复习课中突出本质、优化通法的教学思考*

蒋亚军

⦿浙江省宁波市第四中学

复习课是查漏补缺、完善技能、落实素养的基本课型，而一题多解、一题多变是常见的一种模式.传统复习课以教师讲学生听为主，学生的探究学习体验少，没有体现学生的主体地位，忽视了学生活动经验的积累.本文中通过一节关于椭圆中两直线斜率和(积)为定值与直线过定点的复习课，探究一题多解优化运算凸显问题本质，实现一题多变，多角度理解数学对象形成通法，引发对“一题一课、多解变式”复习课的教学思考.

1 题目呈现及前期准备

这是一道椭圆中的定点定值问题，题目难度适中，适合学生自主完成解答.考虑到课堂重心在于学生理解问题的本质，形成优化后的通性通法，将问题以作业的形式前置，便于了解学生的解答情况.

2 教学环节

2.1 一题多解凸显本质

师：本题的已知条件和目标要求是如何联系起来的呢？

生1：先将PA，PB的斜率表示出来，再利用斜率和等于-1即可.当然最主要的还是在计算上不要出错.

生2：思路和方法我都会，就是计算的时候经常会出错，特别是在对斜率之和通分与代入化简的过程中，稍不留神就会出错.有没有一种能减少计算量的解法呢？

生3：kPA和kPB的结构是一样的，要出现含有y-1和x的式子，只需对椭圆和直线分别进行转化就可以了.

师：很好！你能对椭圆方程进行转化吗？

师：现在已经将椭圆和直线方程都转化为含有x和y-1的式子，接下来怎么办呢？联立方程，消元，利用韦达定理？

生4：这样不是与前面的解法一样了吗？计算量没有减少.

生5：椭圆方程两边同时除以x2！

生6：不行的，次数不统一，又不是齐次式.

师：那该怎么办呢？

生7：我还有新的想法，因为直线方程是自己构建的，所以把直线方程设为mx+n(y-1)=1，就不会出现分母m-1了.

师：同学们都很棒，从减少计算量这一目标出发，不断修正解题过程，最后圆满完成设定目标.数学解题就是一个不断深入本质、优化方法的过程,让我们一起整理一下优化后的解法——“齐次化”法.

点评：将学生的解法投屏，展示其思维过程，对题目的已知和所求进行分析，联系已有知识对所求目标进行转化和化归，架起解决问题的桥梁.学生出现了对斜率是否存在未讨论，或在联立直线和椭圆方程消元得到韦达定理时计算出错，或在代入斜率公式计算时出错等问题.通过对比，说明学生的运算求解能力需要加强.通过学生暴露出来的计算问题，以减少计算量提高准确率为目的，引导学生发现斜率之和(积)为定值这类问题的本质，构造关于目标斜率的齐二次方程，利用韦达定理进行转化和求解.这样就能使问题较快地得到解决，形成优化解法.

2.2 一题多变注重通法

师：用“齐次化”的方法可以有效减少计算量，但需注意的是要配成齐二次的形式.如果把条件kPA+kPB=-1换成kPA·kPB=-1，你能否很快解决吗？

师：很好！“齐次化”的本质就是构建关于斜率的韦达定理.如果改变条件和结论的顺序，你能证明吗？

师：将点P从椭圆上移到椭圆外，得到变式3，你能求出定点吗？对更一般情况的变式4，你还能证明吗？抛物线和双曲线中还能用这种方法吗？

3 教学反思

3.1 基于学情选择合适的例题

复习课的定位应该是“基础知识的掌握、基本技能的提高、基本思想方法的落实、基本活动经验的积累”.因此,例题的选择要根据教学目标着眼于学生的最近发展区，“跳一跳，能摘到”，为学生提供适合的内容，调动学生积极性，发挥其潜能[2].解析几何中的定点定值问题是考试的热点，学生往往有思路、会方法，但由于计算问题不能顺利解出答案.针对这一现象，从一道高考改编题入手，通过师生互动启发，生生互动完善，挖掘定点与定值问题的本质，构造目标斜率的齐二次方程，在学生原有的解法上进行优化，总结形成解决这类问题的通性通法——“齐次化”.

3.2 基于学情进行合理变式

变式教学的目的就是突出数学本质、提炼解题方法，实现解一题通一类、解一类用一法的效果，使知识网络化、方法程序化.通过改变条件、结论、顺序等，有意识地引导学生思考变式怎么变、为什么这么变、还可以怎么变，激发学生的学习兴趣.围绕着“齐次化”这一通性通法，将定点定值问题深层次的本质挖掘出来.任何解决数学问题的方法背后都是有思考过程的，而理解又是思考的基础，因此对问题本源的思考与分析在课堂教学中是非常重要的[3].

4 结束语

圆锥曲线中的定点定值问题，是高考和模考的热点问题，学生往往有思路而解不出最终答案，因此得分率不高.直接运算是数学运算的低级水平，往往伴随着大量繁杂的计算；合理运算是数学运算的中级水平，利用转化化归的思想，减少计算量达到求简的目的；创新运算是数学运算的高级水平，既快又准地得到答案，追求至简的目标.通性通法重要，是学生必须掌握的方法和技能，在此基础上通过合理转化，往往会减少计算量.