解题教学中的“调味剂”

摘要著名数学家笛卡儿曾指出：“当我们已经直观地弄懂了几个简单的定理的时候，……如果能通过连续的、不间断的思考活动，把这几个定理贯穿起来，悟出它们之间的相互关系，并尽可能多地、明确地想象出其中的几个，那将是有益的.照这样我们的知识无疑地会增加，理解能力会有显著的提高.”在高三复习阶段更多的是“解题”，学习难免变得单调、枯燥而乏味，对此，我们不妨尝试改变一下“做了讲，讲了再做”的方式，选择一些结论可推广或拓展的问题类材料，适当开设一些探究课，引导学生深入观察、大胆猜想，应用归纳、类比、联想、引申等思维方式培养学生的发散性思维，这必将是有意义的.

关键词解题教学；探究；拓展思维

著名数学家笛卡儿曾指出：“当我们已经直观地弄懂了几个简单的定理的时候，……如果能通过连续的、不间断的思考活动，把这几个定理贯穿起来，悟出它们之间的相互关系，并尽可能多地、明确地想象出其中的几个，那将是有益的.照这样我们的知识无疑地会增加，理解能力会有显著的提高.”在高三复习阶段更多的是“解题”，学习难免变得单调、枯燥而乏味，对此，我们不妨尝试改变一下“做了讲，讲了再做”的方式，选择一些结论可推广或拓展的问题类材料，适当开设一些探究课，引导学生深入观察、大胆猜想，应用归纳、类比、联想、引申等思维方式培养学生的发散性思维，这必将是有意义的.1真题再现

（2012年高考江苏理数19）如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和（e，32）都在椭圆上，e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.（Ⅰ）若AF1-BF2=62，求直线AF1的斜率；（Ⅱ）求证：PF1+PF2是定值.

此题，当年被号称为“最变态”高考题，从笔者通过多种渠道得到的解答来看，求解过程在刻意回避了韦达定理后，确实比较繁琐，但我们如果发现了它的几何特性后，再考虑它的求解思路又是非常令人满意的.以下笔者就第（2）（Ⅰ）问的一种解法展开讨论.

因此，对于圆锥曲线（二次非圆曲线），有如下统一的结论：m=ep1-ecosθ，n=ep1+ecosθ，其中θ为过左焦点的焦点弦的倾斜角.到此，我们竟意外地发现，这正是圆锥曲线的极坐标方程！除此之外，我们不妨引导学生进一步推测：圆锥曲线会不会还有其它的统一性质呢？这必将追溯到圆锥曲线的起源.而正是它的由来“注定”了他们会具备很多统一的性质，可推得很多统一的结论.（1）圆锥曲线的由来：圆锥曲线这个名词最先是由古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）提出的.而在《人教A版数学选修21》一书的封面即有三幅图片（图5），它说明，当截面与圆锥轴线夹角不同时，可以得到不同的曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.由于这些曲线是由平面截圆锥而来，所以，称它们为圆锥曲线.

（2）统一定义：平面内的动点P（x，y）到一个定点F（c，0）的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e（e>0），则动点的轨迹叫做圆锥曲线——圆锥曲线的“第二定义”（《人教A版数学选修21》一书的“阅读材料”）.（3）统一性质：我们可以引导学生把圆锥曲线能够统一描述的性质制成一张表格，并不断进行补充， 如下表（本表适用于焦点在x轴上的椭圆和双曲线标准方程，以及焦点在x轴正半轴上的抛物线，其他类型圆锥曲线的情况均可类比推得）.

通径是指：过焦点并垂直于轴的弦.由圆锥曲线焦点弦的统一形式：2ep1-e2cos2θ，θ∈[0°，180°）知，当θ=90°，即cosθ=0时，焦点弦弦长m+n最短为2ep，此时的焦点弦即为通径，可见，通径是最短的焦点弦.

4回头“再”探究

心理学研究表明，每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能，或许有学生早已在前面“圆锥曲线的由来”中就有疑问：为什么得到的三条截口曲线正好是椭圆、双曲线和抛物线呢？这跟我们学过圆锥曲线的严格定义恰好吻合吗？数学概念是精确的、严谨的，只是看起来“像”是不够的.为释疑解惑，我们进行上述问题的“再”探究.

开始，人们都是用纯几何的方法研究圆锥曲线的，在17世纪笛卡儿发明了坐标系以后人们开始用坐标的方法研究它们.由于笛卡儿发明了坐标系，产生了一门新的学科，这就是解析几何——用代数的方法来研究几何.我们可以让学生尝试用坐标法去探究：为什么这些截口曲线是圆锥曲线？以下是用坐标法探究“截口曲线为什么是抛物线？”的一个片段.

如图6，用一个与圆锥母线平行的平面α截圆锥，得到一条截口曲线.设该曲线与圆锥底面圆周交于点C，D，连结CD.在底面上作垂直于CD的直径AB，交CD于点G.由对称性知，该截口曲线关于平面OAB对称，设该曲线与OB交于点P，则PG即为该曲线的对称轴.在平面α内过P点作PN∥CD，以P为坐标原点，PN为x轴，PG为y轴，建立平面直角坐标系.在截口曲线上任取一点M（x，y），过M点作平行于圆锥底面的平面，并与PG交于点Q，则x=|QM|，y=|PQ|，过Q点作该圆的直径与OA、OB分别交于点E、F.

设圆锥轴截面OAB的顶角为θ，θ∈（0，π），|OP|=l，设过P点且平行于底面的圆的直径长为d，则d=l2-2cosθ.在△PQF中，|PQ|=|PF|=y，所以|QF|=y2-2cosθ.

又|QM|2=|QF|·|QE|，所以x2=dy2-2cosθ，即x2=2l（1-cosθ）y，θ∈（0，π），所以截口曲线为抛物线.

有了以上例子，我们不妨引导学生自己尝试去证明另外两种截口曲线的情况.不仅如此，我们还可以继续设问：

问题1如图7，用一个与圆柱母线斜交的平面截圆柱，得到一条截口曲线，这条曲线是不是椭圆呢？你能不能证明你的结论呢？ 图7图8

问题2如图8，若该平面与圆柱底面所成角为θ，椭圆的离心率跟θ是否存在一定的数量关系呢？若存在，又是怎样的关系？

这样的探究不仅可以让学生改变一下每天“做题”，等老师“讲解”的單一模式，还可以让学生体会到书本知识的内涵和外延，有助于扩大学生的知识面，激发学生的学习兴趣，使学生对某些概念的产生“知其然”，且“知其所以然”，认识到数学是自然的，数学概念的产生也是自然的、水到渠成的，并体会蕴涵在其中的思想方法.5结束语

解题是一种实践性的技能，如果教师一味让学生操练一些常规运算，那么他就会扼杀他们的兴趣，阻碍他们的智力发展，从而错失良机.相反地，如果他用和学生的知识相称的题目来激起他们的好奇心，并用一些激励性的问题去帮助他们解答题目，那么他就能培养学生对独立思考的兴趣，并教给他们某些方法，而学生也将学到一些比任何具体的数学知识更重要的东西.

作者简介李新华（1982—），女，浙江桐乡人，

中学一级教师.课题曾获嘉兴市教科研成果一等奖，桐乡市教科研成果一等奖；多媒体课件曾获全国优胜奖，浙江省二、三等奖，嘉兴市一、二等奖.发表文章8篇.