例谈重建平面直角坐标系巧解一类二次函数综合题

［摘  要］ 以二次函数为背景，融平面几何、三角函数等核心知识、核心方法于一体的综合题，是中考或其他大型联考的必考题型，有很强的区分度. 纵观历年来学生的答题情况，他们往往在运算上出现障碍. 学生想不到重建平面直角坐标系来简化二次函数表达式，以削减计算量.

［关键词］ 二次函数；重建平面直角坐标系；简化

在每年的中考复习或中考中，都会出现以二次函数为背景的原创综合题. 有这么一类二次函数综合题，要么是解题思路虽很清晰，但因运算量大、技巧性强，难倒了一大批学生；要么是解题思路隐蔽，思路受阻，又难倒了一大批学生. 对于这类综合题，有无良好的应对之策？下面举例说明.

例题1 如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴与x轴的交点为E.

（1）求抛物线的解析式及点E的坐标；

（2）略；

（3）若过点E的直线与抛物线交于M，N两点，连接DM，DN，判断DM与DN的位置关系并说明理由.

原解析 （1）易得抛物线的解析式为y=-x2-4x-3，E（-2，0）.

（2）略.

（3）此问的解决思路多样且清晰，如：①运用勾股定理的逆定理，即由DM 2+DN 2=MN 2，推得DM⊥DN；②运用直线DM与直线DN的斜率乘积为-1推得DM⊥DN；③运用（图1中的）△MFD∽△DGN，证得∠FMD=∠NDG，从而推得DM⊥DN. 但无论采用哪种方法均需设出直线MN的解析式y=kx+2k，及M（x，y），N（x，y）. 不妨采用方法②，根据题意，令-x2-4x-3=kx+2k，即x2+（k+4）x+2k+3=0，所以x+x=-k-4，x·x=2k+3. 所以k·k=·===

==-1.所以DM⊥DN.

原解析的剖析及新解析的设想：以上求解第（3）问的方法很常规，但对数式运算的要求很高，只有具备一定运算能力的学生才能完成. 这道题烦琐在何处？笔者认为烦琐在二次函数解析式是二次三项式. 那能否将二次三项式化为二次一项式？可以！重新建立平面直角坐标系即可. 以抛物线的顶点D为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系x′Dy′，于是可得在新平面直角坐标系下抛物线的解析式为y=-x2. 而且容易看出，在新的平面直角坐标系中，原图形的形状、图形中的相对位置和数量关系均未改变，改变的仅仅是各条直线及抛物线的解析式. 所以第（3）问可以化归到新的平面直角坐标系中来加以解决.

第（3）问的新解析  以抛物线的顶点D为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系x′Dy′. 于是可得在新平面直角坐标系下抛物线的解析式为y=-x2，直线MN的解析式为y=kx-1. 设M（x1，y1），N（x2，y2），令-x2=kx-1，即x2+kx-1=0，所以x+x=-k，x·x=-1. 所以k·k=·====-1. 所以DM⊥DN.

例题1中的新解法简捷明了，这不禁让笔者回想起多年前的一道题.

例题2 （江苏如皋一模）如图3所示，抛物线y=x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x=1，与x轴的交点为A（-3，0） ，B两点. 将抛物线y=x2+bx+c绕点B逆时针旋转90°，M，A两点分别为M，A两点旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点.

（1）写出点B的坐标及抛物线的解析式.

（2）略.

（3）设P是旋转后抛物线上DM之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PMMD的面积最大？如果存在，请求出四边形PMMD面积的最大值；如果不存在，请说明理由.

原解析 （1）易求得B（5，0），抛物线的解析式为y=x2-x-.

（2）略.

（3）此问太新颖了，在平时的教学和练习中，学生只研究过抛物线开口向上或向下的情况，开口向左或向右的抛物线他们没研究过. 对于此问，能做出正确答案的学生太少了，教师们的做法也大多是将其转化到开口向上的抛物线上去研究. 全市统一阅卷时，所给的参考答案也是上述方法，详述如下.

如图3所示，连接MD，因为S是定值，所以要使四边形PMMD的面积最大，只需要S最大. 将△PDM绕点B顺时针旋转90°，则点M与点M重合. 设旋转后点P与点Q是对应点，点D与点F是对应点. 因为Q，F两点都在抛物线y=x2-x-上，所以点F的坐标为（-5，5）. 设点Q的坐标为n，

n+= -（n+2）2+. 所以当n=-2时，S取得最大值=. 因为点M的坐标为（1，-4），点M的坐标为（9，-4），点D的坐标为（0，-10），所以S=×6×8=24. 所以四边形PMMD的最大面积为24+=. 所以存在点P使四边形PMMD的面积最大，且最大面积为.

原解析的剖析及新解析的设想：以上求解第（3）问的方法体现了还原的转化思想，而且对“求点D的对应点F的坐标”要求也较高. 在新的问题背景中，很少有学生想到还原、转化. 有无简捷之法？有！笔者注意到旋转后抛物线与原抛物线的形状相同，为了便于写出旋转后抛物线的解析式，我们不妨以M为原点，以旋转后抛物线的对称轴为y轴建立如图4所示的平面直角坐标系x′My′，此时，旋转后的抛物线在新的平面直角坐标系下的解析式为y=x2，而且在新的平面直角坐标系下，原图形的形状、图形中的相对位置关系和数量关系均保持不变，改变的仅是直线或抛物线的解析式. 于是第（3）问可以化归到新的平面直角坐标系中来加以解决.

（3）问的新解析  以M为原点，以直线MM为y轴建立如图4所示的平面直角坐标系x′My′. 为了研究问题的方便，可抽出基本图形如图5所示. 在新的平面直角坐标系x′My′下，抛物线的解析式为y=x2，直线CD的解析式为y=9，所以D（-6，9）. 所以直线DM的解析式为y=-x. 过点P作y′轴的平行线交直线DM于点Q， 设Pp，

p-p2= -（p+3）2+（-6<p<0）. 所以当p=-3时，S有最大值. 又因为S=×6×8=24，所以四边形PMMD的面积有最大值，且最大值为24+=.

上两例的新解析凸显了重新建立平面直角坐标系的普适性和简捷性.

（1）以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立新的平面直角坐标系并不影响原来的图形形状、图形中的相对数量关系和位置关系——这是重新建立平面直角坐标系的普适性.

（2）在新的平面直角坐標系中，二次函数的解析式一般是以形如y=ax2（a≠0）的形式参与运算，大大降低了运算量——这是重新建立平面直角坐标系后解决问题的简捷性.

在与同行们进行研讨时，笔者发现教师们在遇到复杂的二次函数解析式参与运算或将抛物线绕某点旋转一定角度后不知解析式时，他们很少想到重新建立平面直角坐标系. 另外，笔者上网搜索有关重新建立平面直角坐标系的文献，发现这样的文献也很少. 基于此，笔者将平时教学中的点滴心得，流于笔端，撰写成文，以期对大家有一定的借鉴作用，不当之处，敬请指正！

作者简介：李霞（1976—），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学与研究工作，曾获如皋市优秀教育工作者称号.