数学思想方法统摄下的初中思维导图析题研究

廖艳嫦

摘 要：在数学问题的解决过程中，起统摄作用的是数学思想方法.思维导图析题作为解题反思的策略性工具，为数学思想方法的传播、归纳、运用提供了渠道.实践证明，思维导图析题，可有效建构多个知识点之间的联系接点，进一步巩固新课标对相关知识点的要求，有利于增强学生对数学思想方法的运用意识，从而实现思维能力的提升.

关键词：数学思想方法；思维导图；析题

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验（简称“四基”），发展运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力（简称“四能”），形成正确的情感、态度和价值观.明确了数学思想方法在义務教育阶段培养目标中的重要地位，也为教师的教学提供了方向.

1 数学思想方法概述

人们在计划完成某一项任务之前，总是根据现实情况制定切实可行的执行方案，这些方案就是“方法”.结合课程标准的课程目标，可以认为，运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的概括性策略就是数学方法.马一浮先生指出：“从闻见得来的是知识，由自己体究，能将各种知识融会贯通，成为一个体系，名为思想.”涂荣豹、王光明、宁连华等数学大家认为，数学思想是对数学对象、数学概念和数学结构以及数学方法的本质性、概括性的认识.我们总是认为，数学就是由无数的单一知识点融汇而成的知识体系.教授知识点的数学课堂，学生思维容易固化，缺乏灵活性，不会创新.我们应该要让学生深刻领会，数学知识不是单一的，数学思想方法有如桥梁般，把各个领域的数学知识有机地连接起来，环环相扣，形成明显结构化、系统化的知识网络，并为分析、处理和解决数学问题提供了方法和策略.

在初中数学知识体系中，主要蕴含数形结合的思想、转化的思想、分类讨论的思想、函数与方程的思想、整体的思想等.还包含配方法、因式分解法、待定系数法、换元法、构造法、等积法、反证法和判别式法八大数学方法.在几乎所有的数学解题过程中，总是会涉及数学思想方法，这些思想方法以看不见的隐身形式存在着，如果老师不加以强调，学生就难以领会，更不要说加以运用了，因此，在数学解题的析题过程中，如何引导学生深刻领会其中蕴含的数学思想方法以及如何运用数学思想方法帮助解题，是教师解题教学中的重要环节.

2 思维导图析题简述

析题，是指在精心做题的基础上，立足思维发展的角度，阐述在题目解答时所采用的思维方式、解题策略及依据，进而总结出经验性解题规律并进行拓展引申.析题的角度有：问题求解主要涉及的基础知识、问题求解主要涉及的数学思想方法、解决该问题的一般性思路或方法、解决该问题的可能思维障碍点与可能出错点等.析题对象的价值不在题目的难易程度，而在于如何把题目所蕴含的数学思想方法更有效地呈现出来，从而形成经验性的解题策略.思维导图是一种可视化的思维工具，把思维导图应用于数学问题的析题过程当中，可以把思考者思考问题的方式、分析条件的过程、寻求方法的步骤、总结技巧的结果等思维活动以图示的方式展示出来，突出强调数学思想方法在知识链接方面上的作用，为学生提供问题分析的思路框架，学生独立解题时，就能找到思维的立足点.运用思维导图对析题过程进行梳理与总结，还可为学生反思解题过程提供适用工具.

3 思维导图析题案例描述

题目：关于x的一元二次方程ax²+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求ab²/（a-2）²+b²-4的值.（题目来源：2022年广东省广州市中考数学试卷第19题）

题目点评：此题需要综合运用一元二次方程和分式的知识来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，渗透转化和方程的数学思想方法，属于中等难度的试题，具有一定的区分度.

问题分析：数学解题的过程实质上是一个变更问题的过程，即逐步地变换问题的表达方式，使问题从它的最初状态变换到你想要的状态.这一个问题变更的过程，就是思维的过程.学生掌握的关于题目的相关信息量的多少，决定了学生面对题目时，能否产生高效的思维活动，实现问题的变更.大多学生面对此题时，感觉无从下手，主要是因为题目的未知量比较多，对转化的思想缺乏深刻的理解，不会灵活运用，哪怕是已经利用一元二次方程根的判别式列出方程，却因为无法求出a、b的值而选择放弃，忽略在分式化简的基础上可进行等量代换以转化消元的解题方法.数学基础薄弱的学生，甚至还没有理清根的判别式与实数根的个数之间的关系，也不会对分式进行简单的化简，思维活动无法真正地产生.

析题方法：有效的析题首先要建立在学生对题目的精准解读上.此题题干短小精练，条件简单明了：关于x的一元二次方程ax²+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根.析题时，要注意引导学生把条件与一元二次方程根的判别式b²-4ac建立关联，通过思维的发散，巩固一元二次方程根的判别式中三种不同取值范围与实数根不同个数之间的对应关系，再根据问题实际建立方程.题目的结论是要求ab²/（a-2）²+b²-4的值，要强调求值之前对分式进行化简是一般的思路.对完全平方公式（a-2）²展开后，不能再进一步进行合并、约分，则要考虑转化消元.观察从条件出发推导出的结论以及从结论出发得到的结果，利用转化思想达到消元的目的.

析题小结：一道数学习题的价值不在于其答案，而在于如何借助问题的条件与结论有效建构多个知识点之间的联系，使题目隐含的思想方法显性化.在思维的发散过程中，巩固概念、深化概念，加大学生的知识储备，让学生在老师的帮助下掌握到思维的立足点与方向，提高思维的深度与广度，从而提升思维能力.借助思维导图进行析题过程的可视化，可帮助学生补拾缺失的知识，明确思维的方向，强调转化的思想方法在解题中的作用，实现思维的发散与聚合.在中考代数部分的复习过程中，同学们会遇到很多类似运用转化的思想进行解答的问题，析题后，宜进行相关的题组训练，举一反三回头看，巩固学生对转化思想的灵活运用，形成经验性解题策略.

4 思维导图析题案例分析

利用思维导图进行析题，是数学反思性学习的一种策略性方法.此方法的运用，可以进一步提升学生的解题能力与思维能力.

4.1 思维导图析题，有效建构多个知识点之间的联系接点

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系.可点状的知识编排容易导致单向的信息加工，从而导致知识理解的浅表化、思维的机械化.一元二次方程根的判别式与分式的化简看似毫无关系，学生很难把原本点状、零散的知识联系起来，得到问题解决的方案.本题的析题过程，以箭头为连接工具，体现思维的导向，显化思维的过程，以转化的数学思想为桥梁，把不同的语言载体建立联系，帮助学生构建一个清晰的、结构化的知识体系.这将会引导学生对知识进行更深层次、更全面的加工，大大提高对知识本质属性的深刻认识，学会将知识转化为数学思维，脱离重复的习题操练，减负增效.

4.2 思维导图析题，进一步巩固新课标对相关知识点的要求

对于一元二次方程根的判别式以及分式的化简求值，《义务教育数学课程标准（2022年版）》皆有明确要求.一元二次方程根的判别式的学习蕴含分类讨论的思想，学生在运用时需要准确地回忆判别式的三种取值范围与根的个数之间的对应关系，建立不等式或方程，把问题进行第一步的变更，进一步考查学生一元一次方程或一元一次不等式的求解方法.对于分式的化简而言，它的学习过程主要体现了类比的学习方法，其加、减、乘、除运算皆建立在分数的运算方法之上，并与因式分解、整式的化简都有紧密的联系.因此，在历年的广东省中考数学试题中，一元二次方程根的判别式与分式的化简皆是常见的考点.学生对概念、知识的理解，是构成思维的基本材料，这些基本材料是辅助学生开展思维的必要条件.通过回顾完整的答案，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，他们能够巩固知识，并培养他们的解题能力.当学生借助思维导图这一工具把头脑中关于这两个知识点的联想进行记录时，学生就经历了一次高效的复习过程，对概念、知识会产生更进一步的理解，对知识点的考查要求与方式也有了进一步的认识，当学生再遇上相关的考题时，思维活动将会更快速与有效.

4.3 思维导图析题，有利于增强学生对数学思想方法的运用意识

在不同版本的数学教科书中，数学思想方法都没有办法进行系统的讲述.数学思想方法不能独立存在，它总是与具体的数学活动、数学问题共生共存，以隐形的方式存在着.学生对数学思想方法的接受、领悟、消化与运用，主要依靠教师在数学活动、问题解决过程中的提示、点拨与归纳.数学思想方法在日常数学课堂中的渗透，也体现了新课标关于数学核心素养的培养要求.其中，消元法从属于转化思想，是实现转化的重要方式和策略.在初中的代数和几何的问题解决中，经常会遇到几个未知因素的同时出现，通过转化，多元变一元，是解决问题的根本方法.本题中，题干并没有提供任何具体的数值，要求分式的解，就需要先利用一元二次方程根的判别式列出方程，建立a、b

两个元素之间的关系，再通过等量代换—消元—转化的过程解决问题.思维导图中强调转化的过程，重在让学生明白，转化的思想是问题解决的关键，而转化的方式则是消元，这对学生今后的学习有明显的促进作用，增强学生运用数学思想方法的意识，有效提高学生的数学核心素养.

5 小结与展望

具体数学题目所蕴含的数学思想方法，为问题的解决提供了思维的着力点，是解题方针与策略选择的决定因素.思维导图析题，作为解题反思的策略性工具，为數学思想方法的传播、归纳、运用提供了渠道.经常性地运用思维导图进行析题，能帮助学生提高对数学思想方法的认识、把握和运用的能力，掌握开启数学世界的“金钥匙”，从而实现思维能力的提升.作为一线的数学教师，面对整体数学水平较低的学生，应以数学思想方法为指导，思维导图为工具，引领学生开展经常性、多样性的析题研究，帮助学生养成良好的思维习惯，形成经验性的解题策略，更好地学习数学、理解数学、应用数学.

参考文献

［1］义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］涂荣豹，王光明，宁连华.新编数学教学论［M］.上海：华东师范大学出版社，2006.

［3］王建鹏.一道函数试题的析题展示［J］.福建中学数学，2013（9）：15-17.

［4］张小磊.思维方式对数学解题的影响［J］.科学大众（科学教育），2012（8）：20.

［5］G.波利亚.怎样解题［M］.上海：上海科技教育出版社，2022.