解题教学要引导学生“善于优化”

许晓芳

［摘  要］ 解题教学是中学数学课堂教学的重要任务. 面对一些习题的烦琐解法，是训练学生不惧繁杂的运算耐心，还是“善于优化”，寻找“好的思路”？这就需要教师在进行解题教学备课时，充分探究不同解法，比较它们的优劣，预设出“铺垫问题”，结合学情相机追问，促进学生发现“好的解法”，同时发展师生对解题方法的鉴赏眼光.

［关键词］ 解题教学；善于优化；铺垫问题；解法鉴赏

最近笔者听了新入职教师的一节随堂课——新教师L上了一节一元一次方程的试卷讲评课. 从一道填空题的讲评中可以看出该教师在解题研究方面还有所欠缺——没有通过恰当的讲评显现出这道好题的价值. 本文先概述教师L讲评这道试题的过程，并给出笔者的教学再设计，最后围绕解题教学提出一些思考.

从一道习题的讲评记录说起

教师L：这道题是一道复杂的解一元一次方程题，我们班做对的同学不到四分之一，请科代表来讲讲他是怎么求解的.

生1（科代表）：我是先把x=2代入方程，然后依次去分母、去分母、移项、移项、去分母、移项，最后解得a=-4.

教师L：好的！你能到黑板上写出详解给大家看一下吗？

生1在黑板上写的解答过程如下：

将x=2代入方程，得

解得a=-4.

教师L：下面我再请一个做得正确的同学来说说解这道题的注意事项.

生2：我觉得去分母和移项时容易出错，比如去分母时，方程两边同时乘各分母的最小公倍数时，不能漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号.

教师L：很好！还有些同学可能看到这样外貌复杂的方程会在解题前产生害怕心理，看来还要多加训练呀.

简评 以上讲评过程只是简单地核对解题结果，并没有解读出这道较难考题的深层立意，可以看出教师L正在课前对这道考题的解法研究还比较肤淺，所以没能进一步追问学生是否有不同的解法. 下面围绕这道考题给出笔者的教学再设计.

围绕考题的教学再设计

出示考题之后，教师先安排解出的学生交流并展示他们的解法，然后教师预设以下问题，相机追问.

问题1：科代表处理复杂方程的过程显示了他较强的运算能力和变形能力，但老师觉得这样做还是有点烦琐，同学们想想还有没有其他的解法.

预设：如果学生能看出简捷的方法，就让学生先交流、分享；如果学生没有简捷的方法，教师再给出以下启发式问题（即问题2）.

预设：学生应该可以在以上思路的启发下，依次得出“中括号”“小括号”的整体的值，从而得到答案. 具体解析如下.

所以，x+a=-2，结合x=2，可得a=-4.

讲评之后，教师最好能再给出一道同类习题，以训练学生整体处理试题的眼光.

同类再练：已知关于x的一元一次方程2022x-1=2x+3k的解为x=2023，则关于y的一元一次方程2022·（y-1）+1=2（y-1）-3k的解为y=_____.

预设：如果学生把x=2023代入原方程，先解出参数k的值，再回代到后一个关于y的方程，解出y，这种解法本身没问题，但费时费力，不值得提倡. 此时教师要鼓励学生认真观察、对比两个方程，并将关于y的方程变形为2022（1-y）-1=2（1-y）+3k，然后直接看出1-y=2023，从而得到y=-2022.

关于解题教学的几点思考

1. 教学之前要探究并对比不同解法

就笔者的阅读和参加各类教研活动所见，与新授课的教学设计（或备课）相比，解题教学的课前设计（或备课）还没有得到教师充分而深入的研究，甚至存在教师课前只把待讲评的一些习题的参考答案看一遍，想清这些参考答案的主要步骤就直接走上讲台进行习题讲评的教学现状. 笔者认为，教师在开展解题教学之前，首先要“独立求解”讲评的习题（不宜先看参考答案），贯通思路之后进行多解探究，多解探究之后进行解法比较，理清不同解法的关键步骤，知晓不同解法的繁、简之别，对不同解法进行优、劣对比，等等. 在此基础上，教师再进行必要的教学预设，以及同类题的收集、选编或拓展. 只有进行这样的教学准备，教师才能在解题教学的过程中进退自如、居高临下，帮助学生学深、悟透. 可以发现，上文中的教师L显然没有在课前对“试题”进行一题多解的探究和思考，所以在“生1（科代表）”讲解了一个常规的烦琐解法之后认为“很好”，并让其他学生学习他的解法. 事实上，很多有经验的教师，即使课前因为种种原因没有对这道题的多种解法进行研究，在课堂上面对一个烦琐的解法时，也可以（或应该）向全班学生提问：“大家都听懂了，但你们觉得他的解法运算量是不是有点大？能不能再简化一下求解过程？”很多情况下，特别是面向全班学生提这样的“善于优化”的解后反思时，教师往往会得到一些优秀学生的积极回应，从而抛砖引玉出一些好的解法.

2. 预设铺垫问题结合学情相机追问

如上所述，对于解题教学的备课，教师首先要深入研究并对比不同解法，然后针对不同解法进行铺垫式问题的构思和预设，以便在实际教学过程中恰当使用这些铺垫式问题来启发学生获得思路. 这里所说的铺垫式问题，并不是直接告知学生思路或几何题的辅助线，而是给学生提供一种解题念头（可以是问题的原型或简化后的等价问题），以便学生在这种思路的启发下自主获得解题思路，从而增强解题信心，学会解题.

上文听课记录后，我们给出“教学再设计”，其中预设了一个铺垫式问题：“大括号”这个“整体的值”是多少？学生在这样的启发之下可以渐次思考：“中括号”“小括号”这两个“整体的值”是多少？从而训练学生“视为整体”的解题眼光或策略，发展学生的解题智慧. 在这里，值得一提的是，铺垫问题要结合学情相机出示，而不是机械教条式地推出这些课前“精心设计”的铺垫式问题. 比如，我们在观摩一些教学活动时，常常会看到有些教师在刚刚出示较难题之后，学生甚至还没有看（读）完习题，就急不可耐地启发学生如何解题. 比如“同学们有没有发现这个图形中有一个特殊的角”“同学们有没有想到取一个中点，构造三角形的中位线”“同学们有没有注意到这条抛物线与x轴有且只有一个公共点”等，这些启发，看似在帮助学生，其实是在弱化学生的思维，使他们产生思路启发的依赖，这并不利于学生独立思考能力的发展.

3. 教师要修炼必要的解法鉴赏眼光

我们知道大学中文系有不少学者的治学方向是文学鉴赏，类比来看，推而广之，笔者以为，数学教师也应该自觉修炼解法鉴赏的眼光. 比如对于一些习题的不同解法，教师要进行鉴别，比较优劣. 教师应自觉放弃那些烦琐的或“杀鸡用牛刀”的方法，而选择一些“初等”解法（即不需要运用更多高级数学工具的解法，比如能用全等处理的，就不运用相似；能用方程处理的，就不运用函数），或更简明、运算更简便的解法. 我们也常常看到有些解题研究的自媒体（如微博、个人网站或微信公众号）推送“一题十解”“一题二十解”之类“哗众取宠”的解题研究成果，仔细研究这些多解往往会发现，不少解法大同小异. 相对于这类“一题滥解”的研究，更有价值的是“多解归一”“善于比较”. 联系当下，新课程、新课标的培训活动“你方唱罢我登场”，新名词、新概念、新理念、新解读推陈出新，笔者希望有更多的大学教授、教研专家精选一些经典习题以帮助一线教师提高解题鉴赏的眼光，毕竟解题教学在中学数学课堂教学中占有相当大的比重.