遵循认知发展规律 设计初中数学教学

陆智红

[摘 要] 学生的成长遵循着一定的规律，教师若遵循学生的认知发展规律采取相应的教学手段，则可取得事半功倍的教学效果.文章从认知发展的不同阶段的理论出发，分别以两位教师执教“等腰三角形性质”的教学设计为例，从“以发展‘形式运算为导向”“教师的有效引导必不可少”“注重学材的再建构”三个方面谈一些思考.

[关键词]认知发展；教学；引导

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出，数学教学需建立在学生实际认知水平与经验基础上实施.皮亚杰的认知发展理论作为教学活动、知识建构与学生认知发展的理论基础，深刻描述了人类认知发生与发展的情况，揭示了人类认识这个世界的心理机制，是中学数学教学的心理学依据.事实证明，发展才是永恒的真理.

认知发展的阶段

皮亚杰是认知发展理论的代表人物，他认为儿童身心发展需经历如下四个阶段：感知运动阶段、前运算阶段、具体运算阶段与形式运算阶段[1].

其中，具体运算阶段是指7～11岁的儿童，以小学生为主.该阶段已经具备了前两个阶段的一切品质，形成了表象逻辑思维，但这种思维需依托于具体事物.处于此阶段的学生尚未形成自主抽象概念的能力，缺乏抽象逻辑思维.该阶段儿童思维成熟最大的表现为“去集中化”.

形式运算阶段是指11～16岁的儿童，中学生恰巧处于这个阶段，此时，学生的思维与成人的思维已经非常接近，可以应用假设或命题的形式对数学事物进行思维.教师对这个阶段学生进行授课时，需以发展学生的抽象逻辑思维为目标.

例析教学设计

究竟该如何将认知发展理论融入初中数学课堂中呢？笔者根据两位教师对“等腰三角形性质”的教学进行类比分析，希望给读者带来启发.

1.第一位教师的设计

师：如图1，对折一张长方形的纸张，在折叠的那一边沿着虚线剪下，看看得到一个怎样的图形.

学生操作，并提出这是一个等腰三角形.

追问：确定这是一个等腰三角形的理由是什么？

学生表示这个三角形的腰是折叠后沿着同一条虚线剪下而得来的，因此它们的长度相等，从图上来看，即AB=AC.教师对学生的观察力表示肯定，并提出进一步从三角形性质的角度来探究这个剪下来的图形.学生经深入思考与分析，发现不仅仅存在AB=AC，还存在BD=CD.

师：非常好，根据BD=CD这个条件，有什么新的发现吗？

生1：BD=CD，代表着D为BC的中点，因此线段AD为△ABC的中线.

师：很好！还有其他发现吗？

生2：除了边，还存在角相等的情况，分别是∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC.

师：还有补充吗？

生3：有，根据∠ADB+∠ADC= 180°可知∠ADB=∠ADC=90°.

將三角形的边角关系基本找全后，学生共同分析等腰三角形的性质，过程如下：根据∠B=∠C，可知等腰三角形ABC的两个底角相等；根据∠ADB=∠ADC=90°，可知AD为底边BC上的高，同时∠BAD=∠CAD，因此线段AD又是△ABC顶角的平分线.由此总结出三线（底边上的高、中线与顶角的平分线）均为同一条线段AD.

获得的性质有：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形底边的中线、高与顶角的平分线重合（三线合一）.

师：以上是大家通过观察、分析与探究总结而来的结论，现在请大家尝试用已知的定理来证明以上总结的两个性质.

分析 此教学设计，将等腰三角形的中线通过折痕引出来.学生通过自主操作、观察与分析，在合作交流中获得了等腰三角形的性质.在后续的证明中，学生通过这条折痕获得了“中线”这条关键性的辅助线，成功地解决了课堂教学的重点与难点.

从认知发展理论来看，处于该年龄阶段的学生的思维水平基本达到形式运算阶段，而处于形式运算阶段的思维可以脱离具体事物形象性的支撑，通过抽象逻辑就能将相关知识从内容上实现分离，完成由具体向抽象的转变.

这位教师以实践操作为课堂导入方法，从认知心理学的角度出发，就是以具体运算阶段为起点实施的教学.虽然从内容与形式上并没有什么问题，而且能帮助学生从直观操作中发现并抽象出等腰三角形的性质，但从学生认知水平与思维发展的角度来看，此过程使得学生的认知依然停留在具体运算阶段，没有达到初中生应有的形式运算水平.

2.第二位教师的设计

首先带领学生回顾等腰三角形的定义，并要求学生在草稿纸上自主画一个等腰三角形，标注出各条边长，同时让一位学生在黑板上演示作图过程.

学生在黑板上先画出三角形的一条边，而后又画出与第一条边等长的第二条边（与第一条边共点），连接两条边的端点获得一个等腰三角形.教师要求这位学生再在黑板上画一个底边为50厘米的等腰三角形，该生经过多次尝试，却以失败告终.其他学生在草稿纸上，先画出一条底边，再画两条腰，也没有能够成功.

师：通过以上活动来看，在已知底边的情况下，要直接画出等腰三角形的腰确实存在一定的障碍，因为徒手画图出现误差是难免的.遇到这种情况该怎么办呢？

生4：之前遇到过无法依靠测量来完成的任务，可以通过等量关系的探寻来进行等价转化，这里应该是找出两条相等的边.

师：很好，之前我们遇到过什么内容也需要通过等量关系的探寻来完成画图任务的？

生5：在学习角平分线时，是通过圆来获得相等的角的.

在生5的提醒下，教师要求所有学生在自己的草稿纸上先画出一个角，并通过画圆的方式获得相应的角平分线，同时思考：借鉴角平分线的画法，怎样能又快又准地画出一个等腰三角形呢？

学生自主探索，教师投影其中一位学生的画图过程如下：如图2，第一步作出三角形的底边AB= 5 cm，鉴于所作图形为等腰三角形，因此两条腰的长度要大于AB的一半（该生所取的AC=BC=4 cm）；第二步，借助圆规进行作图，先以A为圆心，4 cm为半径画圆，再以B为圆心，4 cm为半径画圆，所作的两个圆相交成两个交点；第三步，取一个交点C，分别连接AC，BC，所得的△ABC就是一个等腰三角形.

师：非常好！当初咱们在探索角平分线的画法时，没有应用量角器与直尺来作图，而是通过等量关系获得相应的图形.借鉴此作图经验，这位同学同样应用圆探寻出等腰三角形的两条相等的边.图2中的两个圆的半径都是4 cm，显而易见，AC=BC.请这位同学来说说为什么这样作图.

生6：我是从画角平分线的方法中受到的启发，画两个等圆，取它们的交点可快速得到角平分线.与之类似，仿照这种方法可以画出等腰三角形.

师：解释得非常清楚，观察所画出来的图形，从中能发现等腰三角形的什么性质吗？

面对这个问题，学生沉默不语.教师适时进行点拨，提出可以考虑作辅助线来探寻.

在教师的引导下，有学生立即提出如下思路：如图3，设所作两圆的另一个交点为E，分别连接EA，EB，EC，其中CE与AB交于点D.在△CEA与△CEB中，有AC=BC，BE=AE，CE=CE，根据三角形全等的判定定理中的“SSS”，可知△CEA≌△CEB，因此∠ACD=∠BCD.在△CDA与△CDB中，AC=BC，且∠ACD=∠BCD，根据三角形全等的判定定理中的“SAS”，可确定△CDA≌△CDB.（后面的性质探寻过程与第一位教师一样，此略）

分析 从这位教师的教学设计来看，他对学生的实际认知水平比较了解，整个教学过程都是紧扣形式运算阶段的思维特点进行的，没有通过具体实物操作来引发学生探索与发现，而是引导学生借助自身原有的认知经验进行知识的推理演算.因此，这是能够促进学生认知发展的教学方法，值得推广.

几点思考

1.以发展形式运算为导向

教师的职责除了授课，更重要的是做好课堂的精心预设.这就要求教师充分了解学生的实际认知水平与经验，设计贴合学生最近发展区的问题与教学方法等，以促进该阶段学生的形式运算能力的发展.

对于等腰三角形性质的探究，第一位教师带领学生从直观操作着手，让学生在直观感知中获得相应的知识.虽说取得的教学成效是一样的，但从学生认知发展的角度来看，这属于具体运算层面的设计，对于学生形式运算的发展帮助不大.

第二位教师以问题情境的方式引导学生从等腰三角形的画法着手，以启发学生思维的发散性.当学生在探索过程中思维出现卡壳时，教师鼓励学生从画角平分线的探索经验中探寻出路.随着思维的逐渐深入，学生在脱离直尺等具体事物支持的情况下，利用自己的逻辑关系发现了解决问题的具体方法，充分促进了学生形式运算的发展.

2.教师的有效引导必不可少

虽说学生是课堂教学的主体，但教师作为课堂的组织者与引导者，有着无可替代的重要作用.课堂中，教师的有效引导不仅能起到四两拨千斤的作用，还能让学生的思维豁然开朗，为学生形成系统的知识结构奠定基础.实践发现，以促进学生认知发展为前提的教学引导，可从以下几点实施：

第一点，导之有趣，让学生想学.兴趣是学习最好的老师，也是激发学习动力的源泉.以上两位教师的教学导入都比较成功.第一位教师以操作实践作为导入的起点，让学生在动手、动脑中对本节课教学内容产生探究兴趣；第二位教师从充满“数学味”的问题情境出发，成功地激起了学生的学习动机，让课堂充满活力.

第二点，导之有时，让学生能学.教师的引导并非越多越好，而應在适当的时机加以引导，如在知识的生长点处、思维的卡壳点处等.如第二位教师的授课，学生在“作辅助线”的环节出现了障碍，教师则在这个关节口给予点拨，使得学生豁然开朗.

第三点，导之有法，让学生会学.数学学习除了知识与技能的学习外，更重要的是让学生获得良好的发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力（简称“四能”），以及会用数学的眼光、数学的思维、数学的语言来观察、思考与表达现实世界（简称“三会”）.这就要求教师注重学法的指导，让学生在学习中主动提炼数学思想方法，获得“四能”，形成“三会”.

3.注重学材的再建构

教材是教学的依据，但完全遵循教材的教学设计并不一定适用于每一个班级的学生.受社会、家庭与教育背景的影响，同一学段学生的认知水平也有着较大差别.这就需要教师从教材出发，但又不拘泥于教材，将教材与学生的实际认知水平有机地融合在一起，形成符合实际的个性化教学模式[2].

第二位教师的授课，虽然说没有完全遵循教材安排，但整个教学过程都以发展学生的思维为教学目标，充分尊重了学生的认知发展规律，每一个环节的教学活动都落在学生的最近发展区内，有效促进了学生逻辑推理能力的形成与发展.

学材呈现的知识点都是固定不变的内容，但学生的思维却是灵活多变，具有生命力的.因此，教师应在充分了解学生与教材的基础上实施学材再建构，可促进学生形式运算阶段思维的有效发展.事实证明，依据教材并超越教材的教学设计，是学生扩充知识，突破自身原有认知水平的基础.

总之，认知发展理论对初中数学教学确实有指导意义，但在学生情感与数学文化等方面却涉及较少.因此，教师在进行教学设计与教学活动的过程中，应全方位考虑学生的实际需求，辩证地看待认知发展理论对数学教学的作用.

参考文献：

[1] 戴维·谢弗.发展心理学：儿童与青少年[M].邹泓，译.北京：中国轻工业出版社，2009.

[2] 加洛蒂.认知心理学（第3版）[M]吴国宏，译.西安：陕西师范大学出版社，2005.