经历探究过程 提高解题能力

方异平

［摘  要］ 探究性学习是提升学生学习能力，发展学生数学思维的重要途径. 在实际教学中，教师应立足学生已有经验，为学生创设和谐、平等的学习情境，让学生通过经历感受、体验、思考和探究等过程体验数学发现的乐趣，感悟数学思想方法的价值，揭示问题的本质，从而提高课堂教学有效性.

［关键词］ 探究性学习；学习能力；教学有效性

问题提出

例1是一道研究“曲线过定点”的问题，该类型题目可谓高考宠儿，层出不穷. 该类型题目较为抽象，若教学中仅仅“就题论题”“一笔带过”，学生很难理解问题的本质，日后遇到此类问题时势必感觉迷茫，无从下手. 因此，在日常教学中，教师应立足学生已有经验，引导学生通过思考、探究、交流等活动发现同类型问题中蕴含的规律，掌握同类型问题的解决方法，提高问题解决能力.

教学过程

1. 回顾旧知，探寻规律

问题1 下列函数的图象是否过定点？若过定点，请写出定点坐标.

（1）y=kx+1（k∈R）；

（2）y=2x2+bx+1（b∈R）；

（3）y=ax（a>0，且a≠1）；

（问题给出后，留点时间让学生思考. ）

生1：（1）定点坐标为（0，1）；（2）定点坐标为（0，1）；（3）定点坐标为（0，1）；（4）定点坐标为（2，3）.

师：非常好，上述函数的图象均过定点，这是必然还是偶然呢？这些定点与解析式中的参数有关系吗？（学生积极思考）

生2：这些定点与解析式中的參数无关，所以这些函数的图象过定点绝非偶然.

问题2 大家如何理解定点？

生3：与解析式中的参数无关的点.

师：说得很好，今天我们一起来研究曲线过定点的问题.

设计意图 以学生熟悉的初等函数为背景，让学生在“变与不变”中理解“曲线过定点”的内涵，激发学生探究新知的欲望与动机.

2. 小试牛刀，领悟要点

问题3 结合刚刚对“曲线过定点”的理解，想一想，例1该如何求解呢？

在笔者的启发与引导下，学生积极交流，提出了两种解决方法.

设计意图 引导学生回归原题，让学生通过问题解决进一步理解“曲线过定点”的内涵，感悟特殊化思想和恒成立思想在定点问题解决中的作用，从而提高学生的问题解决能力.

3. 深入探究，激发潜能

（问题给出后，学生积极思考，很快就有了发现.）

生4：过定点，且该定点在x轴上.

师：说一说你的理由.

师：说得很有道理，那么该定点如何求呢？

生5：不妨利用特殊化思想，求当BC垂直于x轴时，BC与x轴交点的坐标.

师：你们赞成生5的说法吗？（学生纷纷表示赞成）

生6：此时定点不在x轴上.

师：为什么呢？

师：不在x轴上是否还能求定点的坐标呢？

师：还有其他解法吗？

生9：生7直接把点B和点C的坐标都求出来了，而生8则是“设而不求”.

生10：生7和生8解题都用了分离参数法.

师：对比生7和生8的解法，你们认为哪种解法更简单一些，运算量更少一些？

生齐声答：生8.

师：确实，“设而不求”方法的运算量更少一些. 值得注意的是，应用这两种解法求解后，还要考虑直线BC的斜率是否存在.

设计意图 从学生解题反馈来看，结合探究经验，大多数学生选择特殊值法来求解，该方法具有一定的优势，但也存在一定的局限性. 因此，让学生用特殊值法感知定点位置后，鼓励学生寻求其他解法——学生通过自主探究和合作交流得到了两种“曲线过定点”问题的基本解法. 在此基础上，引导学生对比、反思，进一步深化学生对这两种基本解法的理解.

4. 适当练习，拓展思维

部分学生看到“有且仅有一个公共点”时，就尝试从代数角度出发，联立方程消去y，利用一元二次方程的判别式来寻找解决问题的突破口，但在具体操作时却面露难色.

师：大家不妨尝试从数形结合的角度去分析，看看直线与曲线有什么特征，可以如何转化.

在笔者的启发下，部分学生从“形”的角度出发，分析各个图形的特点，寻找解决问题的合理切入点.

生12：表示过定点（4，1）的动直线的斜率.

分析至此，学生结合图形的特点，很快就得到了答案.

设计意图 数学题目既灵活又复杂，需要认真阅读、仔细分析、灵活迁移才能解决. 对于本题，部分学生选择代数法求解，结果在具体操作时遇到了障碍，此时进行引导和点拨，不仅帮助学生解决了问题，还让学生体会到了数形结合的重要作用，发现了问题的本质.

5. 课堂小结，提升能力

该环节预留时间让学生思考、交流，引导学生归纳总结解决“曲线过定点”问题的数学思想和方法，提高学生的解题信心和解题效率.

教学思考

众所周知，数学教学不能“照本宣科”，教师应从教学实际出发，设计符合学生认知规律的数学活动，带领学生经历数学化和再创造的过程，引导学生在逐层探究中理解问题的本质，掌握问题的解决通法.

本节课教学，通过研究教材和考题，立足学生已有经验，合理创设问题情境，让学生在问题情境的引领下真正理解“曲线过定点”问题的本质，掌握“曲线过定点”问题的常用解决方法，从而拓展学生的思维，提高学生解决问题的能力. 同时，在此过程中，充分发挥学生的主体价值，以学生“自主探究”为主线，通过环环相扣的问题引导学生向正确的方向思考，解难释疑，让学生的思维螺旋上升，促进学生思维能力的发展和数学学科核心素养的落实.

总之，在数学教学中，教师应从学生的角度出发，引导学生自主探究，让学生在思考、交流、归纳中提炼思想方法，理解与内化知识，提高解决问题的能力，提升思维水平.