基于学业质量监测的初中生数学建模能力调查研究*

李 荣 孙 凯 (江苏省苏州市阳山实验初级中学校 215151)

1 研究背景

数学建模是解决现实世界中诸多问题的关键,是学生未来发展必备的关键能力[1].模型观念形成于数学建模的基本过程中,发展模型观念是培养初中生数学建模能力的基本途径.初中生数学建模能力(以下简称“建模能力”)是指初中学生利用形式化的数学模型去反映现实问题中的关系结构,通过对数学模型的求解和检验,解答现实原型中某些问题的能力[2].

模型观念作为初中生(下称“学生”)核心素养的主要表现之一,理应引起一线数学教师的重视.为更好地了解学生模型观念的培养现状及数学建模能力的发展状况,以S市H区发布的2021年学业质量监测报告为依据,重点研究数学建模试题及得分情况,分析学生数学建模能力的发展状况,以期提出切实可行的建模教学建议.

2 测评分析

2.1 测评对象

测评对象覆盖S市H区全部初中学校的八年级学生,采用学科抽测和相关因素全测的方式采集样本,从全区7 605名学生中抽测了2 572名学生,抽测比率为33.8%.

抽测试题为三道典型建模试题,分别涉及“数与代数”“图形与几何”两个领域,满分分别为6分、6分和8分.由于试题总分有所不同,根据学生的答题情况,按试题的得分率(即所得分数占总分的百分比)赋予0～100%.

2.2 测评维度

为了更好地了解学生在义务教育学业质量监测中数学建模能力的具体表现,把学生在测试中表现出的数学建模能力水平划分成4个层级,按得分率划分为4个得分段(表1)[3].

表1 初中生数学建模能力水平的具体表现

2.3 试题设计

试题1 货梯搬运

某一货梯的额定限载量为2 000 kg,甲、乙两人要用此货梯把每箱质量为80 kg的100箱货物从底层搬到顶层,已知甲、乙的质量分别为80 kg和70 kg,且甲、乙随货梯同时上下.

(1)他们每次最多搬运多少箱货物?

(2)他们至少要搬运几次才能搬运完这批货物?

试题说明该题基于“货梯载物”的生活情境,是“数与代数”领域的基础型试题,难度中等.知识层面考查“一元一次不等式”,素养层面考查数学建模能力、计算能力、推理能力和数据处理能力.该题以文本的方式呈现,题目比较简洁.如何从简洁的文字中发现不等关系,并且建立不等式的模型解决问题是一个难点;在第(2)问中,不等式求解完成后,如何确定搬运次数是另一个难点.

试题2 桌椅匹配

我国从2015年5月开始实施《学校课桌椅功能尺寸及技术要求》(GB/T3976-2014)的国家标准,该标准明确了学校课桌椅的技术指标(表2为其中部分数据,单位:cm):

表2 学校课桌椅功能尺寸与技术要求

(1)小惠同学对表2中的数据进行探究,猜想桌面高y(cm)是椅面高x(cm)的一次函数.假设小惠的猜想是正确的,请你求这个一次函数的表达式(不必写出x的取值范围),并用表格中的数据验证小惠的猜想是正确的.

(2)小惠和爸爸在家具商场看中了一张书桌和一把椅子,椅子的高度可以调节,但是书桌的高度不能调节,经测量,书桌的桌面高是72 cm.请问:身高170 cm的小惠是否适合这张书桌?如果不适合,请说明理由;如果适合,请计算椅面应调节到多少高度才能和书桌配套.(结果精确到1 cm)

试题说明该题基于“课桌椅功能尺寸”的科学情境,是一道“数与代数”领域的典型建模试题,难度较大.知识层面考查一次函数,主要包括函数概念、解析式求法,运用解析式分析和解决问题.素养层面主要考查模型观念、运算能力、数据处理能力、推理能力、创新意识、运用模型分析问题和解决问题的能力等.该题以文本和表格的形式呈现,如何选取合适的数据解决问题是一个难点;第二个难点是验证猜想;第三个难点是对表格中并未出现的数据“72”的处理.如何根据表格数据建立模型分析和解决问题,对学生的创新应用能力提出了较高的要求.

试题3 隔离区面积

如图1,一个小区有一处墙角,DM和DN是墙面,∠D=90°.疫情期间物业利用墙面作为两边,建立了一个五边形隔离区ABCED,其中AB,BC,CE是隔离栏,已知AB=6 m,DE=10 m,AD=CE=2 m,∠B=90°,CE⊥DM.

图1 图2

(1)求五边形ABCED的面积.

(2)小区业主觉得这个隔离区不规则,利用物业原有的隔离栏,依然利用墙面作为两边,建立了一个如图2的正方形FGHD,其中FG和GH是隔离栏,试判断经过这样改造,面积是增大还是减小了?并计算增大或减小的面积是多少平方米.

试题说明该题是以“疫情隔离区”的生活情境为载体而设计的一道“图形与几何”领域的典型试题,难度适中.知识层面主要考查勾股定理、矩形的判定、图形面积的求法.素养层面主要考查几何直观、空间观念、推理能力、计算能力、模型观念等.学生需用割补法求不规则图形的面积,把五边形分割成一个直角三角形和一个矩形,然后通过建立“勾股定理”“矩形(正方形)”模型去解决问题.该题注重图形与几何领域内容与现实生活的联系,凸显数学的广泛应用.

3 结果与分析

3.1 答题情况

试题1答题情况分析如下:一是约33.0%的学生未能成功把现实问题转化成数学问题,没有抽象出题目中蕴含的不等关系,也就不能建立不等式模型;二是近一半的学生能够发现题目中隐含的不等关系,建立“一元一次不等式”模型;三是部分学生能够建立模型,但是对“最多”“至少”等字眼理解不透彻,导致最后下结论的时候出现错误.答题分数统计如图3所示,数学建模水平分布如图4所示.学生建模水平具体分布如下:处于水平一的占比32.0%,其中零分率高达28.3%;处于水平二的学生占比3.0%,所有学生都能得到2分;处于水平三的占比16.5%,得3分的学生居多;处于水平四的学生占比48.5%,得6分的学生居多,满分率为39.5%.

图3 试题1答题情况统计

图4 试题1学生建模水平分布

试题2答题情况分析如下:首先,本题给学生铺垫了一次函数的模型,降低了解题难度,只需选择合适的数据,用待定系数法求解函数表达式即可,部分学生在验证猜想环节考虑不全;其次, 第(2)问中出现了表格中没有的数据,让部分学生不知如何下手,究其根本原因,还是对函数的概念理解不深入,没有深刻理解函数是在一个变化过程中产生的,导致答题失误.

从答题得分统计情况来看,学生之间分差较大,零分率超30.0%,也有30.0%的学生总分是满分.学生建模水平具体分布如下:第(1)问中,水平一占比38.6%,零分率35.9%;水平二占比3.7%;水平三占比23.4%;水平四占比34.3%,满分率26.1%.第(2)问中水平一占比38.0%,其中零分率高达38.0%;水平二占比12.8%;水平三占比9.8%;水平四占比39.4%,满分率39.4%.

试题3答题情况分析如下:近一半的学生能够从不规则图形中利用“割补法”建立直角三角形和矩形模型解决问题.少部分学生在矩形的判定中出现失误,说明这部分学生数学思维的严谨性和严密性有所欠缺;少部分学生审题失误,导致第(2)问解题失败.从答题分数统计来看,学生得分情况如图5所示,数学建模水平分布情况如图6所示.

图5 试题3答题情况统计

图6 试题3学生建模水平分布

学生建模水平具体分布如下:水平一占比17.4%,其中零分率12.4%;水平二占比15.8%;水平三占比35.7%;水平四占比31.1%,满分率21.1%.

3.2 结果分析

数学建模能力包括阅读理解能力、逻辑推理能力、数学化能力、计算能力和自我监控能力[4].从学生的答题情况和建模水平分布情况来看,主要有以下几方面的问题:教师对数学模型教学重视不足;学生的图文阅读理解能力有待加强;学生求解数学模型能力有待提高.

3.2.1 教师对数学建模教学重视不足

由于教学时间有限,数学课以上新课和处理新课配套的习题为主,留给练习和系统复习的时间比较少.教师课上花很长时间讲一道数学建模的题目,总感觉“性价比”不高,索性不讲或者碰到题目就题论题.教师的不重视自然就不能引起学生的重视,在试卷上反映出来的就是满分率低,高分率低.不重视模型意识和数学建模能力的培养,数学的应用价值就体现不出来.

3.2.2 学生的图文阅读理解能力有待加强

从学生答题情况来看,只有约33.0%的学生能够从题目提供的文本、表格、图形中快速准确地找到关键信息,完成数学建模.阅读理解能力不足主要体现在:漏读、忘读和不读.漏读是指学生忽略了题目中很重要的细节,或者细节关注到了,但是未能实现从实际问题向数学问题的“转化”;忘读是指面对文字较多,涉及图、文、表等多种形式的信息时,部分学生不能把题目的信息全部关注到,忘记或忽略一些重要的信息或条件,导致分析和解决问题出现障碍;不读是指学生对应用类问题排斥,不进行任何阅读和理解,更谈不上建立模型.

3.2.3 学生求解数学模型能力有待提高

学生通过图文的阅读理解,成功把实际问题转化成数学问题,并且建立了适当的数学模型,但在用模型求解环节出现失误,如在试题1中建立起了不等式模型,但是在解不等式时出现失误,或者不等式求解正确,但是在数据处理下结论时出现失误.再比如,在试题3中出现正方形面积求解错误,甚至有部分学生出现了前后两个图形面积计算正确,但是在求差值的时候出现了失误或者下结论时出现错误,这实属不应该.在平时的模型练习中我们也发现,试题情境或数据越复杂,错误率越高,因此如何利用已经建立的模型去正确解决问题,也是教师和学生亟待关注的问题.

4 教学建议

4.1 提高模型教学意识

数学核心素养要求学生会用数学的语言表达现实世界,其核心表现是数学建模能力.教师在平时的教学中要重视学生建模意识的培养,提高模型教学意识,设计适切的数学建模活动,驱动学生经历数学建模的基本过程,发展学生的模型观念,逐步提高学生的数学建模能力.初中阶段的数学模型可分为概念性数学模型、方法型数学模型和结构型数学模型[5],教师在平时的教学中应以数学模型教学为载体组织建模教学.比如,在一元一次方程的教学中,设计真实的问题情境,驱动学生建立一元一次方程的概念模型,为解决实际问题,进一步探究模型求解的方法,从而形成一元一次方程的解法模型,获得数学结果并阐释实际问题.在模型教学的过程中使学生感悟数学建模的基本过程.

4.2 提升阅读理解能力

真实情境之下的数学应用类问题对学生的阅读理解能力提出了更高的要求.数学阅读对象主要为文本、图形和表格三类,如何从中获取有效的信息并且将其数学化,是每位教师和学生都应该思考的问题.对“漏读”的学生,可以指导他们圈画关键词或者关键数据;对“忘读”的学生,要让他们养成反复读题的好习惯,摆脱只读一遍题目的思维定势,多读几遍其义自见;对于“不读”的学生,可以培养他们的阅读意识和阅读习惯,对他们不要提出太高的要求.教师要做好示范引领工作,帮助学生克服对应用类问题的恐惧.在平时教学中,注重对学生阅读理解的训练和指导,逐步提高综合情境下的阅读理解能力.

4.3 开展数学建模活动

如果说课堂内的建模是对数学知识的巩固和再认识,那课堂外的、基于真实情境的数学建模就是知识的灵活运用和创新.真实的现实情境是千变万化的,要想成功进行数学建模,学生须从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,通过建立方程、不等式、函数、几何图形等模型描述问题中的数量关系和变化规律,再用求得的结果进一步去解释实际问题,对模型进行修正和优化,这是一个充满趣味性和挑战性的过程.教师要把握建模教学的整体性、阶段性和系统性[6].从课堂上的阶段性建模,到生活中的完整性建模,引导学生经历“现实原型—实际模型—数学模型—模型求解—检验解释”等建模过程[7].鉴于此,教师要组织开展指向现实生活的数学建模活动,提出有价值的问题,进行有意义的建构,让每个学生都能亲身经历数学建模的全过程[8],形成模型观念,逐步提升以数学抽象、逻辑推理、数学建模为主的数学学习力.