关于圆锥曲线中的四边形问题的探究

陆烨

［摘  要］ 破解圆锥曲线问题时，要整合几何与代数知识考点，采用合理方法构建模型，利用代数分析推导结论. 文章以圆锥曲线中的四边形问题为例，开展问题评析、知识归纳、方法总结、拓展探究，并提出相应的教学建议.

［關键词］ 圆锥曲线；四边形；模型；面积；方程

圆锥曲线中的四边形问题较为常见，该类问题的综合性强，涉及众多知识考点、方法模型，开展问题评析、归纳总结、拓展探究可提升学生的解题能力. 本文以一道典型问题为例，展开具体评析和探究.

引例探究，问题评析

（1）求E的方程；

解析 （1）整合条件，构建方程组求解.

（2）该问以椭圆为背景构建几何图形，探究四边形面积的最大值. 可分两步求解：第一步，构建四边形面积模型；第二步，解析面积的最大值.

评析 上述例题为圆锥曲线综合题，其中第（2）问为核心之问——探究四边形的最大值. 解析按照的思路是“问题转化→模型构建→最值分析”，即先将四边形问题转化为三角形问题，然后构建面积模型，代入线段的长度，转化为关于参数的函数，最后利用均值不等式的性质求解最值. 在整个过程中，模型的构建是解题关键，均值不等式的性质是最值分析的核心知识.

知识归纳，方法总结

上述例题为圆锥曲线综合题，充分整合圆锥曲线相关知识构建模型，结合函数、不等式、方程等知识来破解. 解题中的知识、模型与思路是探究学习的关键，下面开展知识归纳、方法总结.

1. 知识点：直线与曲线的方程联立

直线与曲线的方程联立是解题的常规环节，该环节中需要合理整合方程，将其转化为二次函数，方便后续设而不求、整体代入. 以直线与椭圆的方程为例，整合过程如下：

注意点：若直线没有过椭圆内的一个定点，则不能说明直线与椭圆有两个交点，须确保Δ>0，才可满足有两个交点.

2. 知识点：根的判别式和韦达定理

注意点：若椭圆的焦点在y轴上，只需把a2，b2的位置互换即可.

归纳总结 韦达定理联系了题干条件与方程中的参数，因此，在处理如向量、面积、三点共线、角度等相关问题时，可按如下步骤来完成.

第一步，挖掘题目中的核心信息，用坐标表达；

第二步，联立整合方程，用韦达定理提取根与系数的关系；

第三步，将相关代数式用韦达定理形式整体替换.

3. 模型构建

圆锥曲线中的四边形问题，有如下两种模型构建策略.

策略1 直接构建.

策略2 关系转化.

模型①：分析图形是否存在“同底”或“等高”的特点，若存在，则可将其转化为对角线互相垂直的四边形，再利用相应模型求解.

归纳总结 构建四边形面积模型时，需关注图形的特点、特征，结合题设条件完成构建. 具体可按如下步骤进行：

第一步，理解题意，解析图形，挖掘其几何特征；

第二步，根据几何特征确定构建策略；

第三步，结合公式构建模型，将问题转化为关于参数的函数问题.

拓展探究，应用举例

上述归纳总结了破解圆锥曲线综合题的核心知识，以及四边形面积模型构建策略. 在实际探究时，要根据问题中的图形灵活调整模型构建策略.

1. 直接构建面积模型

分析 本题为圆锥曲线综合题，第（1）问为常规问题，利用条件可直接求解；第（2）问探究的是四边形ACBD面积的最大值，求解此问的关键是构建面积模型，可通过“四边形的对角线相互垂直”直接构建.

将②③两式代入上式，得（k2+1）·（2m2－3）+km（－4km）+m2（2k2+1）=0，整理得m2=k2+1④. 将④式代入①式，得Δ=4（4k2+1）>0恒成立，则k∈R.

评析 上述探究椭圆背景下的四边形面积最值问题时，把握“四边形的对角线互相垂直”的特性，直接构建面积模型，再结合坐标将面积模型转化为关于参数的函数，最后结合均值不等式的性质推导最值. 整个过程分三步完成：第一步，联立方程，简化推导条件；第二步，构建面积模型，将面积模型转化为关于参数的函数；第三步，利用均值不等式的性质分析面积最值.

2. 割补构建面积模型

（1）试求椭圆C的方程；

分析 本题为圆锥曲线综合题，以直线与椭圆相交为背景. 第（1）问求椭圆的方程，可结合弦长公式求解. 第（2）问添补了四边形APBQ，可设定其面积求直线l的方程，求解的关键是构建面积模型，在此采用面积割补策略.

评析 上述对四边形面积问题的探究，采用的是面积割补策略，即先将四边形拆解成两个一般三角形，再结合相关条件求解. 整个过程分为三步：第一步，联立方程，整合方程；第二步，面积割补，构建面积模型；第三步，结合韦达定理和相应条件构建关于参数的方程，解方程完成求解.

解后反思，教学建议

上文以一道圆锥曲线中的四边形问题为例，开展思路突破、过程解析，详细总结了四边形面积模型的构建策略，并结合实例拓展强化，总结问题破解步骤. 在解题教学中，可参考“引例分析→归纳总结→拓展应用”的思路设计教学环节，下面提几点建议.

1. “引例分析”中注意过程讲解

“引例分析”是解题教学的重要环节，该环节需要教师精选问题，所选问题要有代表性、典型性，问题特征要突出，解法要有广泛适用性. 教学时要注意过程讲解，即要让学生体验解题过程，掌握解题步骤. 可把握以下两点设计引例分析环节：一是按照“分析知识考点→思考解题方向→分步构建过程→解后评析反思”的思路进行设计；二是合理设问，引导学生思考解题方向.

2. “归纳总结”时构建知识网络

“归纳总结”是解题教学的核心环节，该环节需要教师引导学生深入反思问题，归纳总结问题的知识考点、解题方法，构建完整的知识网络. 具体教学可按照如下几个阶段进行：第一阶段，让学生归纳问题特征、所涉知识点；第二阶段，引导学生关注解法，总结方法特点；第三阶段，帮助学生详细总结方法，提炼解题模型、解题策略；第四阶段，帮助学生构建同类问题的求解思路，完善知识网络. 在个各教学阶段中，教师要灵活调整策略，注意提升学生的总结归纳能力.

3. “拓展应用”中培养解题思维

“拓展应用”是解题教学的关键环节，该环节需要教师结合问题开展应用探究，指导学生掌握同类问题的求解思路，逐步培养学生的解题思维. 具体教学时需要注意以下三点，一是适度拓展问题，不能过度发散，否则易造成学生解题障碍；二是要选取覆盖面广、代表性强、涉及知识点多的问题；三是培养学生思维，要给学生留足思考时间和空间，让学生独立思考，教师适度启发即可.