非零数或分式等方法，在已知条件与未知量之间建立联系．

执行方案，自我监控

有了初步解题思路与方案后．就进入执行方案的环节．此环节要求学生将解题思路按照规范格式完整地书写下来，但书写过程难免出现公式遗忘、计算错误等情况．此时，就要如同用支架支撑桥身一样，引导学生进行严密的思考与论证．及时采取相应的补救措施.

执行方案离不开严密的论证．论证过程中会形成一些看似有理的结论，想要确保解题的正确性，需将这些结论再转换为严密的论证．但实际解题时，不少学生常将证明出来的结论与自己看出来的结论搞混淆．将看出来却未明确证明的结论直接应用于解题，导致证明过程不严谨，这种现象也反映学生的解题习惯存在问题．

有些学生的解题思路源于教师，但在实际解题时又忘记了具体方案，在这种背景下．学生即使明确解题大纲，也会因为思路不够清晰导致思维混乱或步骤遗漏．因此．学生在解题时．应清晰知道下一步该怎么做．做下去能否和未知量联系起来，证明步骤是否严谨．等等，学生一旦能这样自问．拥有清晰的思维，就能明确下一步措施，这是一种利于学生自我检验、觉醒、反思的过程.

波利亚解题理论还注重引导学生在方案拟定时对一些解题步骤或思路进行猜想．这种猜想可称为“看出来”的结论，在书写步骤时．应从严谨性．规范性原则出发．要求学生对猜想进行探究式论证．这对促进学生思维发展具有重要价值.

例3已知α，β均为锐角，且cos（α+β）=5/13，sin（α-β）=3/5，求smα．

基于本题．教师给予学生充足的思考时间．让学生自主制定解题计划，巡视发现；大部分学生都能明确本题是考查角与角的三角函数关系的问题，学生利用学习经验，从三角函数两角和、两角差公式着手，在α与α+β，α-β之间建立对应关系制定解题方案．但执行计划时，发现两角和是2a，因此这条解题思路需要学生自我监控与反省.

具体方法为：学生对自己提问，“所获得的数据与未知量之间具有怎样的关系？”

若学生先发现两角和是2α，就能与三角函数基本关系式sin2α+cos2α=1联立．获得两组解．此时．大部分学生会毫不犹豫地认为sinα存在两种情况．究竟是否存在两种情况呢？这就需要学生自我提问：这两组解都符合题意吗？是否存在什么条件限制？

观察原题，发现本题中的α，β均为锐角．若能判断出角的大小．则能说明问题．通过审题．结合作差法．从sin（α-β）=3/5这个条件出发，可得α>β．教学时，教师要着重引导学生自我监控．通过自我提问的方式向同伴分享自己的想法，表述的过程就是思维展示的过程．也是培养学生能力的过程．

回顾反思，完善思路

回顾反思是解题教学不可或缺的重要环节之一．然而．在实际解题教学中．师生对回顾反思环节的重视程度还远远不够．甚至不少师生完全忽略了对解题过程的回顾与反思．导致“懂而不会”的现象时常发生，其实．回顾反思也是思路总结的过程，只有完善了解题思路．后续遇到类似问题才能灵活应对.

波利亚认为．没有一个问题是能够彻底解决的．多少会有点事情可做．回顾反思作为触类旁通的关键步骤，须得到师生的足够重视．在教学中，教师可从如下两个方面进行引导与点拨．

1．检查解题步骤

带领学生回顾整个解题过程．对每一个解题步骤进行检验．看看是否存在错误．尤其关注解题过程中是否存在不严谨或未经证明的步骤．分析是否可以用不同的方法进行检验或推导．等等．如此可让学生自主发现错因．并主动探寻出应对措施．

2．优化解题方法

三角函数内容较多，相关题目都存在不同的解题方法．解完题后，教师可鼓励学生尝试从不同角度出发．分析其他途径解决问题．在类比中进一步优化解题思维，优化解题思维主要从解题方法、计算步骤的简便程度出发，归纳总结，发散思维，清晰思路.

值得注意的是．回顾题目的过程不仅是积累求解经验的过程，更是整合知识与方法的过程，属于同类特征问题的总结，这对促进学生形成举一反三的解题能力有着重要意义．

在回顾反思时，须从知识的本质出发．总结解题经验与方法．让解题思维有序化．久而久之．学生就能将解题经验灵活地应用在实际解题中．提高解题效率.

总之．三角函数作为高考的重点内容，对高中生而言确实有一定的难度．将波利亚解题理论应用在三角函数的解题教学中．能起到规范学生解题过程、发散学生思维、提升学生解题能力的作用．数学学习本就是培养学生数学思维与各项能力的过程，学生只要掌握了解题思路与知识本质．不论问题如何变化．都能顺利解决．