学生的困惑 教师的引导

作者简介：朱元荣（1970～），女，汉族，安徽合肥人，江苏省南通市通州区川港中学，研究方向：初中数学教学。

摘 要：众所周知，几何是数学知识大厦中的一个重要组成部分，而平面几何则是几何知识的入门内容。在初中阶段，学生初步接触几何知识，这一阶段学生学习质量的好坏以及所打下的知识基础会在一定程度上决定学生在未来的学习水平。核心素养是近年来我们提倡的一种教学关注角度，通过核心素养的培养，学生能够获得更多学习知识和运用知识的能力，在未来获得更好的发展。文章中，笔者就自身的经验来谈一谈如何在初中数学的平面几何教学中贯彻核心素养的思想。

关键词：核心素养；初中数学；平面几何

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8918（2023）08-0063-05

随着课程改革的不断深入，动态几何问题已经成为初中数学教学中的重点内容之一，不仅考查学生对数学知识的掌握情况，也考查学生对数学的探究能力。动态几何问题要求学生利用运动与变化观点对几何图形的变化规律展开探讨，常常包含几何问题、函数问题、方程问题等多项内容，是综合性极强的一类数学问题，需要学生充分发挥数学想象能力，利用化归与转化、特殊与一般、数形结合、方程与函数、分类讨论等思想找到解决问题的有效方式。

一、 初中数学几何推理与图形证明的解题原则

（一）明晰题意

几何推理和图形证明题型包含的知识点多，且知识点抽象，所以要提升解题质量和解题效率，首先需要让学生明晰题意，了解题目表达的含义，明确解题方向。这就需要学生遵循明晰题意的解题原则，针对几何推理和图形证明题目中涉及点、线、面的关系进行空间想象，在明晰三者关系的基础上，通过题意推断罗列出推理条件。

（二）简化图形

在解题过程中，应当注意简化图形原则。教师应当引导学生运用辅助线将已知条件和图形进行联系。这样，原有复杂抽象的几何图形得到简化，学生拥有一个明确清楚的数学判断。

（三）研究题目

研究题目原则是基于明晰题意原则而来。这主要是因为题目中蕴含了大量的解题要素，而且还能培养初中生在几何推理和图形证明解题过程中良好学习观念的形成，促进学生保持科学学习和认真观察的态度，锻炼学生的逻辑推理能力。

二、 平面几何中所体现出的核心素养

（一）直观想象与数学建模

所谓直观想象，是学生在学习的过程中要能够对自己学习的对象进行想象。从本质上来说，世界上的一切事物无论是抽象的还是具体的，无论是有实物的还是无实体的，都可以运用数学模型进行表示。比如，一个三角形，我们可以简单地运用一些数据对其进行描述：三条边的长度分别为三厘米、四厘米和五厘米。这样一来，我们可以直接通过数据来构建出来一个具体的三角形。可是，这样的思维过程是建立在我们已经拥有了大量的感官经验和数学知识的基础之上的。对出处于初中阶段的学生来说，一个纯粹的几何图形其实并不容易进行想象，学生能够接受和理解的是三角板是三角形的、楼下的花坛是椭平行四边形的、魔方的面是正方形的等等。基于这样的实际情况，我们的几何教学其实是可以很好地让学生完成由具象到抽象的思维过渡，经历这样的思维训练，学生能够拥有更好的直观想象能力，同时也会拥有更好的数学建模能力，这既是解决几何问题的必备能力，也是数学学科对学生的要求。

（二）数学运算与逻辑推理能力

数学运算能力在数学学科的任何一个领域中都是十分重要且基础的能力，在解决几何问题的过程中，基于上文中所提到的对几何的数学建模的要求，学生也会接触到很多的数字内容需要解决。同时，我们在数学学科的知识练习过程中常常使用的一种问题就是提供给学生一些关于几何图形的信息，让学生通过想象与推理去计算出几何图形的未知信息。在这个过程中，主要结合数学运算能力和逻辑推理能力。所谓逻辑，就是要求学生能够理解事物构成的要素是怎样组合以及发挥作用的，在理解事物全貌的基础上，通过事物的局部信息推理出整体的信息。数学推理其实就是这样的过程，一般来说，学生会被告知一个几何图形邊、角等的数据，然后学生在了解几何图形属性的前提下，根据现有的已知信息，通过计算来推导出全部信息。同时，我们也要注意计算能力也是十分重要的，通常来说，数学问题不会只有一种解决方式，如何在众多解决方式中找到简洁的一种，需要学生了解计算过程，明白计算的方式，为学生未来解决复杂数学问题省下很多的麻烦。

三、 在初中数学平面几何教学中培养核心素养的策略

（一）因材实施几何推理教学

在初中数学几何推理教学过程中，数学教师要整体提高几何推理教学效果，并确保全体学生可以在原有几何基础上得到最大限度的发展。但学生的认知水平和能力存在差异，因此，初中数学几何推理教学过程中，数学教师应充分考虑学生的差异性和层次性。同时，为了让学生在几何推理知识学习中始终能够保持主动，应让学生认识到几何推理的重要性和证明的必要性，让学生在几何推理学习中内化为自觉行为。在此过程中，数学教师应对学生的几何推理给予一定的鼓励和肯定，并可以在适当的时候为学生提供一定的指导，但是不可完整地将推理方法传授给学生，而是在学生得出最终答案后引导学生进行优化和完善。在此过程中，传授学生完整的几何推理方法，以便学生学会举一反三，从而有利于学生几何推理能力的培养。

（二）“拆出”转化手段的有效实施

转化与化归的数学思想是中学数学中重要的数学思想之一，可以说转化与化归思想几乎贯穿数学解题教学的始终。利用转化思想不仅是我们解决代数问题的重要手段，更是我们解决复杂几何问题的有效手段。

【例1】 已知，如图1，正方形ABCD的边长为4，G为对角线BD上一点，且DG=DC，H是AG上的一个动点，过点H作HE⊥AD，HF⊥BD，垂足分别为E、F。

求证：HE+HF为一定值，并求出这一定值。

美国数学家布鲁纳说过：“探索是数学的生命线。”对线段定值问题，我们可以引导学生将问题从特殊到一般进行转化。首先，让动点H与点A重合，即过点A作AO⊥BD（如图3），得到AO=22。而四边形问题常转化为三角形问题来研究，此时将原图形进行多次拆分（如图2、图3、图4），连结对角线AC与BD相交于点O（如图4），思路即马上形成。所以HE+HF=AO（即为定值），这个定值就是22。最后顺理成章地再连结辅助线DH（如图3）利用面积法进行验证，让学生体会不同的解题方法和解题思路。在平面几何的教学中经常引导学生运用转化思想，将一般与特殊互化，巧解定值题型，促进学生的思维发展。

（三）以生活化教学激发学生兴趣

开展兴趣教学，营造良好课堂氛围，有助于调动学生的求知欲，让学生主动探索掌握新知。初中几何教学中的图形内容十分丰富，要求教师开展生活化教学，引导学生主动寻找并探索生活中的几何图形，并以此为前提开展知识学习。要求教师充分利用信息化技术手段，发挥信息技术优势，为学生展现丰富的生活化几何图形，以广泛吸引学生注意，保障后续教学活动的高效开展。

以“轴对称”知识点为例，为了让学生深刻把握轴对称图形的特征，学会绘制轴对称图形，要求教师结合生活实例开展教学活动，让学生得以养成在生活中寻找数学学习切入点的习惯，培养其数学思维。教师可以以生活中常见的轴对称图形，如黑板、教室门、书本举例，并引导学生自由发挥想象，寻找生活中的轴对称图形，以调动学生参与热情。此外，教师可以利用多媒体设备进行教学呈现，以图形或动画的形式，向学生展示轴对称图形，从而加深学生对这一知识的理解，提升其知识掌握程度。教师需要充分利用几何画板工具进行讲解，引导学生自由绘制轴对称图形，让学生自行用纸笔绘制，也可以让学生主动上台，利用几何画板绘制轴对称图形，向同学展示，让学生深刻理解掌握轴对称图形的特点，同时，提升其动手操作能力。

（四）以模型教学促进学生理解

初中数学几何知识通常较为抽象，如果只是采取机械传授的方式，则难以让学生体会和把握相关知识，可能增加学生的知识理解负担，影响其学习积极性。为此，要求教师积极融入几何模型教学手段，加快学生的新知理解，使其借助直观观察的形式提升学习自信。应用模型教学的手段开展几何教学，可以通过直观的方式展现图形的几何及位置关系，以形象化的表现形式为依托，促进学生的知识理解，使其得以深刻明确不同已知量之间的关系。

以不规则图形教学为例，初中几何中经常涉及不规则图形面积求解类问题，学生尚未掌握此类图形的求解方式，若采取直接计算的形式，则在无形中增加了题目的难度，导致学生无法求解。为此，要求教师适时引导学生，带领学生构建几何模型，针对不规则图形进行划分，将其分成学生所熟知的规则图形，通过加减计算，利用规则图形的面积解答相关题目，以简化题目。为了强化学生对此类问题的认知和理解，教师可以充分利用电子教具，引导学生进行图形拆分，并在问题解答后还原图形，让学生深切体会图形的拆分过程，培养其良好的拆分思维，使其学会用简单、便捷的方式解答复杂题目，为后续数学学习打下良好的基础。

（五）创设多媒体情境，激发学生求知欲

情境教学是初中数学教师惯用的教学手段之一，指的是在课堂中适当地引入一些形象色彩，转变学生的学习态度，提高学生学习体验，在情境中展开数学知识的学习。在多媒体情境中，学生的心情往往比较放松，课堂氛围会得到有效的改善，还可以为学生建立与数学问题之间的桥梁，激发学生的求知欲，使学生更好地构建自己的知识体系。在传统几何教学中，教师大多都是利用板书和口授展开教学，但是很难体现出空间性，无法达到视觉效果，不能为学生留下深刻的学习印象。而在多媒体情境中，教师可以利用闪烁、变化、放大、定格、翻滚等动画技术以及声音、色彩，对学生的感官进行有效刺激，将抽象的几何知识直观形象地展示出来，有效激发学生的求知欲。

例如，在学习平行四边形的有关性质时，教师可以收集网络上应用平行四边形的性质进行制作的视频，这时还可以借助视频进行旁白解说，通过生活中常见的事情为学生创设多媒体情境，导出平行四边形的性质。观看视频结束后，教师利用多媒体动画技术展示一个平行四边形，再展示特殊的平行四边形，通过直观的动态演示让学生理解该性质。在多媒体情境中，动态的课堂变得更加生动有趣，这是传统几何教学课堂无法企及的。

（六）巧妙设置有趣问题，激发学生学习动力

课堂上有趣的问题，可以让吸引学生的注意力，拓宽学生的逻辑思维，激发学生各种各样的想象。学生感受到知识源于生活，这样学生对学习并不感到陌生。例如，在学生学习“轴对称图形”时，可以利用生活中的各种建筑物品，也可以通过多媒体、图片、视频等播放形式，讓学生从视觉上进行任职感受，然后找规律和特点。其实这是全等三角形也是轴对称图形，为学习全等三角形的性质做好铺垫，这样学生学习起来就游刃有余了。又如，在教学“勾股定理”这节课内容时，在数学课本中，就有毕达哥拉斯的一张肖像图片，就是这张图片来吸引学生的注意力，给学生讲述一个关于这张图片的小故事。设置疑问，把问题交给学生。其实这些知识并不是单纯的图案，而是由我们所学的“勾股定理”知识来引导组成的。这是正方形边长之间的关系，他用手在地板上比画了一下，选了其中一块大理石瓷砖，以他的对角度AB为边画一个正方形。他觉得这个发现很有趣，于是他继续进行研究，发现这个正方形面积等于这五块瓷砖的面积之和，从而假设，推论，最终得出勾股定理。也就是在任何直角三角形，三角形斜边的平方等于两边平方之和。这样的问题既能吸引学生，又让学生快乐地学到知识。

（七）合作探究集体论证建立几何形象

俗话说，众人拾柴火焰高。高效的合作可以使得事情变得更加顺畅，在初中阶段的数学学习过程当中更是如此。合作学习可以有效提升学生的学习进度，可以让学生分享各自的学习心得，让每一个学生都可以通过彼此了解更多的学习方式，也可以更快掌握其中的规律、性质以及联系，让学生在进行几何与图形学习的过程当中变得高效便捷。通过这样的合作交流充分印证了课程标准所倡导的先进学习方式，在这样的方式之下教师必须要进行一定的引导与示范，让学生可以进行有效合理的合作学习，而不是在课堂上交头接耳，相信通过教师不断引导改善，课堂会变得更加高效，让更多的学生感受合作学习的巨大魅力，同时也可以在这样的过程当中体验到数学模型的无穷变化，对今后的数学学习有着非常积极的影响。例如，在学习“轴对称图形”过程中学生可以采用小组合作探究的模式，可以让学生之间相互交流提升学习效率；当然也可以在教师讲解图形时进行深入分析了解，分工合作之下让学生可以在极短的时间内得出图形的变化规律，让学习更加快乐，使得学生体验到团结和团队意识的重要性，提升学生的综合能力和人生价值。

（八）引导学生寻找图形变化的本质

动态几何问题之所以让部分学生觉得无从下手，除了因为其图形较为复杂，还由于其在解题过程中始终保持变化和运动，如果学生无法从动态几何的变化中找到规律，就无法快速抓住解题的关键。因此，在指导学生解答动态几何问题时，教师可引导学生观察几何图形在运动过程中不变的本质特征，找准运动过程中的特殊位置，“动中取静”“动静结合”，从不动的图形中找到动态图形的本质属性。

【例2】 如四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H。

（1）证明：△ABG≌△ADE；

（2）试猜想∠BHD的度数，并说明理由；

（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜∠BAE＜180°），设△ABE的面积为S1，△ADG的面积为S2，判断S1与S2的大小关系，并给予证明。

上题中的第（3）小题是一道动态几何问题，题目中让正方形ABCD沿着点A进行逆时针旋转，旋转的角度范围在0°～180°之间。当正方形ABCD旋转时，△ABE和△ADG的位置、形状也会不断变化，两个三角形的面积大小也会随之出现变化，题目中要求学生探究△ABE和△ADG的面积关系。

在教学的过程中，教师可以引导学生让旋转的正方形处于特殊的静态位置时对图形进行特征分析，对可能出现的情况进行分类讨论。教师在教授学生解答动态几何问题的过程中，应该引导学生积极思考运动图形瞬间的静止状态，研究这种静态下几何图形的特征和性质，抓住变化中的不变量关系，可以帮助学生更好地把握动态几何问题的本质，提高学生的解题效率和解题质量。

（九）引导学生探究图形变量间关系

几何图形在进行运动变化的过程中，往往会导致不同几何量发生变化。一般当一个量出现变化时，其他量也会随之产生相应的变化，彼此之间存在相互联系又相互制约的关系。因此，教师在引导学生解答动态几何图形问题时，应将空间形式与数量关系结合起来，引导学生发现线段、角、面积等几何量之间的关系，从而找到解答问题的有效途径。比如，运用函数观点解决动态几何问题，理解动态变化过程中有关数量关系。函数的核心是变化与对应，体现的是变量之间的相互关系，将几何图形与函数结合起来，通过动态几何图形变量关系构造函数模型，并通过函数解析式表示动态几何问题的数量关系。

【例3】 如P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB。

（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；

（2）设AP=x，△PBE的面积为y。

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值。

这道题目中的第二小题是考查学生求动态几何中变量关系。当点P在线段AC上运动时，其他线段和图形也会随之發生相应的变化。因此，在推导时学生首先应该了解：当点P进行运动时，线段AP出现变化，引起线段PC，BE，CE的变化，随后△PBE、△ABP、△APD、△CDP、△CEP也会随之发生变化。教师在引导学生对问题进行分析时，要让学生明白这些运动和变化是有规律可循的，不要被图形中的变化所牵引，应该准确把握图形中变化的量和不变的量，从而找到图形中线段与面积的数量关系，这样才能够帮助学生更快地寻找到有效的问题解决路径。教师可以引导学生对AP这个变量进行分析，从而找到AP变量与BE和PF之间的关系，就可以将△PBE的面积y与AP长度x之间的函数关系式列出来。运用函数思想能够有效地解决动态几何问题，因此教师需要引导学生找出其中的变量关系，并通过函数解析式的方式表达出图形变化的规律。在构造函数关系式的过程中，教师可以有效地引导学生利用图形面积、全等图形、比例式、勾股定理等进行探索，找到变量之间的函数关系。

四、 结语

综上所述，在今天的教学过程中，我们都十分重视核心素养的培养和教学。结合文章所述内容，笔者认为，我们在面对这一方面的教学时应该注重两个方面的问题。一方面，我们必须要理解核心素养的教学是一个循序渐进且隐藏在知识教学之中的内容，因此这种培养需要我们的耐心，并且要有精密的布置。另一方面，我们要认清核心素养的本质，不做模糊的教学工作，这样才能让我们的教学更具有方向性。为学生联系生活经验、帮助学生构建知识体系，这样才能够让学生获得更好的学习体验，真正提升数学的核心素养。

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