例谈支架式教学在初中数学课堂教学中的应用

［摘  要］ 中考数学压轴题由于涵盖的知识点多，具有较强的综合性，学生普遍存在分析解答上的思维困惑. 支架式教学为解决此类问题提供了一种有效的探索. 支架式教学应当为学生理解知识提供一种概念框架，即把复杂的学习任务有效分解，一步步为学生提供适当的问题支架或建议支架，帮助学生逐步发现和解决问题，培养学生独立学习的技能，进而提升学生的学科素养. 文章结合2021年度江苏省徐州市的一道中考压轴题的分析，从搭建脚手架、进入情境、独立探索、协作学习和效果评价五个环节探讨支架式教学的价值.

［关键词］ 支架式教学；初中数学；课堂教学

中考数学压轴题承担着提升命题区分度，发展学生学科素养的功能，涵盖的知识点多，具有较强的综合性. 这类问题通常由于条件隐蔽，关系复杂，致使大部分学生难觅思路，望而生畏. 如果在平时教学中，教师能给学生搭建一个云梯，学生或许能顺势走出思考的低谷，攀上思维的山峰. 支架式教学给学生的就是这样一架“云梯”. 支架式教学应当为学生理解知识提供一种概念框架，是以培养学生自主学习能力和问题解决能力为目标的教学. 具体指事先把复杂的学习任务有效分解，一步步为学生提供适当的问题支架或建议支架，学生在这些具体支架的引导下，小步调攀升，逐步解决问题，掌握所学知识. 同时把学生的智力从潜在水平引导到更高的新的水平，更好地发展学生的高阶思维能力，促进学生核心素养的达成.

笔者以2021年徐州市中考数学第28题为例，浅谈支架式教学解决这种大型压轴题所表现的价值以及引领功能.

例题  （2021年徐州市中考数学第28题）如图1所示，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A，D重合），连接PB，PC.将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF.连接EF，EA，FD.

（1）求证：①△PDF的面积S=（1/2）PD2：②EA=FD；

（2）如图2所示，EA，FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围.

该题凸出考查正方形的性质、图形旋转、直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识，是一道具有较强思维含量的四边形综合题. 根据支架式教学的内涵特征，可以从以下五个环节（即搭建脚手架、进入情境、独立探索、协作学习、效果评价）引导学生试着解决该题，获得独立解决问题的技能.

搭建脚手架——分解重难点

学生独立解题时的能力和教师指导下的潜在发展水平之间存在一定差异，这种差异就是最近发展区. 按照最近发展区的要求，围绕当前问题中的难点与核心部分，将复杂的问题有效分解. 几何问题的突破关键是添加辅助线，提炼模型. 几何图形中添加辅助线通常是“有迹可循”的，根据条件寻找题目中隐含的基本模型，注重对基本图形的提炼与变化，便是本题的切入点.

常见的支架形式有问题支架、情境支架、范例支架、建议支架等，而问题支架是学生在学习过程中最常见的支架，为此通过搭建以下几个问题支架，有效分解复杂的问题，降低问题的难度，辅助学生完成解答.

问题支架1：证明线段相等，常用的方法是构建全等三角形.

问题支架2：本着“承上启下”的原则，弄清问题间是“平列关系”还是“递进关系”.

问题支架3：“特殊的点，特别的爱”，深度关注第（2）问中的附加条件“点N是EF的中点”，并加以智慧运用，可巧妙转化问题“MN的取值范围”.

进入情境——深度理解

高质量的问题情境能有效启发学生思考. 三个问题支架建立在学生的最近发展区内，源于题目本身，又对解决问题起着驱动作用，是学生深度理解问题所需要的. 像这类大型解答题，如果没有问题支架的帮扶，很多学生会感到无所适从. 而现在通过问题支架的引领，有效分解复杂的问题，消除学生的畏惧心理，能产生真正吸引学生的力量，使学生走进解决问题的情境中来，感受一些教师所经历的思维过程，在心理上增加学生解决问题的信心和勇气.

独立探索——逐步攀升

在学习过程中，学生本身就是一个积极的探索者. 让学生自己独立去思考、去探索、去发现，做学习的主人，充分发挥学生学习的主动权，这是每一位教师都应该做的最有意义的引导. 针对问题的复杂性，开始先由教师启发引导，然后再让学生自己分析. 根据问题的难度情况，起初的分析步调可以小一些，引导和帮助可以多一些，随后逐渐减少帮助，愈来愈多地放手让学生自己探索分析，获取自己的认知成果，尝试跨越最近發展区.

对于问题（1）的第①问“求证：△PDF的面积S=（1/2）PD2 ”，根据三角形的面积公式，可以通过添加辅助线“PD边上的高FH”，将原问题转化为“证明PD=FH”.学生借助自己的解题经验，依据题意中的∠FPC=90°，构建全等模型之内弦图，完全有能力自己解决这个问题.

对于问题（1）的第②问“求证：EA=FD”，由于两条线段之间没有联系，直观性不强，学生解决起来有一定难度. 教师可以根据学生的实际水平，将此问题分解成一些小的问题支架，帮助学生更好地探索. 比如，类比第①问中的∠FPC=90°的应用，处理∠EPB=90°；设PD=x，试着证明△AEQ≌△FDH（见图3）. 在探索过程中要给予学生充足的思考时间，鼓励学生勇敢地沿着支架慢慢攀升，一边攀升一边内化支架，理解问题，特别是对隐性知识的挖掘和基本模型的提炼有进一步的体悟.

对于问题（2）“求MN的取值范围”，对学生而言区分度强、难度大，需要教师提供问题支架，以保证学生即使不能独立完成任务，也可以使学习过程顺利地进行下去. 比如，问题支架2提出的“承上启下”的原则，是指借助EA=FD推导全等三角形，进一步猜想△EMF的形状并尝试证明；问题支架3中的“特殊的点，特别的爱”，即通过附加条件“N是EF的中点”，结合△EMF的形状，把问题“求MN的取值范围”转化为“求EF的取值范围”，进一步根据经验，在直角三角形中用勾股定理求线段的长度来解决问题. 这些问题支架使学生的探索活动得以持续进行，使学生原本看起来不可能完成的任务有了成功的可能，增加学生的解题信心的同时，提高学生的认知水平.

问题解决中的大大小小的“支架”类似于程序中的转换功能，每一层支架都是在转换思想，把未知转向已知，把复杂转向简单. 若干个小问题在不断裁剪、组合、转换的过程中，层层递进，既丰富学生的思维，又为不同层次的学生展示自己的水平创造平台，使学生在日后通过搭建支架的方法支持自己学习，完成问题解决.

协作学习——讨论展示

通过恰当的教学干预，在个人独立探索的基础上，为建构知识展开必要的小组讨论，进一步为学生学习提供“小支架”. 在讨论过程中多种意见相互矛盾，争论激烈，原本不确定的答案变成确定，原本迷茫的思路变得清晰，原本“走投无路”的误区变成“柳暗花明”的正道，原本众说纷纭的观点逐渐趋于一致. 这些观点的交流、碰撞、争辩，使学生统一思想，达成共识. 逐步解除之前设置的大小支架，内化吸收，对当前问题的体悟和理解更全面，使思维走向更深处.

如图3所示：

（1）问题（1）的第①问“求证：△PDF的面积S=PD2”.思路展示：根据题意，PC绕点P逆时针旋转90°得到PF，可知PC=PF且∠CPF=90°，从而构造△CDP≌△PHF，所以PD=HF，所以△PDF的面积S=PD2.

（2）问题（1）的第②问“求证：EA=FD”. 思路展示：构造△PEQ≌△BPA，得到EQ=AP，PQ=AB，然后证明线段AQ=PD=FH（这步很关键，也是这一问的难点所在），最后证明△AEQ≌△FDH，得到AE=FD.

（3）问题（2）“求MN的取值范围”. 思路展示：由△AEQ≌△FDH，可得∠1+∠2=90°，故∠AMD=90°，得出△EFM是直角三角形.由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得MN=EF，将“求MN的取值范围”转化为“求EF的取值范围”.

（4）求线段EF的长度. 思路展示：过点F作FG⊥EQ，垂足为G. 设PD=x（0<x<4），则FH=AQ=x，AP=DH=EQ=4-x，故FG=QH=8，EG=EQ-FH=4-2x.在Rt△EFG中，由勾股定理得EF==.

（5）确定EF的取值范围. 思路展示： 根据0<x<4，所以8≤EF<4，所以4≤MN<2.

思维成果共享的展示过程，既深化学生对问题全面正确的理解，又促进学生对知识的深层认知. 教师在肯定赞许这种解答过程的同时引导学生回顾完整的答案，重新斟酌，整合知识，从相互转化的角度创新思考：对于线段MN的长度，还可以借助哪种方法求解？学生受到刚刚成功解答的鼓舞和教师的激发，课堂再次活跃起来，集思、讨论、交流……抛开原有的思路，大胆尝试新方法. 当学生集体困惑时教师适时给出提示支架——采用解析几何法，建立平面直角坐标系，设关键点E，F的坐标，利用平面内两点间的距离公式表示EF的长度. 学生顺着提示支架定能发现“建系”思路，从而进一步创新解题方法，深化对答案的理解，提升知识间的综合转化能力.

（6）“建系”思路展示：如图4所示，以点B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系. 由AQ=PD=x，EQ=AP=4-x，得点E的坐标为（-x，8-x）；由FH=PD=x，DH=AP=4-x，得点F的坐标为（8-x，x+4）；由平面内两点间的距离公式，得EF=……用代数法研究几何图形，体现了数形结合思想，再一次丰富了学生的认知结构，促使学生形成了勇于探索创新的精神，让教学走在了发展的道路上.

效果评价——反思提升

对学习效果的评价可以是自评、他评或组评. 教师通过问题解决的全过程，引导学生充分反思，做出相关评价.

（1）自学能力的评价. 你能独立解决本题到什么程度？在你独立解题时是否关注过对隐含条件的挖掘，对几何模型的提炼？对题目中的某个关键条件你是如何处理的？突破难点时是否有效利用了支架的辅助功能？有没有多角度地创新解题思路？

（2）对小组学习做贡献的评价. 有没有参与小组的讨论并展示自己的观点？在聆听的过程中有没有吸收他人的观点？小组内的交流讨论对你有哪方面的帮助？针对本题你为小组做了哪些贡献？

（3）对本题知识建构的评价. 通过本题的解决你真正理解并掌握了相关知识吗？能否规范整理出解答过程？思维、运算过程是否可以变得再简捷些？解题开始时的困惑是心理上的障碍还是知识方法上的不足？通过问题的解决你获得了哪些方面的收获？这些收获中对你帮助最大的是什么？这样不断地质疑、反思、评价能使学生的解题过程更清晰，解题思路更明朗，解题方法更靈活，有效完成知识建构.

数学学习实质是面向问题解决的学习，需要教师准确地分析学生的现有水平和潜在水平，带领学生通过问题解决而达到新的发展水平. 支架式教学正是从学生思维的现有水平出发，利用支架有效等价转化问题，提升学生的高阶思维能力，引领学生学会利用各种途径构建支架来支持自己学习，使自己慢慢成长为具有自主学习能力的学习者.

作者简介：朱敏敏（1979—），本科学历，中小学一级教师，从事初中数学教学工作.