2020—2022年全国新高考数学试题的综合难度比较研究*

段存仙 余 闯 孔德宏 (云南师范大学数学学院 650500)

1 问题提出

2022年9月15日教育部召开“教育这十年” “1+1”系列第12场新闻发布会,会上教育部高校学生司司长王辉在介绍考试招生制度改革时指出:截至目前,全国29个省份已启动高考综合改革.教育部基础教育司副司长李晓勇在介绍新课程、新教材时指出:进入高考综合改革的29个省份均实现了新课程、新教材、新高考“三新同步”[1].在越来越多省份使用新高考卷的背景下,有必要探究新高考卷的命题趋势和试题难度,发挥新高考对新课程教学的导向和推动作用.

武小鹏改编鲍建生的习题难度模型,得到影响数学高考试题难度的7个难度因素:有无背景、是否含参、运算水平、推理能力、知识含量、思维方向和认知水平.各因素划分为不同水平,形成数学高考试题综合难度模型,并用该模型对中韩高考试题进行对比分析[2];李保臻[3]、张玉环[4]、韩金璇[5]等人应用高考试题综合难度模型对不同国家与地区的数学高考试题进行对比分析;刘静、周思波等人[6-7]应用高考试题综合难度模型对2020年数学传统高考与新高考试题进行对比分析.本文参考武小鹏、孔企平基于AHP理论的数学高考试题综合难度模型[8]对2020—2022年新高考试题进行编码和统计分析.

2 研究对象与研究工具

2.1 研究对象

为了研究的整体性,选取2020—2022年由教育部考试中心命制的新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷共6套新高考卷作为研究对象.

2.2 研究工具

基于AHP理论的数学高考试题综合难度模型包括7个难度因素,运用AHP理论求解得到不同水平、不同难度因素的权重.各因素的水平划分和权重见表1[8].

表1 基于AHP理论的数学高考试题综合难度模型的内涵和权重

根据表1的内涵描述,对2020—2022年6套新高考试题进行编码,统计数据并代入公式①计算得各因素的难度系数di:

其中nij表示每套新高考试题中第i因素、第j水平的题目数量,kij表示每套新高考试题中第i因素、第j水平的权重,m表示各难度因素中不同水平的个数.n表示每套新高考试题的总题目数量.整套试卷的综合难度D由公式②计算:

其中ki=(0.40,1.20,0.83,2.50,0.40,0.83,0.83)表示各难度因素的权重.

2.3 编码方法

根据表1对2020年—2022年6套新高考试题进行编码,编码示例如下:

该题编码为无背景A1(直接以纯数学知识为背景)、有参数B2(涉及对参数l的动态计算)、复杂符号

运算C4(运算上,首先通过解方程组用l表示底面边长和高,然后求导进而计算函数取值范围)、复杂推理D2(首先根据正四棱锥的结构特征找到外接球球心,然后根据等量关系列出方程并计算,接着表示函数V(l),最后利用导数研究函数的取值范围)、大于等于3个知识点E3(正四棱锥的结构特征、正四棱锥的体积公式、球的体积、利用导数求函数取值范围)、逆向思维F2(将正四棱锥体积的取值范围转化为利用导数研究函数的取值范围)、分析水平G3(根据正四棱锥的结构特征列方程,多变量转化为单变量并借助导数综合解决).

例2(2022年新高考Ⅱ卷第15题)已知点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a的对称直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1存在公共点,则实数a的取值范围为.

该题编码为无背景A1(直接以纯数学知识为背景)、有参数B2(含有参数a)、简单符号运算C3(运算上,解a的不等式即可)、复杂推理D2(首先找到点A和点B关于直线y=a的对称点,然后求出直线AB关于y=a的对称直线方程,最后根据题意列出不等式并计算)、大于等于3个知识点E3(直线方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式)、顺向思维F1(根据题意列出不等式即可解决)、运用水平G2(正确运用点到直线的距离公式表示直线与圆有公共点).

对6套新高考试题进行编码并整理数据得到新高考试题编码情况(表2),代入公式①和②计算得各难度因素的系数和试题综合难度(表3).

表2 2020年—2022年6套数学新高考试题编码情况

表3 2020—2022年6套数学新高考试题各难度因素系数和综合难度

3 研究过程与结果

3.1 各难度因素不同水平对比分析

计算每套试题各难度因素中不同水平的试题数目占试题总数的百分比并绘制各难度因素的堆积柱形图.

从图1,2,3可以看出,“是否含参”“推理能力”“思维方向”3个难度因素在考查趋势上基本保持一致.

图1 是否含参的堆积柱形对比

图2 推理能力的堆积柱形对比

图3 思维方向的堆积柱形对比

在“是否含参”上,2020年和2021年无参数和有参数的比例基本保持在6∶4,2022年两者比例约为7∶3,表明新高考试题对参数的考查略有调整.在“推理能力”上,2020年和2021年简单推理和复杂推理的比例基本保持在6∶4,2022年两者比例为1∶1,表明新高考试题越来越注重复杂推理的考查,符合高考选拔性的特点.在“思维方向”上,2020年和2022年顺向思维和逆向思维的比例基本保持在1∶1,2021年两者比例为6∶4,表明新高考试题注重逆向思维的考查,将之视为培养学生创新思维的基础.

从图4,5,6,7可以看出,“背景因素”“运算水平”“知识含量”“认知水平”4个难度因素在考查趋势上存在一定的差异.

图4 背景因素的堆积柱形对比

图5 运算水平的堆积柱形对比

图6 知识含量的堆积柱形对比

图7 认知水平的堆积柱形对比

在“背景因素”上,2021年和2022年无背景和有背景的比例基本保持在9∶1,2020年两者比例为7∶3,但是每套新高考卷都涉及情境性考查.在“运算水平”上,2020年和2022年符号运算和数值运算的比例基本保持在7∶3,2021年两者比例为3∶2,对简单符号运算的考查比例有所降低,复杂符号运算的考查比例则有所提高.在“知识含量”上,2020—2022年单个知识点和非单个知识点的比例基本保持在 3∶7,且2022年Ⅰ卷、Ⅱ卷分别有60%,50%的试题都是三个及以上知识点的综合考查,还存在一定跨章节跨领域知识的考查.表明新高考卷在知识点的考查上更趋向于综合应用各个知识点解决问题.在“认知水平”上,2020年和2021年分析和非分析的比例基本保持在3∶7,2022年两者比例为2∶3,表明新高考卷更趋向于综合考查学生分析、解决问题的能力.

3.2 各难度因素综合难度分析

图8是根据表3绘制而成的综合难度雷达图, 图9是由表3各难度因素乘以对应权重ki后绘制成的难度构成偏向雷达图.图8和图9在一定程度上反映了6套新高考卷试题的难度构成,以及不同试卷在各因素上的难度差异.从图9可看出,6套试卷在 7个难度因素上的考查侧重点是一致的,都重视对推理能力的考查,而且对该难度因素的考查力度远大于其他难度因素,因此教师在教学中应当重视对学生推理能力的培养.

图8 6套试卷综合难度雷达图

图9 6套试卷难度构成偏向雷达图

3.3 新高考卷试题综合难度

由表3可知,2020—2022年新高考卷试题的难度由高到低排列为:2022新高考Ⅰ卷(D=6.98)>2022新高考Ⅱ卷(D=6.68)>2020新高考Ⅰ卷(D=6.53)>2021新高考Ⅰ卷(D=6.52)>2020新高考Ⅱ卷(D=6.39)>2021新高考Ⅱ卷(D=6.28).表明新高考卷试题的综合难度逐年加大,符合近三年新高考卷试题实际的难度特征.

4 研究结论与建议

4.1 研究结论

分析发现,新高考卷具有如下命题趋势:注重创设真实情境;创新试题设计;综合考查关键能力,聚焦核心素养.

(1)新高考注重创设真实情境,发挥育人功能

难度模型中的“背景”即“情境”.《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《课标2017》)指出,在命题中,选择合适的问题情境是考查数学学科核心素养的重要载体.情境包括:现实情境、数学情境、科学情境[9]89.如2021年新高考第16题以我国传统文化剪纸艺术为背景;2022年新高考Ⅱ卷第3题以我国古代建筑中的举架结构为背景,对引导学生关注我国优秀传统文化、古代优秀成果,增强民族自信心具有积极的教育意义;2022年新高考Ⅰ卷第4题以我国重大建设成就“南水北调”工程为背景,引导学生关注社会主义建设的伟大成果,增强社会责任感;2021年新高考Ⅱ卷第4题以我国航天事业的重要成果北斗三号全球卫星导航系统为背景,引导学生关注我国科技进步和发展,增强民族自豪感、理想信念和爱国情怀;2020年新高考Ⅰ卷第6题以新冠肺炎疫情初始阶段的研究成果设计为背景;2020年新高考Ⅱ卷第12题以信息论的重要概念信息熵为背景,引导学生充分体会数学的应用价值,鼓励学生探索真理、以自己的科学知识为人类社会服务[10-12].

(2)新高考注重创新试题设计,培育创新精神

新高考数学在题型和试卷结构上进行了创新性改革,引入了多选题和结构不良试题[10].①增强多选题的基础性和开放性.如2022年新高考Ⅰ、Ⅱ卷第11题均体现基础性和综合性;2022年新高考Ⅰ、Ⅱ卷第12题在体现开放性的同时,突出考查创新思维.②“结构不良问题”适度开放.如2020年新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷第17题以解三角形为背景,要求学生在给出的3个条件中任选1个并求c的值;2021年新高考Ⅱ卷第22题以函数和导数为背景,要求学生在给出的2个条件中任选1个作为已知条件,证明f(x)恰有一个零点;2022年新高考Ⅱ卷第21题以直线与双曲线较为复杂的位置关系为背景,要求学生在给出的3个条件中任选2个作为已知条件,证明另外1个成立.此类开放性试题给考生留有发挥的空间和选择的权力,需要考生具备较强的独立思考能力和批判性思维品质,能高度体现学考生的理性思维.③“存在问题”“举例问题”有序开放.如2021年新高考Ⅱ卷第18题以解三角形为背景,判断是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形,重点考查逻辑推理能力和运算求解能力;2021年新高考Ⅱ卷第14题要求写出同时具有3个性质的一个函数;2022年新高考Ⅰ卷第14题要求写出一条与两已知圆都相切的直线方程,充分考查考生思维的灵活性.

(3)新高考注重考查关键能力,聚焦核心素养

《课标2017》指出,要注重对学生数学学科核心素养的考查,处理好数学学科核心素养与知识技能的关系[9]88.如2022年新高考Ⅰ卷第12题以抽象函数为背景,综合考查函数的奇偶性、对称性、导数等概念以及他们之间的联系,对数学抽象、逻辑推理等核心素养具有较高要求;2022年新高考Ⅱ卷第3题以我国古代建筑中的举架结构为背景,综合考查应用等差数列、解析几何、三角函数等基础知识解决实际问题的能力,对直观想象、逻辑推理等核心素养具有较高要求;2020年新高考Ⅰ、Ⅱ卷第11题综合考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性及均值不等式等主干知识,对数学抽象、逻辑推理等核心素养要求较高.

4.2 建议

2020—2022年新高考数学试题坚持立德树人根本任务,发挥生活情境和科学情境的育人价值;探索落实《中国高考评价体系》“四翼”:基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求[13];突出考查学生理性思维的能力,综合运用数学思想方法分析问题、解决问题的能力.基于此,对中学数学教学提出以下几点建议.

(1)教好数学,落实数学学科核心素养.教好数学就是以数学基础知识、基本技能为载体,使学生在领悟数学基本思想、积累数学基本活动经验的过程中,学会思考与发现,培养数学学科核心素养.在教学中,教师要把学生掌握抽象数学对象、发现和提出数学问题的方法作为教学的关键任务,使学生能够实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.教学时以“研究一个数学对象的基本套路”为指导,设计出体现数学整体性、逻辑连贯性、思想一致性、方法普适性、思维系统性的系列化数学教学活动.引导学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对象,构建研究数学对象的基本路径,发现值得研究的数学问题,探寻解决问题的数学方法,获得有价值的数学结论,建立数学模型解决现实问题[14]12.

(2)掌握数学知识,发展数学学科核心素养.要让学生真正掌握数学知识,靠掐头去尾烧中段、大量解题训练是做不到的,必须要让学生经历从数学研究对象的获得到研究数学对象再到应用数学知识解决问题的完整过程.数学对象的获得,不仅要注重数学与现实之间的联系,还要注重数学内在的前后一致性、逻辑连贯性;对数学对象的研究,要注重让学生经历以“一般观念”为指导发现规律、获得猜想,并通过数学的推理,论证定理、性质的过程,提升逻辑推理、数学运算等素养;应用数学知识解决问题,要注重利用数学概念原理分析问题,体现数学建模的全过程,使学生学会分析数据,从数据中挖掘信息,提升数学建模、数据分析素养[14]11.

(3)推理是数学的“命根子”,运算是数学的“童子功”.推理和运算是数学的两个车轮子.在推理的严谨性、简洁性和灵动性,运算的正确性、敏捷性以及算法的有效性和高效性指导下,教师需要加强对学生逻辑推理和数学运算的训练,这样学生的理性思维、科学精神才能得到培养和逐步发展[14]11.