老教材背景下,课标新要求如何落实——以二次函数的最值要求为例*

印冬建 (江苏省如皋市教师发展中心 226500)

2022年4月21日,教育部印发了义务教育课程方案和16个学科的课程标准(2022年版)．2022年下半年,各地教育主管部门陆续提出了落实国家新版课程方案和各科课程标准的要求.由于与新版课程方案和课程标准配套的教材尚未上市,各地不可避免地出现了用老教材的教学来落实课标新要求的局面,这给不少一线教师实际教学带来了困难．那么,在新教材正式投入使用前的这段时间内,我们究竟该如何依托于老教材的教学来落实课标的新要求呢?本文拟结合《义务教育数学课程标准(2022年版)》(下称《课标2022》)对二次函数教学提出的新要求“会求二次函数的最大值或最小值,并能确定相应自变量的值,能解决相应的实际问题”(说明:为使行文简洁,下文部分语句中的“最大值或最小值”简称为“最值”,该要求称为二次函数的“最值要求”)的“落地”为例谈谈笔者的做法,供大家参考．

1 两版课标中关于二次函数的教学要求对比分析

为了更好地说明笔者落实“最值要求”的合理性,现呈现《义务教育数学课程标准(2011年版)》(下称《课标2011》)和《课标2022》中关于二次函数的教学内容及要求,并作对比分析．

1.1 课标要求呈现

表1 两版课标“二次函数”教学要求对照表

1.2 对比分析

与《课标2011》相比,《课标2022》关于二次函数的教学要求发生了不少变化,具体如下．

(1)突出了教学要求的整体性

《课标2022》从二次函数的意义、二次函数的图象和性质、二次函数的应用、二次函数与一元二次方程的关系等四个方面给出了具体详实的教学要求．四个方面的要求自成体系又彼此关联,形成了完整的二次函数教学目标体系,力求通过二次函数局部知能的有效建构达成对二次函数的整体把握和深度理解．例如,“能画二次函数的图象”,不像《课标2011》那样强调“描点法”,“能画”即可,“描点法”自然是“能画”的画法中的一种,但画法不局限于“描点法”．再如,二次函数的“最值要求”与二次函数图象的顶点坐标是一定有关联的,但该要求并不完全依赖于顶点坐标,更没有像《课标2011》教学要求(3)那样唯一指向“顶点式”y=a(x-h)2+k,如此表述有助于引导学生深入探究“一般式”y=ax2+bx+c(a≠0)、“交点式”y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)、“顶点式”三种不同形式下的二次函数最值及求法,整体把握二次函数的图象、性质及其应用路径．

(2)强化了核心知能的工具性

《课标2022》所列的四条教学要求,进一步强化了二次函数核心知能的工具性．这主要体现在两个方面:一是二次函数的实际应用．二次函数的“最值要求”明确了二次函数与实际问题的关系,要求学生在“会求”二次函数最值的同时,还要能用它来解决相应的实际问题,其对二次函数的学习经历了“实际问题→二次函数→实际问题”的认知回路,二次函数自然是学生认识世界和解决现实世界中真实问题的工具．二是二次函数图象的应用．二次函数的图象是人们认识二次函数并运用二次函数解决问题的重要工具,《课标2022》提出了“能画二次函数的图象”的要求,目标动词由原来的“会”(即理解)调整为“能”(即掌握),要求提高了一级,这一核心知能的应用自然会扩大范围,教学难度必然会再攀新高．加之新增的“知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系”,必然会进一步强化数与形的结合,让二次函数的图象真正成为解决问题的工具．

(3)重视了学科知能的关联性

《课标2022》十分重视学科知能的内部关联．如上文所述的新增要求“知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系”强化了二次函数(“数”)与其图象形状、对称轴(“形”)的关联．再如,新增要求“知道二次函数和一元二次方程之间的关系”强化了二次函数与一元二次方程的关联,“最值要求”中的“会求二次函数的最大值或最小值,并能确定相应自变量的值”强化了函数关系中变量之间的关联．

(4)明确了函数最值的一般性

(5)确保了降低难度的延续性

《课标2022》延续了前面课标修订中“通过删减低关联知识,降低学习难度”的一贯做法,删去了《课标2011》中提出的“知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数”的选学要求,降低了非“学段主线知识”的待定系数法、三元一次方程组等在初中阶段的教学要求,让学段“数与代数”板块的整体难度随之下降．

2 老教材的教学现状分析

2.1 课标新要求分析

在《课标2022》关于二次函数的多个新要求中,“最值要求”最需要关注．细细分析不难发现,相较于《课标2011》而言,该要求并没有指定二次函数表达式的形式,也没有说一定要借助于二次函数的图象.此外,《课标2022》“关于有关行为动词的分类”中明确,“会”是结果行为动词“理解”的同义词,即要达到“描述对象的由来、内涵和特征,阐述此对象与相关对象之间的区别和联系”．该要求的达成,我们要从四个方面作出努力:一要引导学生理解二次函数的最值的内涵,知道何为二次函数的最值;二要引导学生从数和形两个角度获得求二次函数最值的方法,能确定在什么时候(自变量的取值)、什么位置(函数图象的位置)上能够取到最值,同时计算出最值的大小;三要引导学生发现二次函数的非常态最值,能解决在自变量不同取值范围内二次函数最值的确定方法;四要引导学生用二次函数最值及其确定方法解决“相应的实际问题”．

2.2 老教材分析

笔者所在地区目前使用的老教材是人民教育出版社编写的,其教学内容和教学方法的设计与《课标2011》的要求高度契合．《课标2011》中并没有提出与二次函数的最值相关的教学要求,因而教材从“22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质”开始,到“22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质”为止,先后呈现了五种形式的二次函数,分别是y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c．在每一种形式下,基于其图象所作出的性质表述近乎一致:图象的开口方向、对称轴、顶点坐标,增减性等,并没有提及“二次函数的最值”,其一般性结论“对于自变量取任意实数的二次函数,可以在其图象的顶点处取得最值”自然也就不会出现了．

在“22.3 实际问题与二次函数”中,关于二次函数的最值这层“窗户纸”最终被捅破．这或许与《课标2011》提出的要求(3)中“由此(即“配方得到二次函数表达式y=a(x-h)2+k”)得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴,并能解决简单实际问题”有很大关系．二次函数往往与实际问题高度关联,在“22.3 实际问题与二次函数”中明确指出,“如果其中变量之间可以用二次函数模型来刻画,我们可以利用它的图象和性质来解决实际问题”,随即便结合多个实际问题引导学生理解二次函数的最值及其求法．

2.3 结论

二次函数的最值要求是对二次函数图象和性质认知的新高度．我们知道,老教材已经给出了较为完整的二次函数图象和性质的知能体系,其探索历程历经多年实践检验被一线教师不断“固化”．显然,想要落实二次函数的最值要求,教师就要从内容、流程和方法等角度进一步完善二次函数的教学体系,将与该要求相关的教学资源融入到原有的教学进程之中,推动学生对二次函数的探索再前进一步．

3 教学方案

3.1 长程分布,在不同教学时点上感知

作为二次函数所具有的一条重要性质,“最值”应与二次函数的图象和性质相伴相生．我们知道,不管是老教材还是新教材,对二次函数的图象和性质的探索都是贯穿于全章的．《课标2022》对二次函数提出的“最值要求”,同样并不是指向某一课时的,事实上,这一要求也不可能在某一课时达成,我们应通过单元、学期乃至学段的教学来逐步落实这一要求．因而,落实二次函数的最值要求应是一项长期任务．我们要将对二次函数最值的探索贯穿于二次函数学习的全过程,做到资源有序分布,要求渐进落实,知能反复关联．在探索不同表达式下的二次函数的图象和性质之后,都延伸探索二次函数的最值及其求法,引导学生在不同的教学时点上发现“二次函数的最值与自变量取值范围内函数图象的最高(低)点紧密关联”,理解二次函数的最值,会求二次函数的最值,并体会到二次函数的最值在实际问题中的应用价值．

3.2 多点探究,在不同函数形式下理解

老教材中,二次函数较为常见的表达式有“一般式”y=ax2+bx+c(a≠0)、“顶点式”y=a(x-h)2+k、“交点式”y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)等三种．但实际教学中,学生依次探索了y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c,y=a(x-x1)(x-x2)这六种形式的二次函数的图象和性质．因此,为了落实“最值要求”,笔者每遇到一种“新”二次函数,都会引导学生在探索二次函数的图象顶点及增减性的时候,结合列表、描点、连线等图象建构环节感知二次函数最值的客观存在．

案例1二次函数y=ax2的图象和性质.

在学生画y=x2的图象并探索其性质的过程中,笔者作多轮次追问,引导学生感知函数的最值．

(1)基于所列表格的追问

二次函数y=x2中自变量x与y的部分对应取值如表2所示．

表2 函数y=x2部分对应取值

问题:从表中列出的自变量x的值和函数y的值,你有什么发现?

学生的发现:x的取值关于0对称;y的取值关于0对称;y的值都不小于0;当x<0时,y的值随着x的值的增大而减小,当x>0时,y的值随着x的值的增大而增大;当x=0时,y有最小值为0……

(2)基于描点过程的追问

根据表2中x,y的值,在平面直角坐标系中自左向右依次描出点(x,y)(图1)．

图1

问题:在自左向右描点的过程中,你有什么发现?

学生的发现:除原点以外的六个点恰好分布在y轴两侧,且两两关于y轴对称;自左向右描点时,点的位置先逐步降低,到原点时位置最低,随后点的位置逐步上升;所描的七个点中,原点的位置最低……

(3)基于函数图象的追问

用平滑曲线顺次连接图1中的各个点,得到二次函数y=x2的图象(图2)．

图2

问题:根据所作的二次函数y=x2的图象,你能得到哪些结论?

学生的发现:图象关于y轴对称;在y轴的左侧,函数图象自左向右下降,在y轴的右侧,函数图象自左向右上升;原点是函数图象的最低点……

(4)基于函数性质的追问

在学生归纳总结出函数y=x2所具有的“图象开口向上;对称轴为y轴;顶点为原点;当x<0时,y随着x的增大而减小,当x>0时,y随着x的增大而增大”等性质后,笔者进一步追问．

问题:结合列表、描点、连线及探索性质的过程,你还有什么发现?

学生的发现:函数y=x2图象的最低点是原点,所以当x=0时,y有最小值为0．

案例简析 为了帮助学生达成二次函数的“最值要求”,教师结合原来的教学进程,将对最值的追问嵌入其中,通过四个不同环节上对量的取值、点的高低、形的走势的追问,引导学生分别感知数、形间的关系,找寻二次函数y=x2的最值的位置,体会到二次函数y=x2的最值与其图象和性质的紧密关联,获得二次函数y=ax2的最值求法,为学生探索形式更复杂的二次函数的最值积累经验．

3.3 反复应用,在不同问题情境下巩固

应用数学知能解决实际问题是发展学生“四能”的核心路径．二次函数的最值要求包含三个“子要求”:一是会求二次函数的最值,即理解二次函数的最值及其求法;二是能确定相应自变量的值,在求得二次函数最值的同时,还要能确定其对应的自变量的值,让两个变量紧密关联在一起;三是能应用二次函数的最值及其求法“解决相应的实际问题”．显然,“会求”仅是“最值要求”的低层级要求,“能用”才是其价值所在．因此,落实二次函数的最值要求自然离不开实际问题了．

老教材在“22.3 实际问题与二次函数”之前,与二次函数相关的实际问题是很少见的,更不要说与“最值要求”相关的实际问题了．教材正文部分最早出现的与二次函数相关的实际问题是“22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质”的例4,在习题22.1、习题22.2中也出现了一些实际问题,但这些实际问题都没有涉及二次函数的最值．真正能够用来落实“最值要求”的应是“22.3 实际问题与二次函数”中的“问题”及三则“探究”．笔者以为,数学知能的实际应用是教学难点,想要通过这种“先研究图象和性质,再研究应用”的编排来实现突破是很难的．因此,我们将这一难点分解到每一个教学时点上加以落实,将二次函数的图象和性质的教学与二次函数的最值的实际应用“捆绑”在一起,努力呈现多样化的指向二次函数最值的真实情境,通过与二次函数的图象和性质由易到难的同步探索,让学生自始至终感受到二次函数模型是刻画现实世界和解决现实世界中实际问题的重要模型,更好地体会到二次函数与生活的联系．

3.4 分层落实,在不同能级要求上生长

“最值要求”是《课标2022》对二次函数提出的新要求．由于没有现成的配套教材,落实难度自然不小．因此,我们将这一要求细化分解,根据老教材的设计,将这一要求与原课时目标融合在一起形成新的课时目标．在落实“最值要求”的过程中,为了让学生达成最终的“会”,我们要为每一位学生量身定制课时学习目标,遵循“循序渐进,螺旋上升”的原则,分层多级推进对二次函数最值的认识,努力让他们积“小会”成“大会”．在教学过程中,我们将最值的求法、最值与函数图象之间的关系,从最简单的二次函数表达式开始渗透,将其融入到大量的实际问题的解决过程之中,让学生理解二次函数最值的一般求法及其应用策略．为此,要根据教材给定的课时内容,将“最值要求”分段分点落实,在不同的时点上根据学情提出不同的探索要求,“小步走,缓坡行”,慢慢推进,让每一位学生都能在自己的现有水平上认识二次函数的最值,会求二次函数的最值,并用其来解决相应的实际问题．

案例222.3 实际问题与二次函数.

问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2．

(1)(A)当0≤t≤6时,小球的运动时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?

(2)(B)当1≤t≤4时,小球的运动时间是多少时,小球最高?最大高度是多少?

(3)(C)当0≤t≤2时,小球的运动时间是多少时,小球最高?最大高度是多少?

(4)(C)当4≤t≤6时,小球的运动时间是多少时,小球最高?最大高度是多少?

(说明:A级题最简单,C级题最难)

学生活动:根据自己的实际情况选择一道最难的题目,自主解答．

5分钟后,教师引导学生按照例题由易到难的顺序结合图3—图6逐题陈述思路,并逐一展示确定二次函数h=30t-5t2在自变量t给定范围内取得最大函数值的点(即图中点P)及求最大值的过程．

图3 图4

展示2:如图4,当1≤t≤4时,函数图象的顶点为函数图象的最高点,因此h的最大值为45,即当1≤t≤4时,小球运动到3 s时达到最大高度,最大高度为45 m．

展示3:如图5,当0≤t≤2时,函数图象的最高点为(2,40),因此小球运动到2 s时达到最大高度,最大高度为40 m．

图5 图6

展示4:如图6,当4≤t≤6时,函数图象的最高点为(4,40),因此小球运动到4 s时达到最大高度,最大高度为40 m．

最后,引导学生结合四幅图象体会四道题目之间的联系,并归纳:在二次函数的自变量取值范围内作函数图象,在其图象的最高(低)点处,可取得二次函数的最大(小)值,最大(小)值等于该点的纵坐标．

案例简析 案例2中,四道有着明显梯度的问题组成一个基于同一情境的题组,学生根据自身认知水平和解题能力作出适切的选择、解答与交流,避免了在落实二次函数“最值要求”上的“齐步走”,让每一位学生在自己所能达到的高度上加深对二次函数最值的理解．而解题交流后的归纳小结,将原本差异化的求值方法归整为“根据图象确定最值”,较好地呈现了“求给定自变量取值范围的二次函数最值”的一般方法,将原本分层的问题用统一的策略化解,为所有学生形成满足自身发展需求的个性化解题策略提供了依据,让“最值要求”在分层中达标．

4 教学启示

4.1 研读比对,厘清课标变化

用老教材来落实课标新要求,自然就要弄清课标到底带来了哪些新要求．因此,要详细研读新旧两版课程标准,做到“点面”结合,细致入微,从教学理念、教学内容、教学要求、教学方式等方面找寻课标的变化,确定与课时教学紧密关联的新方向、新要求,从而明晰自己教学的方向,尤其是对一些内容分散、达成时间跨度长、难度较大的新要求,应该更加细致地去分析,找出新旧差异,发现具体变化,然后结合教材合理分解,巧妙落实,确保课标新要求的达成．以本文所述的二次函数的最值要求为例,该要求是基于《课标2011》二次函数教学要求(3)提出的新要求,是对原要求的再提升,需要教师基于二次函数板块的教学来逐步落实．在看到这一新要求的同时,笔者也注意到相较于《课标2011》,《课标2022》二次函数所提要求中明显加强了二次函数的图象的教学,这必然引导一线教师在“最值要求”的落实中,强化函数图象的作用,突出数、形在解决与二次函数最值相关问题中的作用．这也是笔者开展文中所述教学实践的主要依据．

4.2 见缝插针,嵌入教材资源

老教材是基于《课标2011》编写的,有着严密的逻辑体系,与学生的认知水平、发展规律紧密吻合,加之近十年的教学实践,让教师和学生早已适应了教材的安排．如果没有新教材的强势推进,教师想要在短时间内自建教学资源落实课标新要求,难度是很大的．因而,应充分利用原有教材给出的教学资源,见缝插针,通过原有资源的再发展或新资源的巧嵌入,形成落实课标新要求的资源链,让新要求在老教材的教学中逐步落实,形成新旧要求同步“落地”的美好局面．在上面笔者给出的教学方案中,并没有打乱原有的教材体系,而是将“最值要求”分散落实到了每一个课时的教学中,让学生通过对不同形式的二次函数最值的反复探索感知二次函数最值的客观存在,通过每一次二次函数的实际应用理解二次函数的最值与函数图象的紧密关联,通过“异中求同”的差异化探索与交流发现二次函数最值的一般求法．整个方案,是基于《课标2022》所提新要求对老教材的二次函数知识体系的完善,在老教材的基础上让认知往前再走一步,用教材资源使用的深度提升学生对二次函数认识的高度．

4.3 渐进落实,注重前后一致

杜威说过:“教育是对经验的重建和重组．”数学教学自然应遵循这一教育规律展开．我们知道,经验获得于探究的过程之中,探究的过程越相似,经验的唤醒与应用也就越容易,其被纳入到认知结构的可能性也就越大．因此,无论是编写教材,还是开展教学,我们都应注重教学情境、教学内容或教学方法的前后一致．人教版数学教材编写最大的特点就是注重前后一致,我们的教学自然也就要做到前后一致．当我们落实一个新要求时,要特别留意学习方法和学习流程的前后一致,让学生能够基于已有的活动经验展开探究．

以上面的教学方案为例:教师根据教材的安排,紧扣不同的教学时点和不同的函数形式,在学生探索完二次函数的图象与性质后,进一步探索其最值．每一次探索,内容相同,方法相同,过程相同,结果相近,整个过程循序渐进,螺旋上升,学生在前后近乎一致的过程中展开探索,在由易到难的认知历程中逐步加深了对二次函数最值的认识．此外,“最值要求”落实的过程中,每一次探索都充分利用数形结合思想展开,让学生体会到二次函数的最值既可以抓住解析式去计算,也可抓住二次函数的图象去确定,有时还可以利用所列表格去发现．这样的教学,充分考虑到学生认知的一致性需求,将固定的套路嵌入到常态课堂中,自然和谐,成效明显．

4.4 内外关联,优化认知结构

《课标2022》提出了“设计体现结构化特征的课程内容”[2]2,意图通过“对教学内容的结构化整合”,让学生的数学知能主动关联起来,促进其认知结构的不断优化与完善．为此,我们的数学教学让学生能够在结构中学习,要突出数学知能的内外关联．我们要强化数学内部的联系,不断推动数学核心知能在教学过程中的主动关联;我们还要重视数学与外部的关联,强化数学与其他学科、数学与生活的联系,要努力引导学生跨越数学的边界,开展跨学科主题探索和基于真实情境的实际应用,落实课标要求,发展学生素养．

关于新课标之下老教材的教学,我们一直在做着尝试．作为新旧教材的过渡时期,近两年用老教材落实课标新要求是教学常态．这就需要一线教师发挥自己的教学智慧,在充分研读课标的基础上,深入剖析老教材,用好老教材,让课标新要求下的素养课堂早日在祖国的大地上扎根、开花、结果．