关注CPFS结构，完善认知结构，发展核心素养

陆莉婷

[摘要]良好的认知结构是掌握学习方法、提高教学效率的基础．研究者从数学认知结构与CPFS结构的概念与联系出发，分别从以下四个方面例谈教学设计与思考：思维导图提炼CPFS结构；激发式教学发展CPFS结构；问题链推进CPFS结构；多变式设计完善CPFS结构．

[关键词]CPFS结构；认知结构；核心素养

随着新课改的推进．基础教育飞速发展，各种新的教育理念也陆续进入大家的视野．如今的数学教育更关注学生的学科核心素养的培养，在影响核心素养发展的诸多因素中，认知结构起着关键性的作用．为此笔者对学生的认知结构的发展进行了大量研究，发现从CPFS结构着手设计教学对促进学生认知结构的发展具有重要意义.

核心概念

1．认知结构

认知结构是指学生脑海中的知识结构，如对知识理解的深度、宽度、感知觉、思维等均属于认知结构的范畴．学生已有的认知结构是探索新知的源泉．

认知结构的特性有：①能动性，认知结构与知识结构有着质的区别，知识结构是客观存在的内容，不受主观因素影响．而认知结构却是学习者经过主观改造后形成的知识结构．属于心理与知识融合的产物．具有高度的主观能动性．②整体性．认知结构是学习者将所学内容有机地整合在一起构建而来的．新知学习就是完善原有认知结构的过程；③发展性．心理学家认为人的认知需要经历同化、顺应与平衡三个阶段，随着认知水平的不断改造、重组与深化，学生的认知结构得到有效发展．

2．CPFS结构

CPFS结构由概念域、概念系、命题域、命题系所组成，其作用主要是揭露概念与命题之间的联系．CPFS结构对学习产生的影响主要有：①促进理解．学生在学习过程中不断发展与整合CPFS结构，对问题的理解就逐渐加深．大脑中所构建的知识体系也愈发完善．②整体把握知识结构，随着CPFS结构的不断完善，学生可从逻辑上重新认识数学概念与命题等．实现新旧知识的有机融合，基于“再发现”与“再认识”完善认知结构.

3．CPFS结构与认知结构的联系

CPFS结构可代表大多数数学知识体系．帮助学生更好地理解与掌握新知．促进认知结构完善．在实际教学中．教师可有意识地发展学生的CPFS结构，提升学生自主构建知识的能力．鉴于数学的逻辑性较强．想要从真正意义上掌握其本质须对知识做到融会贯通．CPFS结构就是一种逻辑清晰、节点明确、联系紧密的网络结构，便于学生理解、记忆与提取信息．因此．关注CPFS结构的发展对完善学生的认知结构具有重要意义.

基于CPFS结构的教学设计

实践发现．在数学课堂中优化与完善学生的CPFS结构可从思维导图、激发式教学、问题链与多变式设计等方面着手．让学生的认知结构沿着“点一线一面一体”发展．实现思维的网格化与立体化．

1．思维导图提炼CPFS结构

思维导图是一种以图象与文字共同组成的记忆链工具，在如今的学科教学中应用得较多．它不仅能激活左脑中关于文字、数字与逻辑的内容．还能激活右脑中关于空间、线条与图象的内容．双侧大脑同时工作，更利于认知结构的构建．在教学中，教师有意识地引导并鼓励学生借助思维导图认识教学内容．可进一步增强学生对知识的理解程度．帮助学生更好地把握新知．

案例1“函数的单调性”的教学.

函数的单调性问题．可从它的概念与题型出发．借助思维导图将其中各个节点内容提炼出来，形成直观可视的图形，便于长久记忆，为灵活应用夯实基础．思维导图的应用可以进一步完善了学生的元认知结构．让学生对命题间的CPFS结构有更加清晰的了解（见图1）.

2．激发式教学发展CPFS结构

激发式教学是指从学生的兴趣点出发，结合学生的思维与意愿来设计教学活动．数学本就源于生活．生活中的很多现象都可以用数学来揭示．如银行贷款、分割田地、气温变化趋势等问题．将这些丰富的生活问题应用到课堂中．一方面可以激发学生的探索欲．另一方面可以提高学生的生活能力．帮助学生更好地内化新知．

案例2“数列”的教学.

为了便于学生更好地理解数列现象，教师可借助数学史上著名的“兔子问题”来激发学生的探索欲：一般情况下．兔子生长2个月就具备繁殖能力，假定1对成熟的兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌，且均成活），由1对新出生的兔子开始，求1年后一共有多少对兔子，过第1个月，兔子还没有繁殖能力，因此兔子仍是1对；过第2个月，开始第1次繁殖，此时共有2对兔子；过第3个月，第1对兔子又生下1对小兔子．但第2对兔子还没有繁殖能力，此时共有3对兔子．以此类推．具体情况见表1．

观察表1呈现的数据．发现兔子的总对数1，1，2，3，5，…是一个特征明显的数列．即任意前两项相邻数字的和都等于后面一项，这是一组有趣的数据．在生活实际中遇到的概率是怎样的呢？有没有什么方法可以用来描述这组数据呢？这两个问题成功激发了学生的探索内驱力．学生对此充满了研究兴趣．

为了让学生更宽泛地理解数列，还可以借助我国数学史上的经典名言“一尺之棰．日取其半．万世不竭”．此言源于生活．通俗易懂．却蕴含着深刻的数学极限思想，“一尺之棰，日取其半”构成了无穷递缩的等比数列．假设木棰的长度Z为1．那么从第一天开始往后．其长度排列在一起形成了一个无穷数列：1／2，1／4，1／8，…，1／2n（n为正整数）．

上述两个案例都应用学生感兴趣的素材作为教学起点，一方面为学生自主构建CPFS结构奠定基础，另一方面起到渗透数学文化的作用，学生通过这两个素材的探索与研究，能有效促进认知结构的形成与发展．为核心素养的形成夯实了基础．

3．问题链推进CPFS结构

众所周知，问题是数学的心脏，数学教学实则为不断提出问题与解决问题的过程．纵观整个数学史的发展．每一次“质”的飞跃都是因为解决了一个或一类新问题．由此可以看出．问题始终是激发创造、推动学科发展的原动力．如无理数的发现．就源于打破了毕达哥拉斯学派所提出的“宇宙间所有现象均为有理数”的结论．无理数的提出不仅扩充了数系．推动了数学学科的发展．还解释了一些之前无法解释的现象.

以问题为中心的课堂是促进师生、生生双边积极互动的基础，高质量的问题可有效启发学生的思维．让学生对探索内容产生好奇心．提高学习成效，问题链一般围绕核心问题由浅入深地设计一串小问题为学生的思维搭建“脚手架”．让学生通过对问题的逐个突破．从而对知识形成独特的见解，提高思维能力，这是推进CPFS结构形成于核心素养发展的关键．

案例3“等差数列的前n项和公式”的教学.

为了有效提高学生的认知结构．让学生基于CPFS结构从深层次理解等差数列的前n项和公式．教师在教学时可借助问题链激发学生的思维，让深度学习真实发生．

问题1木材厂堆放了一堆圆木，从侧面来看，圆木由上到下的数量分别为1，2，3，…，10．求这堆圆木的数量．

问题2据说，10岁的高斯用下面的方法迅速计算出了1+2+3+…+100的和：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050．如果让你计算1+2+3+-+98+99的和，你会怎么计算？

生1：（1+2+3+…+99+100）-100.

生2：（1+2+3+…+98）+99．

生3：（1+2+3+…+98+99+99+98+…+2+1）÷2．

生4：0+1+2+…+98+99．

生5：设S=1+2+…+99，S=99+98+…+2+1，则2S=（1+99）+（2+98）+…+（98+2）+（99+1），所以S=（100×99）÷2=4950．

问题3若想计算1+2+3+…+（n-1）+n的和，以上几位同学的算法，哪种更简便？

学生一致认为最后一种方法更简便，其他几种方法相对烦琐，计算量大且容易出错．基于此．为了进一步帮助学生构建“等差数列的前n项和公式”．教师可继续以问题链的形式与学生互动.

问题4尝试用最后一种方法求1+2+3+…+（n-1）+n的和．

问题5这个待求数列存在什么特点？（是公差为1的等差数列）

问题6通过以上问题的解决．你有什么发现或结论？（等差数列的和可用首项、末项与项数来计算）

问题7尝试将以上求和问题进行推广，形成一般形式．假设数列{an}是一个等差数列，其公差为d．首项为a1，用以上方法尝试求Sn=a1+a2+a3+…an-1+an．

学生经合作探索与交流，获得结论为：Sn=（a1+an）n/2.

问题8若把通项公式an=a1+（n-1）d代入上述结论，可获得Sn的新形式吗？（Sn=na1+[n（n-1）/2]d）

问题9结合以上推理过程与结论，完成如下练习……

问题链的设计，让学生循序渐进、由浅入深地探索新知．学生的探索意识与探索能力随着问题的逐渐深入而成熟，认知结构也逐渐趋于完善．在探索过程中．有些学生也会自主生成一些问题，教师可将有探索价值的问题延伸开来．顺应学生的思维进行拓展分析，使得课堂动态生成．同时．CPFS结构在问题链的牵引下愈发丰满．学生的认知结构也愈发完善．

4．多变式设计完善CPFS结构

多变式教学是指借助问题情境让学生自主发现问题．在问题的探索中建构新知的教学方法，学生在这种教学模式下可通过多种渠道获得新知．因此这是一种降低学习难度的方法．也是一种凸显学生为课堂主体的教学方法，多变式设计完善CPFS结构对教师的专业素养有较高的要求．具体表现在如下两个方面．

（1）了解学情.

课前．教师要在研读新课标与教材的基础上“备学生”，只有充分了解学生的最近发展区才能创设出恰当的情境引发学生课堂参与的积极性．同时．教师还要了解学生的思维习惯，尽可能预见学生在知识的探索过程中出现的各种可能，当然．课堂是动态变化的．就算基于精心预设的背景下，也很难做到面面俱到，这就要求教师拥有过硬的专业素养来灵活应对课堂中的突发情况，这些突发情况往往是促使课堂动态生成的契机，对拔高学生的思维具有重要意义．

（2）巧设情境.

情境是多变式教学的背景．恰当的问题情境能成功激发学生的思维．挖掘学生的潜能．引发学生思考．学生置身于丰富的情境中积极探索．教师可在适当时机给予点拨，根据学生的实际表现调控课堂．如数学史、数学小故事、生活热点等，都是引发学生思考的好情境．情境展示除了教师的口头描述外．还可以借助多媒体的播放功能、几何画板的演示功能等，让学生在视觉化情境中感知学科魅力．

例如“解三角形”的教学．就可以通过生活实际情境如计算河两岸建筑物的距离，激发学生的兴趣，带领学生从多个角度出发探索结论：如等比数列前n项和公式的探索，可以借助一些小故事揭露原理．提高课堂探索氛围；再如线性规划问题的教学．可以借助多媒体展示科学技术的高超之处，让学生感知数学学科的趣味性与实用性等．

多变式设计，不仅可以丰富课堂，激发学生的学习欲．还能完善学生的CPFS结构．让学生对知识做到“知其然且知其所以然”，使学生的认知在丰富的教学手段中得以长效发展．

总之，结合学情、教情与考情选择不一样的教学方式．不仅能让抽象的数学变得趣味十足．还能让学生对数学学科产生亲近感．从而更加乐学、善学．因此，高中数学教学中关注CPFS结构的构建．是完善学生认知结构的基础，也是发展学生数学学科核心素养的关键．