单元整体视角下“对数函数”教学设计的探讨

钟苑明

⦿东莞市松山湖北区学校

1 引言

数学核心素养形成的标志是学生在学习过程中逐步构建起系统化的知识结构和全息化的认知结构，这就要求广大一线教师更需要注重知识前后的连续性和整体性[1].单元整体教学是在实际教学过程中合理地构建单元整体教学模式，以完善学生的知识结构体系为目标，有机地将教学模块进行组织与构成，从而更好地促进学生知识的内化，提高学生学习效率[2].对数函数是指数函数的延续，是研究现实问题重要的数学工具，是高中阶段重要的函数模型之一.鉴于此，本文基于单元整体教学的视角，以培养学生数学核心素养为目标，结合笔者的教学实践，形成如下“对数函数”概念的教学过程.

2 教学目标

“对数函数”是函数内容的重要组成部分，是继指数函数之后的重要初等函数之一.对数函数与指数函数联系密切，无论是知识角度还是思想方法角度，对数函数和指数函数都具有共通之处，因此在教学上可通过类比指数函数的研究过程，来研究对数函数.基于上述分析，以单元整体教学为背景，结合高中数学课程标准以及学生的知识基础和思维水平，确定如下教学目标.

(1)通过解决现实问题，感受对数函数的实际背景与引入的必要性，培养分析问题、解决问题的能力.

(2)经历对数函数概念的建构过程，理解对数函数的概念.感受从特殊到一般、具体到抽象以及类比等数学思想在研究函数过程中的作用，提高数学抽象、逻辑推理等素养.

(3)通过例题的分析与练习，掌握辨析对数函数解析式和求解对数函数定义域的方法，培养数学运算素养；通过解决实际问题，感悟数学源于生活、用于生活的价值，提高数学建模素养.

3 教学重难点

基于上述分析，笔者将本节课的重点设置为对数函数的概念，难点为概念建立的过程.指数函数与对数函数联系密切，可以通过创设一个具体的指数函数模型的情境，引入对数函数的学习.结合指数与对数互为逆运算的关系，借助函数的定义进行说明，再从特殊到一般，抽象概括出对数函数的概念，借此突出重点，突破难点.

4 教学过程

4.1 创设情境，引出课题

问题情境：1980年在新疆楼兰地区出土了一具木乃伊，考古学家们经过三年努力，于2004年7月将这一具距今3 800年的古楼兰女木乃伊头像在沈阳成功复原.此次复原的是她18岁时的容貌.请问考古学家们是如何推算出楼兰美女的年代的呢？

问题1如果已知该木乃伊碳14的含量y，那么如何得到生物死亡经过的年数x呢？

问题2死亡年数x是碳14含量y的函数吗？

引导：判断x是否为y的函数，可以根据指数函数图象以及函数的定义进行说明.

追问：依据指数函数图象的性质和函数的定义怎么进行判断呢？

图1

设计意图：通过一个自然而真实的问题，引导学生感受对数函数的实际背景以及引入对数函数的必要性，为抽象出对数函数的概念作准备.问题1是为了引导学生从另一个角度研究同一问题的变化规律，学生通过这种并列结合的学习，能够从貌似无关的两个概念中发现它们某些共同的关键特征.根据笔者教学经验，大部分学生回答问题2时都不会经过严谨地思考，直接回答“是”.因此在问题2提出之后，教师给出适当的引导与追问，最后通过图象的形式直观呈现出二者的对应关系，让学生体会数形结合思想.

4.2 合作交流，形成概念

问题3如果将底数换成其他常数，x还是y的函数吗？如：x=log2y，x=log3y，……

问题4这类函数有怎样的一般表示形式呢？

追问1：联系指数函数内容，底数a的取值有什么要求吗？函数的定义域又是什么？请说明理由.

追问2：类比指数函数，如何定义对数函数？

师生活动：由特殊到一般，学生抽象出这类函数的一般表示形式为x=logay.教师提示，在数学中习惯把x作为自变量，y作为因变量，因此把x=logay改为y=logax.教师引导学生，根据指数与对数的关系，可以得到底数a>0，且a≠1.由于同底数的指数函数的因变量变成了对数函数的自变量，因此对数函数的定义域为(0，+∞).在形成概念的过程中，以学生讨论交流为主，通过合作学习得出问题的答案，采用类比的思想方法，形成对数函数的概念：一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞).

设计意图：著名的教育家乌申斯基认为，在教学论中，比较(类比、对比)应当是一种基本的方法[3].类比指数函数概念的形成过程，由学生先归纳出对数函数的一般形式，再通过问题链的形式，引导学生一步步完善并得到对数函数的概念.这种方式可以充分发挥学生为主体、教师为主导的教学理念，有效地培养学生的抽象概括能力与知识迁移能力.

4.3 例题演练，巩固新知

例1给出下列函数：

①y=2log2x；②y=log3(x+1)；

③y=logπx；④y=log2x+1.

其中是对数函数的有( ).

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

变式1下列函数中，是对数函数的有：.

①y=lnx；②y=loga2x(a>0且a≠1)；

变式2a为何值时，函数f(x)=(a2+a-5)·logax是对数函数？

师生活动：对于例1，教师引导学生从对数函数的概念出发，强调对数函数与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别.通过对例1的分析，变式1与变式2由学生自主完成.最后，让学生总结判断一个函数为对数函数，要注意“①对数符号前面的系数为1；②底数为不等于1的正常数；③对数的真数仅有自变量x”.

设计意图：通过例1加深学生对数函数的理解.根据桑代克的练习律与斯金纳的强化原理设计变式1和变式2，可以让学生更加充分地认识对数函数的本质特征，提高数学抽象素养.

例2求下列函数的定义域：

(1)y=ln(1-x)；

(2)y=loga|x|(a>0且a≠1).

(3)y=log(x-3)(x+1).

师生活动：对于例2，提示学生这些虽然不是对数函数，但与对数函数紧密相关，求这些函数的定义域时，要结合对数函数的概念.教师展示学生解答，并对易错点进行点评.最后由学生总结求对数型函数定义域的一般步骤——①根据概念列出限制条件；②解不等式组，用集合或区间的形式写出函数的定义域.

设计意图：通过求相关函数的定义域，加深学生对对数函数的真数必须大于零的印象，这是学生容易忽略的一个地方.同时，强化学生对对数函数的定义域为(0，+∞)的印象，加深对对数函数概念的理解，培养学生的数学运算素养.

例3假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过t年后物价为w.

(1)该地物价经过几年翻一番？

(2)填写表格，根据表中数据，说明物价变化规律.

物价w12345678910年数t0

师生活动：教师给出现实背景问题，引导学生理解题意.

设计意图：例3让学生再次体会指数函数和对数函数是从不同角度刻画同一个问题的变化规律，使学生进一步深化对概念的理解.运用对数函数模型解决现实问题，回归生活，在课堂有效落实数学建模素养，同时提高学生分析与解决问题的能力，使学生的数学应用意识得到提升，学会用数学的语言表达世界.

4.4 课堂小结

问题5 回顾本堂课的学习内容并思考：为什么学习对数函数？研究对数函数的方法是什么？利用对数函数可以解决什么问题？(课堂小结如图2)

设计意图：带领学生回顾本节课的探究过程，让学生体会到已有经验对研究类似对象的作用，为后续的学习打下基础，再次巩固本节课所学知识和所用到的数学思想方法并且加强学生对知识的运用能力.

4.5 目标检测

(1)已知函数f(x)为对数函数，且f(3)=1，则f(9)的值为.

(2)求函数y=log2(x-1)+log2(x+1)的定义域，并判断其奇偶性.

(3)课本第131页第2，3题.

设计意图：考查学生对对数函数概念的理解；考查对数函数定义域并复习上一章内容.

5 教学感悟

本节课是一节单元教学课，课堂设计时需要考虑将这个单元的不同知识、思想方法融合到一节课，从而实现培育学生数学核心素养的目标.经过本节课的教学，笔者得出如下两点感悟.

5.1 注重知识联系，优化整合教学方案

数学核心素养的发展是一个具有连续性和阶段性的过程，它是跨课时、跨单元、甚至是跨学科主线的过程.而基于课时的传统教学设计是属于微观层面的教学设计，很难充分发挥出学科育人功能[4].单元教学的突出特点就是打破知识学习碎片化的教学，有效培养学生的学科核心素养.本节课以一个自然而真实的情境引入，使学生主动联想到前面指数函数的知识，继而转化为数学问题.在对数函数概念的构建与完善过程中，引导学生借助函数的定义以及指数函数的图象与性质来说明死亡年数x是碳14含量y的函数，联系指数式与对数式的互化，得到对数函数底数的取值范围以及函数的定义域.从引入到概念的构建，充分体现了单元教学能够有效帮助学生在头脑中形成网状的知识结构.

5.2 践行以生为本理念，培育数学核心素养

为了实现在课堂教学中落实数学核心素养，教师要时刻提醒自己在课堂教学中的角色定位，牢记学生的主体地位，教师作为引导者、启发者，通过恰当的问题推动课程的进程，发展学生的思维[5].概念的形成与完善往往是课堂教学的难点，本节课遵循以学生为中心，通过提示学生从函数的定义和指数函数角度思考以及设置问题链，让学生进行合作交流，进而一步步完善并概括出对数函数的概念.课堂还设置了学生总结提炼解题技巧的环节.因此，在本节课的知识建构过程中，充分发挥了学生的主体作用.课堂习题的设置，必须注重数学核心素养的落实.喻平认为，教师在教学设计时要思考这个知识有什么应用价值，包括在现实生活中和其他学科中的应用[6]，因此在课堂练习中设置了对数函数在现实生活中应用的题目.从情境引入到习题演练，引导学生在了解问题背景的基础上，从已有的经验角度去分析问题、解决问题，将“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”落实到课堂中.