增强四种意识，高效解答数学问题

刘春波

解数学题需要讲究技巧，否则，即便获解，解题过 程也会很繁琐.这就要求我们在解题时，要增强目标意 识、求简意识、转化意识、反思意识，以便快速、顺利地 求得问题的答案.

一、目标意识

解数学题没有固定的方法，但必须要有目标意 识，因为明确了解题的目标，才知道要求什么，要列什 么样的式子，要运用什么公式、定理、性质，才能快速确 定解题的思路和方向.没有解题目标就会失去解题方 向，导致盲目解题，这样往往很难顺利获解.

例1

解：

要判断是否存在满足题意的定点 B ，不妨先假设 B点存在，并设出B点的坐标；然后根据题设条件建立 关系式，只要满足条件“ | MB| | MA| 为常数”，那么B點就存 在，若不满足该条件，那么B点就不存在.这样明确了 解题的目标，便可快速确定解题的思路.

二、求简意识

众所周知，很多数学问题的解法不唯一，若选择 方法不当，则往往会使解题的过程变得繁琐，且计算 量变大.我们要有求简意识，通过读题提炼有用的信 息，将文字用数学符号、图形表示出来；运用通分、开 方、分解因式、换元等技巧将代数式简化；从多方面进 行思考，选择最为简洁的一种方法进行求解.这样以简 捷的方式将问题中的信息、数学式子、解题的思路呈现 出来，不仅能简化解题的过程，还能节省解题的时间.

例2

解：

本题若采用代数法求解，需通过恒等变换，将函 数式化为关于 x 或 y 的一元函数式，再利用二次函数和幂函数的性质进行讨论，其过程较为复杂.本题为一 道填空题，最忌“小题大做”.可从代数式的几何意义入 手 ，把 4x - 3y + 12 = 0 看 作 直 线 的 方 程 ，把 F = （x - 1） 2 +（y + 2） 2 看作直线 l ： 4x - 3y + 12 = 0 上的任意 一点 P（x，y） 与定点 Q（1，-2） 之间的距离，将问题转化为 求点到直线的距离的最小值，通过数形结合，快速求 得函数式的最小值.

三、转化意识

如果根据题设条件，不便于或不能直接分析、求 解，那么就需要将题设条件进行适当的转化，运用数 形结合法、换元法、特殊化方法、构造法等方法进行求 解；或将问题转化为其他形式的问题，如将不等式恒 成立问题转化为函数最值问题，将求三角函数值问题 转化为单位圆中点之间的距离问题.这样就能达到化 繁为简、化难为易的目的.

例3

解：

根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三 边 可 知 ，要 使“ 对 任 意 实 数 x1，x2，x3 ， 均 存 在 以 f （x1），f （x2），f （x3） 为三条边长的三角形”，需使 f （x）max < 2f （x）min ，这样便通过等价转化，将问题转化为熟悉的 函数最值问题，根据基本不等式求其最值即可解题.对 于不等式恒成立问题，通常可等价转化为函数最值问 题，如 f （x）> a 恒成立 ? f （x）min > a ；f （x）< a 恒成立 ? f （x）max < a．将问题进行巧妙的转化，不仅可以给解 题开辟新途径，还有利于迅速找到解题的思路，从而提升解题的效率.

四、反思意识

俗话说：“人非圣贤，孰能无过”.在解题的过程中， 一不小心，往往会出现这样或那样的错误，因此解完 一道题后，对其进行反思是很重要的.那么，如何反思 呢？一般来讲，我们应该认真审查自己的解题过程是 否正确；运算过程是否正确；是否忽视了特殊情形；是 否忽视了题设中的隐含条件；逻辑是否严密；是否还 有其他的解法；等等.增强反思意识，有利于我们及时 修正存在的错误，找出遗漏的问题，从而提高解题的 准确性.

例4

错解：

反思：该错解出错的根源在于对等差数列前 n 项 和公式的结构特征把握不准确，误以为等差数列前 n 项和公式为 Sn = an + b（ab ≠ 0） ，实际上，该公式为 Sn = na1 + n（n - 1） 2 d = d 2 n2 +（a1 - d 2 ）n ，其形式为 Sn = an2 +bn.

正解：

等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数 式，且常数项为零，这是等差数列的前 n 项和式的结 构特征.在解题时不能受命题者的影响，将两个数列的 和式看作 Sn = 7n + 2，Tn = n + 3 .一般地，若等差数列 {an}、{bn} 前 n 项和分别是 Sn、Tn ，则 an bn = S2n - 1 T2n - 1 .

总之，为了提升解题的效率，就需要切实增强目 标意识、求简意识、转化意识、反思意识，只有这样，我 们才能确保以最快的速度找到最便捷、最佳的解题方 案，从而有效地提升解题的效率.

（作者单位：山东省博兴第二中学）