关于均值不等式拼凑简化方法的举例探究与思考

冯雯霞

［摘  要］ 均值不等式可用于最值问题中，具体求解时可采用合理的方法进行拼凑简化，构建满足均值不等式使用的形式. 常见的均值不等式拼凑简化方法有“定积”和“定和”、常数代换、代入消元、换元构造以及连续均值. 文章利用实例解析构建思路，结合教学实践提出相应建议.

［关键词］ 均值不等式；方法； 拼凑；连续

均值不等式广泛应用于最值问题中，可利用其性质特征直接求解得到答案. 具体使用时需要关注问题条件，合理配凑简化方法. 均值不等式的配凑方法较多，下面结合实例具体讲解.

■ 配凑简化方法的探究

方法1 “拼凑定和”与“拼凑定积”.

归纳总结 上述求解立体几何中的线段最值问题时，采用的是均值不等式的“拼凑定和”模型. 使用“拼凑定和”模型与“拼凑定积”模型求最值，需要先观察积与和哪个是定值，然后根据“和定积动，积定和动”来完成. 不满足模型的可以拼凑补形. 对于与函数有关的题型，还可以用到配系数法、正负变法、添项法、拆项法等.

方法2 常数代换.

归纳总结 本题为圆锥曲线中与特征参数相关的最值问题，解题关键是掌握圆上的点到定点距离的最值求解方法，推导a，b之间的关系，利用常数代换配凑出符合均值不等式的形式.

利用常数代换拼凑出符合均值不等式的形式，关键是找到有常数的式子（最好是结果为1的式子）. 解题时需要注意两个方面：①注意目标代数式的结构特征，确认是否需要整体乘“1”；②注意常数的获得方法，可根据已知代数式的结构特征灵活处理.

方法3 代入消元.

代入消元，即求解多元不等式、多元函数最值问题时，先用一个参数来表示其他参数，减少变量的个数，再用均值不等式获得答案. 解题时要注意“一正、二定、三相等”这三个核心条件.

归纳总结 上述求解代数式的最大值时，采用的是代入消元法. 代入消元的方式有多种，常用的有：①把其中一个变量用其他变量表示后代入消元；②对齐次式构造比值消元.

方法4 换元构造.

换元构造对圆锥曲线中的无理数问题有着广泛应用，具体求解时可先整理代数式，关注其结构特征，提取相关变量，再进行变量代换，构造符合均值不等式的形式获得答案. 具体求解时还可结合圆锥曲线的相关知识构建函数，结合函数图象辅助分析.

例4 已知函数

f（x）=ln2x，0

解析 因为ln（2－x）+ln2=ln2（2－x），可推知y=ln2x与y=ln（2－x）+ln2的图象关于直线x=1对称，作出函数y=f（x）的大致图象（如图2所示）.

归纳总结 上述求解代数式的取值范围时，采用的是换元构造法，即通过变换主元、整体代换的方式来构造符合均值不等式的形式. 常用的换元构造法有两种形式，一是代数换元，具体求解时先对等式进行拼凑补形，再进行换元，结合函数以及导数确定单调性进而求解最值；二是三角换元，具体求解时结合三角函数知识，将已知的多个变量转化和化归为三角函数，结合三角函数求最值的方法来求解.

方法5 连续均值.

解法教学探讨

上述深入探究均值不等式的使用方法，结合实例具体分析，并归纳总结方法策略. 在实际教学中，要立足不等式的性质，开展均值不等式的推理证明，引导学生理解其使用条件；歸纳总结拼凑简化方法，帮助学生构建解题思路；开展应用探究，提升学生的解题能力.

1. 立足不等式的性质，开展均值不等式的推理证明

均值不等式对求解最值问题有重要作用，不等式的性质是建立均值不等式的基础，因此开展均值不等式的论证推导要从不等式的性质入手. 教学时要引导学生深刻理解均值不等式使用条件的含义：“一正”，指的是各项必须为正数；“二定”，指的是积为定值和有最小值，和为定值积有最大值；“三相等”，指的是用均值不等式求最值时，需要讨论等号成立的条件.

2. 归纳总结拼凑简化技巧，帮助学生构建解题思路

上文归纳总结了均值不等式拼凑简化五种方法，分别为“定积”和“定和”、常数代换、代入消元、换元构造以及连续均值，需要从以下三个方面探究学习：一是挖掘方法内容，总结相应模型；二是结合实例具体分析，开展过程探究；三是归纳方法技巧，总结解题注意点，形成相应的解题思路. 教学中要把握方法内涵，挖掘思想方法，解题时引导学生关注问题特征，思考均值不等式拼凑简化方法，内化形成解题策略.

3. 开展应用探究，提升学生的解题能力

教学中要引导学生掌握方法并内化方法，充分提升学生的解题能力. 均值不等式除了可应用于参数取值、不等式恒成立等问题外，还可应用于圆锥曲线、立体几何、数列特征方程、平面向量等问题（其应用不局限于常规的最值问题）. 探究教学时要注意以下三点，一是精选问题，问题要有代表性，难度适中，不宜过偏过难；二是解题时的思维引导，要给予学生充足的时间供学生充分思考；三是解后反思，要及时总结方法经验.