基于单元整体观视角的高中圆锥曲线概念教学——以“双曲线的简单几何性质”为例

邢富根 (江苏省南京市高淳区淳辉高级中学 211300)

1 问题提出

对于高中解析几何内容的教与学,很多师生都有类似的感触:理解难、计算繁．以圆锥曲线性质为背景的题目也是高考热点之一,学生在解题思路的寻找、解题方法探寻、数学工具的灵活应用上能力不足．反观教学环境,教师在教学活动过程中往往以“知识简单呈现→例题精讲技法→练习变换巩固”的结构为主,课堂教学中过度注重例题解题技巧的传授与挖掘,忽视概念的文化背景、生成逻辑与数学理解．在这种大容量、快节奏的“填鸭式”课堂里,学生缺乏对解析几何数学思想与方法论统一性的沉淀;同时学生也缺少时间去思考问题、发表观点,这也扼杀了学生的创新能力,显然违背课标精神．

概念是思维的细胞．数学的学习离不开推理,离不开判断,而判断是以概念为基础的[1]．实施有效的概念教学,就要搞清楚概念的“来龙去脉”,形成体系化的大概念认知结构,这也是一切数学活动的基础．圆锥曲线教学中,应该在整体观视角下加强概念教学,把认识曲线的基本套路作为核心目标之一;指导学生通过数学活动,抽象、概括,渐进式地提升认知水平;利用概念的辨析、细化过程,完成数学知识的系统化与结构化．

2 圆锥曲线的本质特点

2.1 解析几何的学科特点

笛卡尔创立解析几何的原动力是基于数学内部,出于对数学方法普遍性、统一性的追求,以完成“任何问题→数学问题→代数问题→方程求解”的论证．因此,教师在教学中要把“解析几何是一种方法论”作为教学的核心定位[2]．用数形结合的思想研究几何曲线问题,应贯彻“几何呈现,代数论证”的策略．对每一种曲线的研究,都要基于图形直观与概念抽象相结合．解析几何研究的一般套路可以遵循:背景→概念→方程→性质→应用,注重用坐标法与方程研究几何问题的规范．

2.2 圆锥曲线的单元理解与教学建议

《普通高中数学课程标准(2017年版)》将圆锥曲线的内容要求确定为:(1)了解圆锥曲线的实际背景,感受其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;(2)经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握其定义、标准方程、几何图形及简单性质;(3)了解双曲线和抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质;(4)了解椭圆、抛物线的简单运用,通过学习进一步体会数形结合的思想[3-4]．

圆锥曲线在新课标与新教材中体现的改革思路总体上看是以“精简”为主基调,各版本教材在内容选择上重点围绕圆锥曲线的核心概念,以椭圆、双曲线、抛物线的主要性质及应用为重点,做到“削支强干”;在结构体系上,用类比、同化等手法强调知识发生发展的逻辑合理性,并加强背景和应用;思想方法上,紧扣“几何呈现,代数论证”的普遍性与统一性原则,重视数形结合的渗透与理解(表1)．

表1 圆锥曲线单元知识建构

在圆锥曲线学习的活动中,知识的内在统一性是一条明线,用代数的方法研究几何,深刻认识数与形的辩证统一是一条暗线．因此,圆锥曲线的教学中要体现单元设计的思想,要以联系的观念,从整体观的视角认识学科知识,落实课标要求,保证教学活动的有效开展．

3 《双曲线的简单几何性质》的教学设计

3.1 内容解析

人教版A版普通高中教科书数学(2019版)教材编排上从椭圆的性质类比开始,由标准方程研究其几何性质,指导探寻双曲线与椭圆性质结构的共性与差异,其中双曲线的渐近线是本节课的教学难点．通过深入研究双曲线,能灵活运用双曲线的定义、方程、性质,形成稳定的解题基础,更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法,培养学生的解析几何观念,提高学生数学学科核心素养．

3.2 目标解析

教学目标:(1)了解双曲线的简单几何性质,如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等．(2)再次感受运用方程研究双曲线几何性质的思想方法．(3)能用双曲线的方程和几何性质处理一些简单的实际问题．

3.3 教学问题诊断分析

建构主义学习理论认为学生是知识意义的主动构建者,教师是教学过程的组织者、指导者,意义构建的帮助者、促进者．教师要站在“理解数学,理解学生,理解教学”的高度设计好教学过程,在教学设计中要发挥“先行组织者”的作用,类比椭圆内容学习探索的方法工具,通过联系与归纳创设理解情境,让教材成为学生主动构建意义的对象．

问题1 比较双曲线与椭圆的性质:范围、对称性、顶点、离心率属于同类范畴．

其研究手段与方法具有一致性,可利用几何图形进行观察、归纳,综合曲线方程的代数运算刻画规律．本项目建立在椭圆的经验学习之上,学生通过主动探索与合作交流,可以独立完成目标学习．

问题2 双曲线渐近线的学习．

在利用类比的方法研究了双曲线一些几何特征之后,开始研究双曲线的特殊性质——渐近线．教学上,渐近线的学习过程包含:(1)渐近线的发现;(2)渐近线的方程;(3)渐近线的论证．其研究方法与其他性质无异,但发现、理解、论证的深度更大,更抽象,教师需要在学生的最近发展区设置精准问题,把已有知识经验作为新知识的生长点,引导学生通过实验、独立探究、合作学习等方式完成学习目标,并培养学生批判性的认知加工策略．

基于以上分析,本节课的教学难点是双曲线渐近线的概念建构．

3.4 问题串设计(片段)

本节课概念教学过程有两条主线构成.

主线1:研究对象的抽象过程

椭圆的性质→双曲线的常规性质→双曲线的渐近线→实际问题

主线2:双曲线性质的研究过程(圆锥曲线的基本思想:坐标法、数形结合)

双曲线方程→双曲线性质图象呈现→图象与方程的联系→双曲线性质代数论证→概念生成

通过主线1达成教学目标(1)(3);通过主线2达成教学目标(2)(3)．教学过程设计中,要破除“知识点教学”的陋习,体现单元教学整体设计的思想,把握整体性的知识结构,通过创设教学情境,设计系列化的数学活动,提出合适的问题(或者问题串)推进学生主动学习．

(2)如何研究这些性质?请各小组讨论分析,尝试描述相应性质．

师生活动 学生回答问题1(1):结合双曲线图象,类比椭圆性质的学习过程,认为双曲线应该有范围、对称性、顶点、离心率等性质．

学生回答问题1(2):可结合图象(类比椭圆图象)得出双曲线的各种性质,建立表格,形成对比．

追问1 由图形观察得到的性质存在不可靠性,必须要有严谨的论证才可以当作结论,如何完成论证呢?

类比椭圆,通过问题引导让学生关注性质呈现的方法逻辑,让学生把关注点落在曲线方程上．

追问2 总结椭圆与双曲线性质的相同点与不同点．

设计意图选用支架式教学,通过问题引导,用圆锥曲线学习与研究的大框架引领双曲线几何性质的学习,这是本节课的研究思路．以思想方法引领,让主线2贯穿始终．通过协作学习、比较分析,在共享集体思维成果的基础上,达到对几何性质的全面了解,完成数学知识的意义建构．同时,像这种单元内并列式的知识教学对思想方法的理解层次要有螺旋上升,用以发展数学学科素养．

问题2类比椭圆我们发现,椭圆的长短轴可以有效控制椭圆的形状,椭圆的离心率也是控制椭圆形状的量,缘于a,b,c,e之间存在数量关系．双曲线的实轴、虚轴与离心率之间同样存在数量关系,离心率同样是反应双曲线形状的量,那a,b如何影响双曲线的形状呢?你又如何论证?

师生活动 (1)学生思考,小组讨论．

(2)教师引导:解析几何解决问题的方法与手段存在普遍性与统一性,即通过图形观察发现特征,通过曲线方程完成论证．我们紧扣这一点,先来观察以下图象,尝试寻找结论．

图1

追问1 观察图象,联系实轴与虚轴、双曲线的形状、离心率e,请问它们三者存在关联吗?

图2 图3

生4:以上操作可进行优化,根据相似三角形,把垂直距离优化为竖直距离,距离函数可更加简洁．其中设M(x,y)为双曲线在第一象限的点,作MN垂直于x轴,与渐近线相交于点P(图3)．

追问4 渐近线的学习与其他性质的学习,方法上是否具有一致性?

学生概括总结,形成结论,升华为解决问题的统一性方法．

设计意图选用抛锚式教学,教师通过创设情境,引导学生在各个特征量的数量关系中找到逻辑关联,提出问题．教师在整个问题2的指导过程中,围绕有关线索与证据设问,培养学生的自学能力,整个课堂教学的过程就是学生探索方法、解决问题的过程．

双曲线的渐近线概念教学也可看作是在双曲线范围概念上的外延,生1回答的视角,是在“渐近线”与“范围”之间建立起递进的逻辑关系,其所用的极限思想同时也是论证“渐进”的思想方法,使前后具有一致性(图4)．

图4

极限思想、数形结合是高中数学教学中常见的思想方法,概念之间也有关联性．关联1:后一课时的抛物线是椭圆与双曲线在一定约束条件下无限演变后的一种极限形态．关联2:下一章节是导数内容,极限是导数概念生成的数学思想．

4 结束语

通过对“双曲线的简单几何性质”的教学设计我们可以发现:(1)教学活动要基于整体性的视角,加强“先行组织者”的应用,以逻辑连贯、环环相扣的“问题串”为脚手架,设计系列化的数学活动,以提高学生的学习主动性[2]．(2)“几何呈现,代数论证”是本节课的方法论,也是研究圆锥曲线的方法论,单元与课时之间存在统一性．(3)概念教学要利用新旧知识之间的不同关系,选择不同的学习方式,创造相应的同化与顺应机会．

基于单元整体观视角的高中圆锥曲线概念教学是实现有效概念教学、透彻理解数学的重要方法,也符合认识论和认知心理学的基本观点．暗线中内涵的数学思想和方法,是数学学习的灵魂,是知识建构与问题解决的关键．