分步突破解函数，数形分析破交点

张燕　阎靖峥

［摘  要］ 函数交点是初中数学研究的重点，该类问题往往立足函数的基础知识，融方程、不等式、图象等知识内容. 探究问题时，研究者要理清函数图象位置关系、交点、方程解之间的关联，采用数形结合的分析方法. 文章结合一道函数综合题，开展问题探究，并反思解法，提出相应的教学建议.

［关键词］ 函数；交点；位置关系；不等式；数形结合

函数交点问题是初中数学常见的问题类型，主要研究两函数的位置关系，具体问题中体现在交点坐标和交点个数上，构建形式涉及简单的两直线相交、复杂的直线与抛物线相交. 求交点坐标最为常见的方法是联立方程得到方程组. 而两函数的交点个数有多种情形，包括0个、1个、2个等. 对于抛物线与直线的相交问题，常采用根的判别式来判断交点个数. 但在实际考查时，函数的解析式中往往含有参数，试题综合性较强，所以此时需要立足根本方法，采用数形结合的方式来进行探究.

试题呈现

试题 在平面直角坐标系中，抛物线y1=-（x+4）（x-n）与x轴相交于点A和点B（n，0） （n≥-4），顶点坐标记为（h1，k1）. 抛物线y2=-（x+2n）2-n2+2n+9的顶点坐标记为（h2，k2），请回答下列问题.

（1）写出点A的坐标；

（2）求k1，k2的值（用含有n的代数式表示）；

（3）当-4≤n≤4时，探究k1和k2的大小关系；

（4）经过点M（2n+9，-5n2）和点N（2n，9-5n2）的直线与抛物线y1= -（x+4）（x-n），y2=-（x+2n）2-n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值.

分析 此题为函数综合题，主要研究抛物线、直线之间的位置关系，最显著的特点是函数的解析式中含有参数，故此题本质上属于动态函数问题. 探究试题时，我们需要关注参数取值对函数图象的影响. 具体分析时，我们要把握函数交点坐标，利用交点将问题转化为具体的代数问题.

<D：＼数学教学通讯中旬＼2023数学教学通讯中旬（08期）＼2023数学教学通讯中旬（08期） c＼aa-1.jpg> 分步探究

试题共4个小问，每一问均含有一定的条件，所以我们要结合对应信息具体分析. 下面采用分步突破的策略来进行探究.

1. 第一步：解析式分析，坐标巧推演

第（1）问求点A的坐标，点A为抛物线与x轴的交点，则只需要令y=0，求出x即可. 已知抛物线的解析式为y1=-（x+4）（x-n），所以可直接确定点A的坐标为（-4，0）.

2. 第二步：变形与联立，纵坐标值推导

第（2）问求参数k1，k2的值，其中k1是抛物线y1的顶点纵坐标，k2是抛物线y2的顶点纵坐标. 求抛物线顶点纵坐标的方法有两种：一是采用变形为顶点式的方法，即把抛物线的解析式变形为顶点式；二是采用定对称轴，相交联系的方法，即首先确定抛物线的对称轴所在的直线，再联立直线与抛物线的解析式.

抛物线y1的解析式为y1=-（x+4）·（x-n），用配方法轉化为顶点式较为复杂，可以采用上述方法二. 已知抛物线y1与x轴的两交点分别为A（-4，0）和B（n，0），则抛物线y1的对称轴为直线x=-2+，对称轴直线与抛物线y1的解析式联立后，可解得k1=. 抛物线y2的解析式为y2=-（x+2n）2-n2+2n+9，此解析式已为顶点式，由方法一可直接确定k2=-n2+2n+9.

3. 第三步：代数方法解析，参数大小探究

第（3）问是建立在第（2）问的基础之上的，求解的问题是：当-4≤n≤4时，探究k1和k2的大小关系. 常规方法是“作差+分析”，即首先对两参数作差，然后基于不同情形来构建不等式，通过解不等式来确定结果.

对k1和k2作差，即k1-k2=n2-5（其中-4≤n≤4）. 分三种情形进行讨论：①当k1-k2>0时，可得n2>4，解得n>2或n<-2，所以当-4≤n<-2或2<n≤4时，k1>k2；②当k1-k2<0时，可解得-2<n<2，所以当-2<n<2时，k1<k2；③当k1-k2=0时，可解得n=2或n=-2，所以当n=2或n=-2时，k1=k2 .

另解：对于上述参数值的大小比较，还可以采用函数图象法，即通过分析函数图象来加以确定，过程如下.

已知 k1=，k2=-n2+2n+9，比较k1和k2的大小，可通过分析函数图象的位置关系来确定，即分别将k1和k2关于n的二次函数图象作出，通过图象来直观反映n的取值.

结合函数解析式可绘制如图1所示的图象，令=-n2+2n+9，可解得n=±2，即图中两曲线的交点横坐标分别为-2和2. 结合-4≤n≤4可将曲线分为五段，对应五种情形：①当-4≤n<-2时，k1>k2；②当n=-2时，k1=k2；③当-2<n<2时，k1<k2；④当n=2时；k1=k2；⑤当2<n≤4时，k1>k2.

4. 第四步：数形结合分析

第（4）问是关于直线与抛物线的交点个数问题，并且新增的条件为坐标中含有参数的点，且直线与两抛物线共有3个不同的交点. 分析问题时，我们需要先确定直线的解析式，然后采用数形结合、分类讨论的策略来加以确认.

已知直线经过点M（2n+9，-5n2）和点N（2n，9-5n2），可设直线的解析式为y=kx+b，由待定系数法可得y= -x-5n2+2n+9，又知y1=-（x+4）（x-n），y2=-（x+2n）2-n2+2n+9，分析可知直线MN与抛物线y2经过y轴上的同一点，即（0，-5n2+2n+9）.

联立直线MN与抛物线y2的解析式，可得x2+（4n-1）x=0，解得x1=0，x2=1-4n. 若直线MN与抛物线y2有唯一的公共点，则其横坐标为0，可得1-4n=0，解得n=，此时直线MN与抛物线y1的解析式可求，但联立它们后所得的方程无实数根，不符合题意.

根据上述分析可知直线MN与抛物线y2始终有两个公共点，现在需要讨论抛物线y1是否经过点（0，-5n2+2n+9）.

若抛物线y1经过点（0，-5n2+2n+9），有-5n2+2n+9=4n，解得n=，联立直线MN与抛物线y1的解析式，其判别式为Δ=21n2+2n-27，若判别式为0，所得的n值与上述不符，故当抛物线y1经过点（0，-5n2+2n+9）时，抛物线y1与直线MN有两个公共点，此时符合题意的n有两个值，为n=，直线与抛物线的图象关系如图2所示（其中一种情况）.

若抛物线y1不经过点（0，-5n2+2n+9），则抛物线y1必然与直线MN只有一个公共点，图象关系大致如图3和图4所示两种情形.

联立直线MN与抛物线y1的解析式，令其判别式为0，即Δ=21n2+2n-27=0，可解得n=.

综上所述，经验证，当n≥-4时，满足直线MN与两抛物线有3个不同公共点条件的n的值有4个，分别为，，，.

<D：＼数学教学通讯中旬＼2023数学教学通讯中旬（08期）＼2023数学教学通讯中旬（08期） c＼aa-1.jpg> 解后反思

上述对一道函数综合题进行了解法探究，试题共4个小问，难度存在一定的梯度，主要探究直线、抛物线之间的关系. 试题的前两问主要考查函数的基础知识，后两问则从知识综合角度考查函数，同时后两问的解法思路具有一定的参考价值，下面深入反思.

1. 关于第（3）问的解法反思

该问探究n的取值范围下k1和k2的大小关系. 上面呈现了两种解法，分别从不等式和函数图象视角进行了突破，其中不等式法的“代数属性”明显，侧重将问题转化为不等式问题，不等式法的核心是代数作差运算，变形简化；而函数图象法的“几何属性”明显，侧重将问题转化为函数问题，利用函数图象的性质来解题，函数图象的位置关系与函数值的大小关系是此解法的核心所在.

2. 关于第（4）问的解法反思

该问探究直線与抛物线公共点的个数，为试题的压轴之问，其中直线MN与抛物线y2的公共点是问题的突破口. 分类讨论是求解该问的思路基础，围绕公共点可分三层进行讨论：第一层，确定直线MN与抛物线y2始终有公共点（0，-5n2+2n+9）；第二层，讨论抛物线y1是否经过点（0，-5n2+2n+9）；第三层，深入讨论点（0，-5n2+2n+9）是否为直线与抛物线y2的唯一公共点. 该问的逻辑性极强，深刻理解直线与抛物线的位置关系，掌握交点与图象关系的情形是解题的关键.

教学建议

从上述问题探究与解法反思来看，函数交点问题的教学需要关注两点：一是关注函数与方程的关系，掌握直线与曲线交点的探索方法；二是关注数形结合的解析方法.

1. 关注函数与方程，透视交点关系

函数综合是初中数学探究的重点，该类问题的综合性较强，常将函数、不等式、方程等知识融合在一起. 教学时教师要引导学生掌握抛物线与直线交点的探究方法，即联立方程，利用判别式来判断交点数量. 而对于涉及直线、抛物线等多类函数图象的交点探究，要注意理清其中的关系，关注交点与图象位置的关系. 如直线始终位于抛物线的上方，为相离关系，此时抛物线必然开口向下；又如上述问题中如果直线与一条抛物线为相离关系，则不同交点个数不可能为3. 教学中，教师要引导学生关注直线与曲线的交点、直线与曲线的位置关系与方程解个数之间的关联，深刻理解其中的逻辑关系.

2. 关注数形结合，突破图象分析

数形结合是解决函数综合题的重要方法，尤其在解析直线、抛物线之间的位置关系中有着广泛的应用. 教学中，教师要引导学生把握方法的思想精髓，掌握数形结合的解析技巧，即由“数”塑“形”，以“形”释“数”. 以上述最后一问为例，即根据函数的解析式来绘制草图，通过分析直线与曲线的交点和位置关系来辅助分析，并进一步完善图象. 同时教学中，教师要指导学生学习草图作法，尤其是抛物线的特征画法，即确定抛物线的顶点坐标、开口方向、与坐标轴的交点.