动静互化 有无相生——谈“一次函数、一元一次方程和一元一次不等式”教学*

徐小建 (江苏省南通市通州区平潮实验初级中学 226361)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自普通乡镇初中的普通班,学生基础一般．

1.2 教材分析

教材选自苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册第6章第6节．在前面一节课,学生刚刚学习了一次函数与二元一次方程(组)的关系,知道一次函数的解析式就其本质而言就是一个特殊形式的二元一次方程,理解了方程的解(数)与函数图象上点(形)的坐标之间的对应关系．因此,就本节课而言,如何将二元的一次函数与一元一次方程和一元一次不等式自主无痕而不是机械灌输地联系起来,让学生学会用函数的观念看一元一次方程和一元一次不等式,获得更高观念的理解,是教者首要考虑的问题．

教学目标 (1)理解一次函数、一元一次方程和一元一次不等式之间的关系,掌握用图象法解一元一次方程、一元一次不等式的方法;(2)类比一次函数与一元一次方程的关系的研究方法,自主研究一次函数与一元一次不等式的关系;(3)感悟一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式之间“动静互化”“有无相生”的关系．

教学重点 理解一次函数、一元一次方程和一元一次不等式之间的关系．

教学难点 感悟一次函数、一元一次方程和一元一次不等式之间“动静互化”“有无相生”的关系．

2 教学过程

2.1 情境引入

一根长25 cm的弹簧,一端固定,另一端挂物体．每挂1 kg质量的物体,弹簧伸长0．5 cm．设所挂物体的质量为xkg,弹簧的长度为ykg,弹簧伸长后的长度不能超过35 cm．

(1)写出y与x之间的函数表达式,注明自变量的取值范围并画出对应的图象;

(2)求这根弹簧在允许限度内可挂物体的最大质量(请至少用两种不同的方法求解)．

教学过程简介 对于问题(1),多数学生都能准确写出函数解析式y=0.5x+25,正确注明自变量的取值范围0≤x≤20,并画出对应的图象(线段,图略);对于问题(2),大部分学生会列方程0．5x+25=35,求得最大质量为x=20 kg,但是解释不清理由．下面是教学实录片断:

师:刚才生1通过方程求出了最大值,但是他不能解释理由,哪位同学能帮他解释清楚呢?

生2:其实他不应该列方程,根据题意应该列不等式0．5x+25≤35,解得x≤20,显然20就是最大值了．

师:非常好!生2没能帮生1说清楚,但是他给出了自己的理解,大家认同他的想法吗?

生众:认同．

师:刚才生1列方程求出了结果,但是无法解释清楚,生2另辟蹊径列了不等式完美解决了问题．那么是不是生1的做法就解释不清楚了呢?我们能否从函数增减性的角度给生1的做法一个完美的解释呢?(教者手指黑板上的图象)

生1:我想到了,一次函数y=0．5x+25中y随x的增大而增大,所以当y最大时,x最大,因此当y=35取得最大值时,x=20也是最大值．

师:非常好!生1为自己的解法做了最完美的解释,此处应该有掌声!

(学生们鼓掌)

师:刚才生1发现他的方程其实是来源于函数y=0．5x+25,那么生2请你说说,你的不等式是不是也与函数y=0．5x+25有着某种关系?

生2:是的,不等式0．5x+25≤35其实就是一次函数y=0．5x+25中y≤35．(教者用课件高亮显示函数图象中对应的部分,并将相应y与x的取值范围标示为闪烁状态)

师:很好!在刚才的解题过程中,我们发现一次函数、一元一次方程和一元一次不等式之间存在着某种联系,今天这节课我们就来研究它们之间的关系．(出示课题)

2.2 探究一次函数与一元一次方程的关系

探究1特例探索．

(1)当x为何值时,函数y=2x+4的值为0?

(2)请结合图象思考,如何将解方程2x+4=0转化为一次函数的问题来解决?

(3)思考:一元一次方程2x+4=0与一次函数y=2x+4有怎样的关系?

教学过程简介 对于问题(1),学生直接解方程求出x的值;对于问题(2),绝大多数学生都能画出函数图象,并通过图象与x轴交点的横坐标顺利求出了x的值．下面是引导学生感悟一次函数与一元一次方程关系的片断:

师:刚才我们通过一次函数的图象解出了一元一次方程2x+4=0的解．通过这个求解过程我们能否感悟到函数与方程之间的某种关系?

生3:方程的解就是图象与x轴交点的坐标．

师:我明白你想表达的意思是正确的,但是你表达得并不准确,想一下交点坐标是什么?

生3:交点坐标是(-2,0)．

师:(-2,0)是方程的解吗?应该如何表达?

生3:一元一次方程2x+4=0的解是一次函数y=2x+4的图象与x轴交点的横坐标．(教者用课件展示函数图象与x轴交点的横坐标以及对应的纵坐标,让学生从视觉上感悟y等于0时x等于2)

探究2向一般情况推广．

(1)如何利用一次函数y=2x+4的图象解方程2x+4=1,2x+4=2,2x+4=3……呢?

(2)思考一元一次方程kx+b=m与一次函数y=kx+b有怎样的关系?(k,b,m为常数,k≠0)

教学过程简介 问题(1)中的系列方程在教学过程中不是一次呈现的,而是每解一个后呈现下一个,当教者不断要求学生解方程时,大多数学生意识到了教者的意图,此时问题(2)就水到渠成了．下面是片断简介:

师:下面我们来看如何利用函数y=2x+4的图象解方程2x+4=1.

生4:方程的解就是图象与直线y=1交点的横坐标．

师:那方程2x+4=2呢?

生5:就是图象与直线y=2交点的横坐标．

师:那方程2x+4=3呢?

生6:就是图象与直线y=3交点的横坐标．

师:我如果这样一直问下去,方程2x+4=4,2x+4=5……同学们,你们知道老师想让你们理解什么呢?

生7:老师是想让我们知道一元一次方程2x+4=m的解是一次函数y=2x+4的图象与直线y=m交点的横坐标．(教者用课件动态展示直线y=m与直线y=2x+4的交点横坐标随m的变化而变化)

师:说得很好!但是你还没有完全明白老师的意图．老师现在还想问,方程3x+5=1,3x+5=2……呢?

生7:老师,我明白你的意思了!就是让我们理解一元一次方程kx+b=m的解是一次函数y=kx+b的图象与直线y=m交点的横坐标．(教者继续用课件展示动态变化情况)

师:生7说得太对了,老师的意图就是让大家从刚才的特例出发最终推广到最一般的情况．现在哪位同学再来谈谈一次函数何时变为一元一次方程?

生8:当一次函数的函数值y取一个确定的值时,一次函数就变成了一元一次方程．

师:那也就是说一个一次函数其实可以包含多少个一元一次方程?

生8:包含无数个,随便取一个y的值就能得到一个一元一次方程．

师:那也就是说,只要将一次函数中的函数值由动态的(变化的)变为静止的(确定的),此时函数就变为方程,也就是说方程是态的函数?(教者拉长了声音,启发学生回答)

生众:方程是“静”态的函数．

师:说得太对了!从函数的角度来看方程,方程就是一个静态的函数．那么反过来,函数是的方程呢?(教者拉长了声音,启发学生回答)

生众:函数是动态的方程．

师:这话又如何理解呢?

生9:就是让方程右边的那个数动起来,可以是任何数的时候,方程不就变为函数了吗?

师:你讲得很有道理,所以,在现阶段,我们完全可以说方程与函数之间其实是一种“动静互化”的关系．(总结过程中,用课件直观展示“动”与“静”互化的情形)

2.3 探究一次函数与一元一次不等式的关系

教学过程简介 师:同学们,刚才我们研究了一次函数与一元一次方程的关系,下面我们运用刚才的经验,以一次函数y=2x+4和不等式2x+4>0(或2x+4<0)为例来自主研究一次函数与一元一次不等式的关系．先个人研究,然后小组交流,最后全班共享．

(学生独立研究5分钟后小组交流3分钟,下面是小组交流后全班共享、提高的片断)

生10:我们小组交流后认为不等式2x+4>0的解集就是函数y=2x+4中函数值y>0时的自变量x的取值范围．(到讲台上画出了示意图)

生11:我们小组交流后认为,不等式2x+4>m(m为常数)的解集就是函数y=2x+4中函数值y>m时的自变量x的取值范围．(教者用动画进行了演示)

师:有没有哪个小组推广到更一般的情况?

生12:我们小组认为,不等式kx+b>m的解集就是函数y=kx+b中函数值y>m时的自变量x的取值范围．(教者也用预先做好的课件进行了演示)

师:看来我们刚才的学习是比较深入的,交流也是富有成效的．下面我们思考一下,一次函数与一元一次不等式有怎样的关系呢?

生13:当一次函数y=kx+b的函数值y限定了取值范围时,比如y>2,此时函数就成了不等式kx+b>2．

师:说得很好!那么不等式何时变为函数呢?

生14:当不等式中的取值范围不受限制时,比如kx+b>2中把大于2的条件去掉,kx+b就变为了函数．

师:说得太好了!通过刚才的交流我们可以如何理解一次函数与一元一次不等式的关系呢?

生15:一元一次不等式是有范围的一次函数,一次函数是无范围的一元一次不等式．

师:你概括得非常好,一次函数与一元一次不等式就是一种“有无相生”的关系呀!囿于我们现有的知识,在现阶段我们完全可以这样来理解．(用课件展示“有”与“无”相生的关系)

2.4 练习巩固 反馈调整

略.

2.5 课堂小结 感悟提升

略.

本节课的教学过程结合课件演示逐步形成的板书设计如图1所示．

图1

3 回顾与反思

3.1 教什么:高立意——目标指向核心素养[1]56

在这之前,学生已经分别学过一次函数、一元一次方程、二元一次方程(组)、一元一次不等式,知道它们是刻画现实问题中数量关系的重要模型,但是还没能建立起这些知识之间的有效联系．在前一节课刚刚学习的一次函数与二元一次方程的关系,虽然能帮助学生对函数与方程之间的关系产生一定的理解,但是由于一次函数的本质就是二元一次方程,而在本节课中一次函数的“二元”与一元一次方程的“一元”有本质上的不同(关于这部分内容,人教版教材是安排在一个小节中,苏科版教材分在两个小节中,教者猜测苏科版教材就是强调这种差别)．因此,引导学生理解一次函数与一元一次方程“动静互化”、一次函数与一元一次不等式“有无相生”关系是超越了具体知识点,接近于数学哲学层面的高立意．这种立意旨在促进对数学大观念的学习,指向数学的核心素养．

3.2 怎么教:善蓄势——激发思维水到渠成[1]84-86

如何将教者的高立意变为学生的高认知,教者在课堂中采用了“蓄势”的方法．首先是激发原有认知,蓄知识之势．教者从学生熟悉的弹簧秤情境入手,在至少两种解法的引领下营造学生的最近发展区,让学生对一次函数、一元一次方程和一元一次不等之间的关系有了隐隐约约的认识.其次是用大量特例“逼”出一般规律,蓄方法之势．教者引导学生利用一次函数的图象解系列方程,让学生自主发现了方程的解与交点横坐标的关系,进而通过两次一般化的推广,将学生对一次函数与一元一次方程的关系推向了“动静互化”的境界．最后是激发现场学习力,蓄思维之势．在探究完一次函数与一元一次方程的关系之后,教者放手让学生自主探究一次函数与一元一次不等式的关系,尽管直接模仿的味道很浓,但是对于普通乡村学校的普通班学生来说已是十分不易了．通过思维上的蓄势,学生的探究是很有深度的．

3.3 如何学:放开手——和易以思收获惊喜

《学记》有云:“导而弗牵,强而弗抑,开而弗达,导而弗牵则和,强而弗抑则易,开而弗达则思,和易以思,此谓善喻也．”这说的是启发引导的艺术．在本节课中,教者放开学生的手脚,通过知识蓄势引领学习的方向,通过思维蓄势激发学生独立研究,通过方法蓄势将学生的认知由低阶向高阶、由具象向抽象提升,所有这些都在向“善喻”逼近．

(注:本节课是教者为团队成员参加省、市比赛而设计并示范上的一节课,设计的理念及授课的效果受到了一致的好评.)