对新编教材中概率主线的一点认识

王世朋 (安徽省合肥市第七中学 230001)

概率是从数量角度研究随机现象规律性的学科.随着大数据时代的发展,概率的重要性变得越来越突出,概率素养已经成为一名公民的基本素养[1]．概率单元因理论性较强,加上教师对新增内容的讲授缺乏经验,其教学成为当前高中数学教学的一个难点[2]．人教A版新教材在概率部分改编力度较大,从原本面向应用型概率的教学转向基于概率知识的产生、发生设计教材,有助于师生真正把握概率研究的对象与问题的本质,探索概率教与学的基本策略和思考方式．作为一名执教者,如何通过系统梳理教材内容的进程来助力高效的教与学,是件有意义的事．

1 随机现象引出研究对象

一般而言,人们把自然界和人类社会中存在的现象区分为两类:一类是在一定条件下能预知结果的,称为确定性现象;另一类是在一定条件下事先不能预知结果的,称为不确定性现象[3]．因生活中有许多不确定性现象,人类必须面对包含不确定性的问题,并想要尽一切办法解决这些问题．但是,有些不确定性现象过于复杂、毫无规律,以目前人类的能力还无法认知．于是设法缩小研究范围,把那些在相同条件下能进行重复观测且有规律的现象作为研究对象提出[4],进一步,把在一定条件下不能事先预知结果且各个结果都具有频率稳定性的现象定义为随机现象．为了增强学生对随机现象特点的把握、提升数学抽象能力,教材中通过大量的实例来加以说明．例如,通过章引言中给出的从家到学校所需时间的分析,发现所用的时间具有相对稳定的规律;又如,提出从装有一些白球或红球的袋子中随机摸出的球的颜色的规律等都是随机现象的范畴,让学生感知研究的必要性．同时,在课本的思考栏目设置了体育彩票摇奖问题,例题中的抛掷一枚硬币(或两枚硬币)、电路通路问题,通过分析都存在结果的不确定性．课后练习的“抽签取人”和“射击中靶”同样具有结果的随机现象特点．

引出一个概念后,紧接着需要去做基本分类．不难发现随机现象存在于我们生活的方方面面,如游戏中的随机现象(抛掷硬币、抛掷骰子、抽取扑克牌等),生活中的随机现象(彩票、出生月份、摸球抽签、上学迟到等)以及实际应用中的随机现象(随机抽样、保险问题、投资理财等)．不断地体会和理解教材里研究的随机现象所具有的一些基本特征,如结果有限性、不可预知性和频率稳定性．事实上,在提出研究对象的过程中,可以利用原有的学习经验,采用类比策略来引导教学．在确定性现象中有很多问题是学生较为熟知的.譬如做匀速直线运动的物体,只要知道它的初始位置、运动速度,就可计算出它在未来任何时刻所处的位置;又如,只要知道购买一套房子的贷款金额、月利率和贷款期限,就能计算出每个月的还款金额及剩余的欠款等．数学中通过缩小范围,加以适当的假设处理,最终可抽象出函数模型来解决很多相似的确定性问题．前期积累的活动经验都是学生们进一步理解随机现象内涵的抓手和载体,要符合学生的认知起点和特点,让研究对象的提出自然且合理,激发学生进一步研究的热情和信心,并由此析出概率的研究范围问题．

2 随机试验生成研究路径

要实现对随机现象的研究,最基本的方法就是试验观察法,尤其是可重复的多次试验．例如:从班级随机选取10位学生来观察近视的人数、记录某地区月份的降雨量等,都需要观察所有的基本结果．由此,自然就引出了新的概念——随机试验(即对随机现象的实现和对它的观察)．从客观存在的现象出发,引出研究问题,再给出解决现象规律性研究的路径,利用随机试验来模拟刻画随机现象中的统计规律性．一方面,这是数学抽象提升的过程,即从原有的直观感知走向规律刻画的数量化,是数学化进程中的重要一步．另一方面,既然通过随机试验来实施观察,也就必然存在多次试验,尤其是有利于对观察结果进行分析的重复试验．结合随机现象的特征,不难获知随机试验要满足的三个基本特点:(1)试验可以在相同条件下重复进行;(2)试验的所有可能结果是明确的,并且不止一个;(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果．在学习体验上也可以找到类比对象.例如,在必修阶段学习函数的零点时,课本给出用二分法研究函数的零点路径,当精确度要求越高时,近似结果越接近真实零点;实际上,关注随机试验观察结果的原因就是当重复试验次数越来越多时,结果出现的次数也越来越稳定,从而为分析和决策提供数据支撑和依据．至此,便提出了概率研究的方法是什么．从数学化进程来看,这是数学抽象的第一层级,让学生明白要研究的问题是随机现象、研究的方法是通过做多次重复试验来对结果进行观察．至于观察什么类型的结果,如何在实际中加以应用、成为研究一类问题的套路和方法,还需要进一步数学化,形成科学的体系和方法,最终让学生能加以理解和运用．这实际上是给出了学什么的问题．

3 随机事件产生研究方法

为了进一步分析随机试验结果,教材利用具体实例,从有限结果出发,逐渐产生了“样本点”“样本空间”和“有限样本空间”的概念．一方面,这样处理是基于必修教材中先学习了统计再学概率．深刻理解统计和概率都是从数量角度研究随机现象的规律性,不同的是:概率是在总体被假设已知的情况下研究从总体中抽取的样本的有关问题,采取演绎推理的方式实施;而统计主要是在样本可以获得的情况下研究如何从样本得出关于总体的一些结论,常采用归纳推理方式进行．另一方面,这也是数学概念形成和数学抽象的需要,有助于把试验结果进行数量化,为后面建立一种新的对应关系提供支撑．

本次新教材对“随机事件”概念进行了重构.这次重构首先区分了生活中的“随机事件”与数学世界中的“随机事件”,避免旧教材中不严谨的定义带来教学上的混乱;其次保证了“随机事件”定义的科学性;再次,也有利于高中与大学阶段学习的有效衔接[5]．由随机事件概念可以看出,不同的随机事件就是有限样本空间对应的不同结果的集合,要研究的目标即是对随机事件进行数学刻画．当完成了用集合的语言刻画随机现象,也就意味着可以基于集合的关系和运算来研究随机事件的关系和运算,为概率的定义、性质的研究及概率运算奠定完备的体系和基础．从知识角度看,随机事件是数学化研究随机试验有限结果的最佳 方案,既能直观表达试验结果,也能建立结果间的关系与运算研究．从教材体系看,随机事件的引入使得随机现象研究更具体,随机试验观察更有抓手,能达到用数学的方法实现对一般规律性的研究．从教学操作看,教师更加明确了教学的线索:随机现象→随机试验→随机事件．实现研究问题具体化、研究进程数学化,概率主线明晰．对学生来说,一方面学习变得更具可操作性,明白能做什么、要做什么,另一方面也能增加他们研究不确定性现象的活动经验,同时与前期学习的一类典型的确定性现象——函数单元的学习体验相似,可实现方法和路径的借鉴．至此,就回答了怎么学的问题．

4 随机变量刻画研究内容

在必修教材中,引出随机事件后紧接着研究一类典型的概率类型——古典概型,通过解决实际问题,了解构建概率模型的一般方法,理解概率的意义．之后研究概率的基本性质、事件的相互独立性和频率与概率内容．不难看出,必修教材中已经呈现了概率研究的基本全貌,从概念的引入,到性质的研究,再到具体模型的概率计算,呈现完整的研究与学习路径．考虑到概率是针对随机事件的数量刻画,依据事件的关系来做概率运算关系的研究非常有必要,所以在必修中研究了互斥、对立与独立的关系与运算．考虑到统计与概率的联系及概率计算类型受限,给出了用模拟的方法来实现概率估算的办法,丰富学生解决问题的途径．其一,学生通过概率知识学习,基本实现用概率思维来思考和解决部分实际中的问题,实现用数学的方法研究和解决问题;其二,学习活动的体验也类似于前面函数的学习,实现数学学习方法的一致性和学习内容的系统性．

选择性必修中的概率学习,是对必修学习的补充和延伸,是对随机事件概率计算方法的拓展与一般化,进一步通过引入随机变量,实现在高观点下利用数学工具,采用统一的方式,系统、全面地研究离散型随机变量取值的概率分布及数字 特征,根据频率稳定到概率的事实,借助误差数据频率分布直方图,建立正态分布模型并解决有关实际问题[6]．其中,随机变量的引入承担了非常重要的角色．首先,随机变量是随机事件的数学化,是把样本空间子集对应为一个实数,真正用数量的变化来反映和刻画结果的不同,实现用数学的方式研究问题．其次,随机变量能更直观和简洁地表达试验的结果,相比随机事件更具有一般性,更有利于探究发生概率的规律性．最后,随机变量是在不确定性现象中研究某个数量指标取值规律的本质刻画,能实现对随机现象的分类研究,是统领分布列类型的关键变量．当实现了用随机变量来刻画随机试验结果,即完成了随机事件的数量化过程,建立起了随机变量的研究框架和路径,实现用数学的方法解决实际问题．通过随机变量刻画随机现象来加深理解随机思想,清晰呈现为什么学的问题．

概率在新教材中贯穿必修和选择性必修,对学生随机思想的培养至关重要,是直接运用知识解决实际问题最常见的类型．从教材编写上看,能较为清晰地体会到数学化进程与数学抽象的几个阶段．第一阶段可以理解为用数学眼光来看问题,提出把随机现象作为概率研究对象．第二阶段是概率研究的系统化阶段,也是数学抽象的关键阶段,实现用数学思维来思考、研究和分析随机现象,引出随机试验的方法,借助随机事件研究试验结果的策略．通过随机事件的集合化定义,打好事件关系与概率运算的地基,为复杂事件的概率研究奠定基础．第三阶段可以理解为随机变量的引入,真正实现用数学变量来刻画随机事件,建立与确定性现象研究相似的操作方案,达到用数学的方式实现问题的一般化研究,体现数学语言表达的严谨、规范和简洁．从教学视角看,概率主线的数学化过程实际是提升学生数学抽象素养的很好载体,相对其他主线可能功能更强、意义更广．其一,在核心概念生成上就是数学抽象素养提升的最好阶梯,如用样本空间表达试验结果、用集合语言刻画随机事件、用随机变量刻画随机事件,通过概念的自然生成和辨析实现抽象素养的提升．其二,在典型例题的分析中给出多种数学图示辅助进行问题剖析,建立把实际问题转化为纯数学问题的纽带,通过文字语言图形化,给出教学中的有效范式．其三,在课后练习题的设置中,考虑到概率问题源于生活,课本上选取关于德、智、体、美、劳的各种素材加以创编或直接选用,用来丰富教学的资源,激发学生的学习兴趣,是把实际问题抽象为数学问题的最好实践方式．教学中教师要充分用好这样的资源,来提升学生的数学抽象素养和关键能力．

总之,在概率教学中,因内容难度大,教师面临认知困境,需要促进教师研究概率内容与概率教学方法的实践行动,强化团队教研的有效指导．又因教学中教师容易“简化”教学,存在应试倾向的评价困境,需要加大对一线教师的培训,尤其是教学研讨与示范活动,以便提升教师实操能力,让概率教学的育人力量更强．