优化教学设计 体现学段特征——初中“线段、射线、直线”教学思考*

汪 韶 陈算荣 黄强联 (扬州大学数学科学学院 225002)

基于基础教育阶段课程的学科性及学生认知发展的阶段性,我国中小学数学课程教材的编排秉承“螺旋式上升”的原则[1],在不同的学段中呈现同一主题内容,但不同学段所对应的数学知识的深度与广度大不相同,对目标的达成程度也大有差别.因此,如果教师不能很好地把握不同学段对学生认知要求的差异,不去深入思考不同学段的教学目标,就会导致高学段的教学停留在低学段的水平,无法体现学段特征.“线段、射线、直线”的教学就容易出现这样的状况.

1 初中“线段、射线、直线”教学的认知定位

对比《义务教育数学课程标准(2022年版)》(下称《课标》)中第二学段(3—4年级)和第四学段(7—9年级)对“线段、射线、直线”的内容和学业要求(表1),可以得出以下结论:《课标》在小学阶段对学生的能力要求侧重于“认识、知道”层面,主要要求学生能结合实例了解三线,能在具体情境中进行简单的运用;而在初中阶段对学生的能力要求明显提升,侧重于“理解,掌握”层面,不再限定于生活具体情境,而更关注抽象后的概念.

表1 《课标》对“线段、射线、直线”的教学要求

从几何学的发展史来看,线段、射线、直线的几何雏形的出现源于人类绘画的产生与发展:古人用近似线段的短线表示物体的边沿,用近似射线的线条表示太阳发出的光线,用近似直线的线条来表示地平线[2].几何图形的诞生来源于丰富的现实世界.

因此,在小学阶段,教学强调借助实际情境让学生直观感受三线,此类教学要求实则基于对小学生认知发展局限性的考虑.而在初中阶段,教学强调对物体的抽象过程,重在培养学生的抽象能力,此时若仍停留在三线的名称、端点个数、延伸性等特征上,则无法体现学段特征,教学价值也将大打折扣.结合《课标》不同学段要求的差异,可对

小学阶段“线段、射线、直线”概念教学和初中阶段“线段、射线、直线”的教学作出如下不同的认知定位:

小学阶段:知道三线的存在,了解三线在实际生活中的意义;能够在生活实例中认识三线,了解同一平面内两条直线的位置关系.

初中阶段:理解三线的抽象概念,明晰平面几何的一般研究范式;掌握平面几何中的数量关系和位置关系,体会几何与代数之间的联系.

2 初中“线段、射线、直线”教学片段的活动设计

如何在初中阶段“线段、射线、直线”的教学中达成上述认知定位,体现初中学段特征?下面针对“理解三线的抽象概念”以及“掌握平面几何中的数量关系和位置关系”进行活动设计.

2.1 三线的抽象概念

问题1通过之前的学习,我们一起走进了几何图形的世界,认识到生活中有很多物体可以抽象为数学中的图形,那么构成几何图形的三要素是什么?它们之间的关系又是怎样的?

追问1 点作为几何图形最基本的元素,它的形状、大小有什么特点?

追问2 如何用符号语言表示不同的点?

追问3 点动成线,线是由点组成的,接下来我们就进入到“线”的学习中.小学阶段我们已经学过了相关的知识,你还能回忆起来吗?

教学策略 问题1的难点在于三要素之间的关系.教师在此处可以引导学生先思考点和线的关系,得出“点动成线”,继而让学生类比思考,得到“点动成线,线动成面,面动成体”,并辅以几何画板展示.对于追问1和追问2,则需要教师帮助学生回忆点的抽象概念:“点是一个既没有形状,又没有大小的几何图形”及用符号表示“用文字和一个大写英文字母组合的方式来表示不同的点”.针对追问3,基于学生的学习基础不难作答,但存在记忆模糊及离不开生活实例的现象,因此教师可借助表2对学生的回答进行总结梳理,并进一步形成抽象的定义.

表2 线段、射线、直线的特征

设计意图通过问题1回顾旧知,帮助学生建立新旧知识间的联系,让学生对知识结构有一个系统化认识,即本章将在上一章图形世界学习的基础上开始学习具体的平面图形.其次,点作为最基本的几何图形,是学习三线的基础,回顾点的定义及表示方法为本课抽象出三线的概念奠定基础.最后,由于学生在小学已经具备了三线的认知基础,因此本节课不是一节完全的新授课,通过追问3的设置,一方面帮助学生梳理原有知识,另一方面抽象出三线的概念,为真正进入到初中阶段三线的学习做准备．

问题2如何用符号语言表示不同的直线?点动成线,能否从点的符号表示中得到启发?

追问1 确定一条直线至少需要几个点?一点?两点?还需要增加点的个数吗?

追问2 现在你能给出直线的符号表示吗?同样地,射线和线段呢?

教学策略 点的符号表示是三线符号表示的最近联想,因此教师可通过“点动成线”引导学生思考点与直线之间的确定关系,进而思考三线的符号表示.而对于追问1,教师可让学生动手操作,在做中得真知,从经过一点到经过两点画直线,让学生自己探索得出“两点确定一条直线”的基本事实.

设计意图承接追问3,学生必然会对三线的符号表示这一栏产生好奇,基于学生的这种求知欲望和思维逻辑,从本原问题出发,将数学概念和基本事实进行联系和拓展,并以学生自主探索为主、教师引导为辅的教学形式得到“两点确定一条直线”的基本事实,进而确定三线的符号表示,同时培养学生动手操作、自主思考的能力.

2.2 平面几何中的数量关系和位置关系

探究1 数量关系

问题3线段作为三线中可以度量大小的唯一对象,是否有着更多的特征呢?请同学们找出图1中的线段,并探索它们间的数量关系(大小、和差、倍数关系等).

图1

追问1 把上述线段AB的两个端点看作地图上的两个地方,那么A和B两地之间的距离和线段AB的长度之间有什么关系呢?条条大路通罗马,在A和B两地之间增加m,n两条路径(图2),你有什么体会?

图2

教学策略 学生基于学习经验能够自主探索得出线段间的数量关系,因此教师可先让学生自己探索,然后进行总结,并由AB=2AD引出线段中点的概念.对于追问1,两点之间线段最短的基本事实学生在小学已经有所体会,故而可直接引入,但“两点之间线段的长度叫做两点之间的距离”这一定义对学生来说还是比较抽象的,可借助生活背景来帮助学生理解和掌握,最终再回到数学中抽象的定义.

设计意图基于学生的学习经验,线段间的数量关系并不是难点,但教材中涉及的内容较为琐碎.问题3的设置能够把线段的大小、和差关系及线段中点等内容有机结合起来,使其形成一个整体,同时让学生初步体会几何与代数的统一.学生在小学对“两点之间线段最短”的基本事实已经有所体会,且两点间的距离是通过线段长度定义的,因此把这两个知识点置于线段长度的教学之后,使本课的教学逻辑更加清晰,内容更加丰富.

探究2 位置关系

问题4讨论完数量关系,接下来研究两个几何对象之间的位置关系.即两个点、一个点与一条直线、两条直线之间有哪些位置关系呢?

追问1 两条直线平行、相交、重合时的公共点个数有何区别?

教学策略 对于两点之间的位置关系,虽然课标和教材没有要求,但考虑到学生的认知基础和知识的完整性,教师不能不提.关于点与直线、两条直线之间的位置关系,学生基于小学的学习不难作答,但仍需教师总结归纳.首先,学生在回答如图3所示的点与直线的位置关系时,容易得出以下两种结论:(1)点A在直线l上,点P不在直线l上;(2)直线l经过点A,直线l不经过点P.此时教师应对这两种答案都给予充分的肯定,并进一步解释:“造成这两种不同说法的原因是我们每个人看问题的角度不同”,从而让学生做到对问题的全面认识.其次,学生虽能答出两条直线之间的三种位置关系,但对精确的定义可能有所遗忘,故而设置追问1,帮助学生回顾定义,同时可通过两直线相交引出交点这一新的概念.

图3

设计意图数量关系和位置关系是研究平面几何的两大维度,分别从代数和几何的角度揭示了几何图形间的关系.因此本课进行位置关系的初步探索是十分必要的,能够让学生意识到除数量关系外,还可以从位置关系的角度去思考两个图形之间的关系,进一步加强学生对位置关系这一特征的感受,同时也向学生呈现位置关系在研究几何图形过程中的重要性,让学生体会研究几何对象的基本方法,为后续深入研究平行、垂直等位置关系埋下种子.

3 结语

为了有效地组织学生的学习经验,数学教材在几何学知识的编排上呈现出一定的顺序性: 小学阶段主要编排现实生活中直观的几何图形,初中阶段开始从思维抽象层面编排平面几何,到后面的高中阶段编排对学生几何思维提出更高要求的立体几何与解析几何.本节课是在学生刚接触丰富的几何图形之后正式学习平面几何的第一节课,是后续继续学习平面几何相关知识的基础,为后续平面几何的教学奠定了基本范式.因此,初中阶段“线段、射线、直线”的教学应准确地抽象出三线的概念,让学生掌握这些几何图形的表示方法及其性质,并开始探索平面几何中的数量关系和位置关系,让学生初步体会几何与代数间的联系,明晰研究平面几何的一般方法,进而落实数学抽象、直观想象和逻辑推理等学科核心素养的发展.