过程分步探究，解法深入思考

王莹

［摘  要］ 开展二次函数综合题解题探究可以帮助学生强化基础，提升解题思维. 问题探究过程，建议采用基础强化与思想方法指导相融合的方式，立足基本问题，合理构建模型，分步解析过程，教学解题思维. 文章以一道二次函数综合题为例，开展解题突破，并深入探讨，提出相应的教学建议.

［关键词］ 二次函数；抛物线；旋转；K字形模型；思想方法

试题呈现

试题 如图1所示，已知二次函数y=mx2+（m2-m）x-2m+1的图象与平面直角坐标系的x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1.

（1）求二次函数的解析式以及点A，B的坐标；

（2）若P（0，t）（t<-1）是y轴上一点，已知Q（-5，0），将点Q绕着点P顺时针旋转90°后得点E，若点E恰好落在该二次函数的图象上，试求t的值；

（3）在（2）的条件下连接AD，AE，若M是该二次函数图象上一点，且∠DAE=∠MCB，试求点M的坐标.

解析突破

上述为二次函数综合题，涉及抛物线与直线相交、点旋转、等角等内容，三小问由易到难，关联性较强. 解决时建议立足条件解析问题，结合图象逐步突破.

1. 探求解析式

2. 模型定坐标

第（2）问探究点的坐标，旋转后所得的点在二次函数的图象上，核心条件有三个，需要分别进行解读.

条件①：由点P（0，t）（t<-1）可知P是y轴上的点，且t为小于-1的数.

条件②：点Q（-5，0）绕点P顺时针旋转90°后得到点E. 根据旋转特性可知PQ=PE，且∠EPQ=90°. 若连接QE，进一步可知△QPE为等腰直角三角形.

条件③：点E在二次函数的图象上，可知点E的坐标满足二次函数的解析式.

根据上述条件可知如下信息链：点Q，P的坐标→点Q旋转→点E在抛物线上. 显然问题的突破口是确定点E的坐标，于是解析突破可分如下三步.

第一步，根据题意绘制图2.

第二步，构建模型求点E的坐标.

由上述分析可知△QPE为等腰直角三角形，于是可构造“K”形全等模型，过程如下. 过点P作x轴的平行线，再分别过点Q和点E作该平行线的垂线，设垂足分别为R，F，如图3所示. 由模型特性可证△QRP≌△PFE，于是可推知PF=QR，EF=PR. 已知Q（-5，0），P（0，t），所以PF=QR=-t，EF=PR=5，进一步分析可知点E的坐标为（-t，t+5）.

第三步，将点坐标代入解析式求t值.

已知点E在二次函数的图象上，将点E的坐标（-t，t+5）代入函数解析式y=-x2+2x+3中，可解得t=-1（舍去）或t=-2，所以t的值为-2.

3. 定量探等角

第（3）问是等角存在性问题，建立在第（2）问条件的基础上，探究二次函数图象上的点M，使得∠DAE=∠MCB. 问题解析可以采用“把握不变量”与“确定性思想”的策略，即对于成立条件∠DAE=∠MCB，∠DAE的三个顶点A，D，E的坐标是确定的，故为定角，则∠MCB的大小一定，同时该角中与之相关的点B和点C也是定点，故点M的坐标可确定，可求出. 基于上述分析，解析突破可分如下几步.

第一步，三角形特性分析.

第二步，建模推坐標.

点M在二次函数的图象上，显然有两种情形：一是点M在点B的下端（M1），二是点M在点B的上端（M2）.

解后思考

上述对一道二次函数综合题进行了解法探究，试题的后两问为核心之问. 上述在解析时充分利用了“K”形模型，其中第（2）问依托旋转的点、线构造了“K”形全等模型，由全等三角形的性质推导线段长；而第（3）问则依托直角三角形构造了“K”形相似模型，利用相似比推导线段长. 整个解题过程，利用“K”形模型实现了线段的“化斜为直”，巧妙地利用模型特性推导线段长.

“K”形模型是几何中重要的模型之一，模型特性可广泛应用于解题. 从模型特征来看，两直角三角形共定角，且一边共线，形成了一个90°的夹角，由条件可证得两三角形有两种特殊关系：①全等关系（有一组对边相等）；②相似关系. 实际解答时，可依托相似或全等关系推导与边、角相关的条件. 而在函数问题中合理使用“K”形模型，可以避免烦琐的坐标运算，并借助模型特性实现线段“化斜为直”，直接获得线段长. 实际解答时，可以按照“图形分析→模型构建→特性推导→问题解答”四步进行，具体如下.

第一步，图形分析

由“K”形模型的特性可知，模型构建的基础为直角，故分析图形时关注其中的90°角或直角三角形.

第二步，模型构建

依托图形中的90°角或直角三角形构建“K”形模型，建模过程尽量采用补形的思路，依托三角形的顶点，作“水平—垂直辅助线”，实现线段“化斜为直”.

第三步，特性推导

该步主要利用模型的特性来证明一组三角形相似或全等，充分把握模型中的边角关系.

第四步，问题解答

依托上述所证的三角形相似或全等，推导与线段、角度相关的条件，进一步转化推理，即利用其中的线段长求点坐标，利用等角关系求三角函数值等.

教学建议

上述对一道二次函数综合题开展解题探究，呈现了试题解析突破的思维过程，并深入探究了“K”形模型，下面基于课堂实践开展教学探究，提出几点建议.

1. 强化基础知识，关注知识综合

二次函数综合题往往所涉考点较多，解析难度较大，在实际解析时需要合理处理条件. 探究教学需要立足基础知识，开展条件解读，灵活利用基本方法逐步拆解问题. 以上述试题为例，教师需引导学生利用待定系数法求解析式，结合旋转知识分析其中的几何特性，灵活运用全等或相似推导条件等. 同时，注意教学中的知识综合，指导学生关注知识间的关联，完善知识体系，尤其是综合性较强的函数类问题，从几何与代数视角综合分析.

2. 总结几何模型，活用模型特性

几何模型在解题中有着广泛的应用，利用模型特性可推导出直切问题本质的条件，上述在解析后两问的过程中充分引入了“K”形模型，利用模型的相似或全等特性推导出了关键条件. 而在实际教学中，教师要引导学生从以下几个方面开展模型探究：一是关注模型特征，即关注模型的特点、构建的条件；二是总结模型特性，即从几何角度证明模型特性；三是重视建模过程. 解题建模是教学的关键，教师需指导学生掌握建模技巧，构建合理模型.

3. 渗透数学思想，提升综合素养

综合题的解题过程中需要用到一定的数学思想，利用思想方法可以较为简捷地完成问题分析、条件转化、模型构建、问题解答. 以上述二次函数综合题为例，突破过程涉及化归转化、模型构建、数形结合、分类讨论等思想，解题时需在众多数学思想的指导下完成思路构建. 所以教学中教师要合理渗透数学思想，引导学生感悟思想内涵，掌握思想方法的运用技巧，依托数学思想开展思维培养，全面提升学生的综合素养.