怎样求解二面角问题

张跃群

二面角问题常常出现在立体几何试题中.此类问 题一般较为复杂，同学们需综合运用二面角的定义、 三角函数的定义、勾股定理、正余弦定理、线面垂直的 判定定理等知识来求解.现结合实例，谈一谈求解二面 角问题的两个技巧.

一、妙用定义

通常，我们用二面角的平面角的大小来表示二面 角的大小.在求解二面角问题时，需先根据二面角的平 面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个 半平面内作棱的垂线，则这两条垂线的夹角就是二面 角的平面角；然后在平面角所在的平面内构造三角 形、四边形，以利用三角函数的定义、勾股定理、正余 弦定理求出二面角的平面角的大小.

例1

解：

题目中涉及了较多的垂直关系，可从这些垂直关 系入手，先作 AE ⊥ SC ，利用线面垂直的性质定理以 及面面垂直的判定定理，证明 AD ⊥ SC ；再根据二面 角的平面角的定义，确定二面角 A - SC - B 的平面角 ∠AED ；然后根据等腰三角形的性质、正弦函数的定义 求得 sin ∠AED ，即可求得二面角 A - SC - B 的正弦值.

二、巧用向量

向量法是解答几何问题常用的方法.运用向量法 求解二面角问题，往往要根据图形的特点，建立合适 的空间直角坐标系，在得到相关点的坐标后，求得各 条线段的方向向量以及各个平面的法向量，就可以利 用向量的数量积公式，通过空间向量运算求得问题的 答案.

例2

解：

我们可根据已知条件：PA ⊥ 平面ABC 、AC ⊥ BC 来建立空间直角坐标系，求得各个点的坐标以及平面 PAB 与平面 PBC 的法向量，然后根据数量积公式求 得二面角的大小.運用向量法求二面角的大小，往往要 根据图形中两个半平面的位置关系来确定二面角是 锐角还是钝角.因为钝角和锐角的余弦值都为正数.

相比较而言，定义法比较常用，向量法的适用范 围较窄，但运用该方法解题的思路较为简单.同学们可 以根据题目所给的条件或者图形的特点，选用最佳方 案来解题.

（作者单位：江苏省盐城市伍佑中学）