小学生解决“因数和倍数”问题的能力分析

[摘  要] “因数和倍数”一课涉及认识因数和倍数的含义。研究者通过从不同角度设计“因数和倍数”的前测题，了解学生关于“因数和倍数”的已有知识经验，为开展相关教学活动提供方向。

[关键词] 因数和倍数;前测;前测分析;教学启示

一、问题的提出

“因数和倍数”一课的教学内容主要涉及认识因数和倍数的含义、求一个数的因数的方法以及求一个数的倍数的方法。笔者试图探究五年级学生在解决“因数和倍数”问题时，是否已经建立了因数和倍数的概念，是否能运用因数和倍数的概念求一个数的因数和倍数。为了更好地了解学生的学情，笔者设计了与“因数和倍数”有关的问题，尝试通过开放性题目了解学生对“因数和倍数”的已有知识经验，为开展相关教学活动提供方向。

二、研究目的及主要问题

1. 研究目的

了解学生是否了解因数和倍数的含义，是否掌握求一个数的因数的方法和求一个数的倍数的方法。

2. 研究的主要问题

（1）五年级学生怎样表征因数和倍数的概念;

（2）五年级学生是否了解要在非0自然数范围内研究因数和倍数;

（3）五年级学生能否掌握求一个数的因数的方法和求一个数的倍数的方法。

三、测试的问题、对象和过程

1. 测试题目

（1）你听到过倍数和因数吗？在哪里听到的？

（2）你知道什么是倍数吗？你知道什么是因数吗？

（3）你认为什么是非0自然数？

（4）找出36的所有因数，并写出你是怎么找到36的所有因数？

（5）找出3的倍数，并写出你是怎么找到的？

设计意图：第1和2题主要了解学生对因数和倍数概念的认知情况，了解学生是否已经完整地掌握因数和倍数的含义;第3题主要了解学生对因数和倍数的研究范围;第4题主要了解学生是否能找出一个数的所有因数，并说明求一个数的因数的方法;第5题主要了解学生是否能找出一个数的倍数，并说明求一个数的倍数的方法。

2. 测试对象

笔者选择了五年级7个班共280名学生作为测试对象，学生均未在学校里学习过有关因数和倍数的内容。

3. 测试和访谈过程

在一天中午读书时间，学生没有任何准备，测试在各班班主任的协助下完成。在学生解答过程中，教师没有读题、提醒和指导等，让学生独立解答。学生在解题过程中不允许有任何的交流和讨论，在自己认为完成后即提交测试卷，测试过程基本反映了学生真实的认知水平。测试后，教师对学生的解题情况进行批改和整理、分析，并选择部分学生进行访谈，了解他们的思考过程。

四、“因数和倍数”测试结果分析

1. 学生获取的倍数和因数经验的主要渠道是课本和家庭

笔者对第1道测试题答题情况进行了统计和分析，见表1。

由表1可知，学生获取倍数和因数概念的主要渠道是课本和家庭，他们简单地把“倍的认识”误认为本单元中的倍数，把“乘数也叫作因数”误认为本单元中的因数，可见这部分学生对倍数和因数的概念并不了解;一部分学生对倍数和因数概念的了解来自父母要求提前预习课本中的知识，因此对倍数和因数有所了解，但不完整。

2. 学生的“倍数”经验优于“因数”经验

笔者对第2道测试题答题情况进行了统计和分析，见表2、表3。

笔者对部分倍数理解错误的学生进行了访谈，他们主要有这样的想法：（1）倍数就是一组数里最大的数，比如，2、6、10这三个数中，10就是倍数;（2）倍数就是“谁是谁的几倍”，比如，红花有2朵，绿花有12朵，绿花的朵数是红花的6倍;（3）倍数就是乘法中的积，比如，8×7=56，56是倍数;（4）倍数就是除法中的被除数，比如，24÷3=8，24是倍数;24÷4=6，24是倍数;24÷6=4，24是倍数;24÷8=3，24是倍数;24÷5=4.8，24是倍数。

笔者对部分因数理解错误的学生进行了访谈，他们主要有这样的想法：（1）因数就是乘法中的乘数，如2×6=12中2和6都是因数;（2）因数是除法算式中的商，比如18÷6=3，3是因数。

由表2和表3可知，学生的“倍数”经验优于“因数”经验，这是因为曾经学过倍的认识与这里的倍数略有关系，乘数被称为因数与这里的因数毫无关系。可见学生对因数和倍数的概念还是缺失的，教师在课堂上要帮助学生认识因数和倍数的含义。

3. 较多的学生不知道“非0自然数”

笔者对第3道测试题答题情况进行了统计和分析，见表4。

笔者对部分不知道因数和倍数研究范畴的学生进行了访谈，他们主要有这样的想法：（1）部分理解，比如有的学生通过具体的举例认为1、2、3、4……9是“非0自然数”;（2）完全理解错误，比如有的学生认为比0小的数是“非0自然数”。总之，学生对“非0自然数”的概念模糊，与整数和自然数出现了混淆。

4.学生解决求一个数的因数和倍数的方法单一

笔者对第4道测试题和第5道测试题答题情况进行了统计和分析，见表5。

笔者对完全正确的学生进行了分析，他们主要用乘法算式得到36的所有因数。同时，笔者在对有遗漏或重复的学生分析中发现，有的学生写了两个6，认为找到的因数都要写上;有的学生没有找全积等于36的所有乘法口诀。完全错误的学生主要是不知道因数的概念导致的。

笔者对完全正确的学生进行了分析“见表6”，他们主要列举3的乘法口诀得到3的倍数。同时，笔者在对部分正确的学生分析中发现这些学生列举3的倍数后没有写上省略号，这意味着他们没有体会到倍数的个数是无限的。完全错误的学生主要是不知道倍数的概念导致的。

五、对小学数学教学的启示

1. 测试和分析后得出的结论

（1）五年级学生的倍数和因数经验的主要来源是课本和家庭，他们对“倍数”经验优于“因数”经验，较多的学生不知道“非0自然数”。

（2）五年级学生解决求一个数的因数和倍数的方法单一，主要错误是学生在求一个数的因数时出现了重复或遗漏，在求一个数的倍数时没有意识到倍數个数是无限的。

2. 对小学数学教学的启示

（1）在教学“因数和倍数”时，教师要创设各种活动帮助学生体会因数和倍数是一组有关联的概念，是成对出现的;

（2）在教学“因数和倍数”时，教材的编排顺序是先教学因数再教学倍数，教师可以顺应学生的认知，先教学倍数再教学因数;

（3）教师要借助乘法模型和除法模型帮助学生掌握求一个数的因数和倍数的方法，并知道因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身;倍数的个数是无限的，最小的倍数是1，没有最大的倍数。

作者简介：沈崌桦（1984-），本科学历，小学一级教师，从事小学数学教学与研究工作，曾获扬州市百堂好课一等奖、扬州市中青年教学骨干等荣誉。