初高衔接视角下的三角函数问题研究

方伟 易良斌

[摘 要] 三角函数是初等数学中一类特殊的函数.运用三角函数解决问题既沟通了函数与几何，又无形中渗透抽象能力和几何直观的数学核心素养.文章以中考题为例，研究三角函数在解题中的关键作用，并得出一些结论和反思.

[关键词]核心素养；三角函数；中考链接

2022年4月，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下称“新课标”）正式颁布.“新课标”指出，初中阶段需要培养学生的9个数学核心素养，而抽象能力和几何直观是其中两个重要的部分.抽象能力指的是从较复杂的数学题目中抽象出若干个基本模型，从而把较复杂的问题分解成几个较简单的问题，利用基本模型的结论解决问题.借助几何直观，可以建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型.

三角函数是初等数学中一类特殊的函数，它是函数与几何之间的纽带.在解决涉及三角形、四边形、圆、全等、相似等知识的综合题型中往往可以运用三角函数的相关性质.在直角三角形中利用三角函数构建边长之间的比例关系，往往成为解决问题的关键所在，从而把代数与几何有效地结合起来.几何中解决线段的计算问题时可以借助方程这个代数工具.本文以2022年丽水卷第10题和杭州卷第23题为例，在核心素养的视角下，对中考中有关三角函数的试题进行分析和研究.

试题再现

解题分析

此题是2022年丽水中考选择题的压轴题，题干和图形都不是很复杂，但仅利用已有图形并不能够立即解决.解决此题的基本思路是通过添加有效的辅助线构造基本图形，再从较复杂的图形中抽象出几个基本的几何模型，建立形与数的联系，找到等量关系列方程计算.主要有以下三种基本思路：

第一种思路，利用已知条件中的平行，延长线段构造相似的基本图形，根据相似三角形的性质和判定，假设未知数列方程计算线段长度.

第三種思路，通过连接线段构造相似的等腰三角形，或通过作垂线段构造相似的直角三角形，再利用相似三角形对应边成比例列方程计算线段长度.

1.构造相似的基本图形

解法一基本思路：如图2，作垂线段AH得到BH=EH，由中垂线的性质可知，AB=AE=4.由平行和角平分线得到等角∠EAP=∠P，再得等边AE=PE.向外延长线段AF和BC交于点P构造相似的基本图形，可得△AFD与△PFC相似且相似比为2∶1，推导出另一对相似三角形（△AGF与△AEP）的相似比为2∶3，从而利用相似比计算FG的长度.

解法二基本思路：如图3，向外延长线段AE和DC，它们交于点P，补全三角形，利用已知平行构造相似三角形.由平行和角平分线得到等角∠GAF=∠GFA，得到等边AG=FG.假设AG=FG=x，在相似比未知的情况下利用相似三角形对应边成比例列比例式进行线段计算.这里可用于列方程的相似三角形有三对，分别是△PEC与△PGF，△ABE与△PFG，△PGF与△PAD.

2.构造直角三角形，巧用三角函数

杭州中考链接

把近6年杭州中考题中考查三角函数的题目进行统计可以发现，2016年填空题（第11题，4分），2017年选择题（第10题，3分），2018年解答题（第23题第（2）问，4分），2019年选择题（第9题）和填空题（第14题）共7分，2020年选择题（第4题）和填空题（第14题）共7分，2021年填空题（第11题，4分），2022年选择题（第10题）和解答题（第23题最后一问）共7分.

除2021年出现回落以外，在有关三角函数题目的命题上出现以下几个明显特征：从选择题、填空题到解答题都有涉及；分值从3分或4分涨到7分；难度从简单逐渐过渡到中等再到复杂；考查的知识点从涉及单一知识点过渡到与其他知识点结合.例如2022年杭州中考题的最后一问：

研题反思

1.巧用三角函数，突破解题难点

从上文的分析中可以发现，三角函数在中考命题中的地位在不断提高.三角函数在浙教版初中教材中只在九年级下册第一章出现，但是在高中教材中有大量三角函数的延伸知识.中考作为初高衔接的桥梁，增加三角函数的试题分值和难度也在情理之中.三角函数是在直角三角形中利用两边长的比值与角度之间的一一对应关系而构建的一种特殊函数.它能够有效地沟通形与数，渗透几何直观的核心素养.三角函数定义中体现的线段之间的比值，与相似三角形的对应边成比例不谋而合.有关相似的压轴题通常是几何知识的综合应用，而三角函数在解题思路中往往起着关键性的纽带作用.构造合适的直角三角形，活用等角的三角函数值相等，巧用同角三角函数的基本关系往往能够突破问题的难点.

2.落实核心素养，提高综合能力

“新课标”指出，课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调使学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，发展运用数学知识与方法發现、提出、分析和解决问题的能力，形成正确的情感、态度和价值观.从这两道中考题中可以发现，在“双减”政策的引领下，虽是选择题和解答题的压轴题，但难度并不是很大，有多种思路解法.学生只要抓住解题的关键条件，添加合适的辅助线就能够找到解题方法.这两道题在菱形和正方形的基本框架之下，学生会觉得图形比较熟悉，但题型的条件设置和问法又比较新颖，学生会感到陌生，可以说是恰到好处的压轴.学生用数学知识分析问题，从已知条件得到一些中间结论，把几何图形分解成若干个基本模型，再用数学思维解决问题，通过数形结合列方程求解，充分利用三角函数建立起几何与代数之间的联系.整个过程无形中渗透并落实了数学核心素养，也提高了学生应对问题的数学综合能力.

3.调整教学模式，重视方法渗透

“新课标”指出，课程内容组织重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径.重视数学结果的形成过程，处理好过程与结果的关系；重视学生直接经验的形成，处理好直接经验与间接经验的关系.在“新课标”的引领下，教师在平时教学中可以从以下几方面进行完善：第一，在设计课堂教学环节时，要注重各教学模块之间的联系，帮助学生建构知识网络体系，引导学生学会综合运用所学知识应对较难问题.第二，要时刻关注学生在解决问题的过程中哪个关键点或者哪个知识卡壳了，有目的性、有针对性地引导学生不断突破难点，并提供巩固难点的变式练习，将难点逐渐转化成熟练点.第三，不要一味地灌输，要留有足够的时间和空间让学生思考探索不同的思路方法，引导学生主动讨论探究发现新解法，帮助学生不断巩固旧知并获取新方法.学生通过自主探究发现的知识方法更能够保持长久记忆，被动接受的方法比较容易遗忘，这就是直接经验与间接经验的区别.第四，要注重解题方法的归纳小结，解题思路的整理延伸，帮助学生厘清问题主线，形成解题的思维框架.