夯实基础 思维进阶 直指本质

任韶山

［摘 要］文章以“直线与圆的位置关系”的复习课为例，探讨指向夯实基础、思维进阶、直指本质的数学复习课教学路径，以帮助学生夯实基础，促进学生思维进阶，发展学生核心素养。

［关键词］直线；圆；位置关系；复习课

［中图分类号］    G633.6            ［文献标识码］    A          ［文章编号］    1674-6058（2023）36-0087-03

一堂優质的数学复习课应让学生通过温习知识、回顾知识，建立知识之间的逻辑联系，促进学生思维进阶，同时掌握新方法，不断积累数学学习的经验，从而实现讲一题得一法、会一类通一片的教学效果。本文以“直线与圆的位置关系”的复习课为例进行分析探讨。

一、教学内容与教学目标

“圆”这一章包含了圆的认识、与圆有关的位置关系、圆中的计算问题及正多边形和圆等知识内容，而“直线与圆的位置关系”是“与圆有关的位置关系”的重要内容。这部分内容反映了图形的位置关系与数量关系之间的一一对应关系，体现了数形结合思想。同时，这部分内容还可与相似三角形、全等三角形等知识综合。因此，该内容一直是各省市中考命题的热点。基于此，教师在组织这部分知识的复习时，既要让学生理解和应用一些重要结论，又要让学生了解其中的数学思想，发展学生的数学学科核心素养。

教学目标：（1）了解直线与圆有相离、相切与相交三种位置关系，理解并掌握圆的切线证明方法；（2）掌握处理“直线与圆的位置关系”这类问题的基本思路，重点关注切线的性质定理、切线的判定定理、垂径定理与切线长定理四个定理；（3）明白复杂问题实际就是简单问题的组合，学会将复杂的问题分解为几个简单的问题。

二、教学过程

以一次模拟考试的一道试题为线索，设计关于“直线与圆的位置关系”的复习课，帮助学生回忆知识，运用学习经验解决问题，从而培养学生解决此类问题的方法路径，促进学生的思维进阶。

这是一道考查直线与圆的位置关系的试题。学生需要运用圆的切线的判定定理来判定直线[CD]是否是圆的切线；运用垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论证明四边形[DEFC]是矩形；运用直角三角形的性质求角度和边长；利用平行线间同底等高的三角形面积相等转化图形面积；利用扇形面积公式求阴影部分的面积。该题考查了圆的重要定理及直角三角形的性质，体现了数形结合思想、转化思想等数学思想，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。而把一个复杂的问题转化为几个简单的问题，把一个陌生的问题转化为一个熟悉的问题，是解决问题的关键。

（一）回忆旧知，导入试题

教师指导学生解决直线与圆的位置关系问题时，不能急于解决最终的问题，而是要回归直线与圆的关系的本原问题，让学生通过讨论和回忆唤醒对知识的记忆。

【问题1】直线[l]与圆[O]可能存在哪几种位置关系？如何用数量关系予以表达？

在学生理解利用圆心到直线的距离与圆半径的关系可以确定直线与圆的位置关系后，笔者进行了追问。

追问1：在图2中，当直线[l]从下往上运动时，什么量发生了改变？什么量没变？

学生2：圆心到直线[l]的距离[d]在改变，圆的半径[r]没变。

追问2：如何表示圆心[O]到直线[l]的距离呢？（教师指导学生过点[O]作直线[l]的垂线，垂线段[OA]就是圆心[O]到直线[l]的距离。）

追问3：当直线[l]与圆[O]相切时，你还能得到什么结论呢？

学生3：垂线段[OA]是圆[O]的半径。

追问4：如图3，当圆心[O]到直线[l]的距离[d]不变，圆的半径不断增大时，圆[O]与直线[l]有哪几种位置关系？在此过程中变化的量是什么？不变的量是什么？

学生4：在图3中，当圆心[O]到直线[l]的距离不变，圆的半径不断扩大时，圆[O]与直线[l]仍有三种位置关系，即相离、相切、相交。在此过程中，圆心到直线[l]的距离[d]不变，圆的半径r在不断变化。

通过观察图形、动手画图，学生直观感受到了直线与圆的三种位置关系及其对应的三个数量关系，学会了逆向思考问题。

（二）厘清试题，理顺思路

【问题2】原题中的第（1）小题：判定直线[CD]与[⊙O]的位置关系，并说明理由。

教师：观察图1，你认为直线[CD]与圆[O]的位置关系可能是什么？为什么？

学生5：观察图1可知，直线[CD]与圆[O]的位置关系可能是相切，因为直线[CD]与圆[O]只有一个公共点。

学生6：我发现连接[OC]后，直线[CD]垂直于[OC]。

学生7：我发现圆心[O]到直线[CD]的距离等于圆[O]的半径。

教师：上述三位同学各说了一种证明圆的切线的方法，分别是直线与圆的公共点个数为1个；直线[CD]垂直于圆的半径[OC]；圆心[O]到直线[CD]的距离等于半径。根据题意，哪一种方法比较适合呢？

学生8：应该采用第二种方法，因为点[C]就是圆[O]上的一点，证明[CD⊥OC]即可。

教师：如何证明[CD⊥OC]呢？

学生认识事物的过程是螺旋上升的过程。在问题1的基础上，笔者引导学生解答原题的第（1）小题。在此过程中，学生提出了证明圆的切线的三种方法，虽然三种方法都可以说明一条直线是否是圆的切线，但是较为常用的还是切线的判定定理。而利用[d=r]证明圆的切线，只有不确定点[C]是否是圆上一点时才用，此时要过圆心作直线的垂线，然后证明[d=r]。

（三）延伸拓展，深度学习

【问题3】原题中的第（2）小题：①求证：四边形[DEFC]是矩形；②求图中阴影部分的面积。

教师：判定一个四边形是矩形的方法有哪些？

学生10：一个角是直角的平行四边是矩形；三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。

教师：根据本题的情况，这里应采用哪种方法来判定四边形[DEFC]是矩形呢？为什么？

学生11：应根据“三个角是直角的四边形是矩形”来判定。因为[EC=BC]，根据垂径定理的推论“平分弧的直径垂直平分弦”，得[OC⊥BE]，[BF=EF]，即[∠EFC=90°]；因为[AB]是[⊙O]的直径，根据“直径所对圆周角是直角”，得[∠AEB=90°]，即[∠FED=90°]，所以[∠FED=∠D=∠EFC=90°]，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”，得四边形[DEFC]是矩形。

教师：图1中的阴影部分是一个不规则图形，欲求不规则图形的面积，该如何转化？

学生12：求不规则图形的面积需要转化为求规则图形的面积，可通过割补的方法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差，或者通过等积转化的方法转化为另一个规则图形的面积。

教师：图1中的阴影部分面积该如何转化？

学生13：阴影部分的面积=直角三角形[ADC]的面积-由线段[AE]、[AC]、弧[EC]围成的图形的面积。

教师：这个分解是正确的，但是由线段[AE]、AC、弧[EC]围成的图形也是不规则图形，又该如何转化呢？

学生14：连结[EC]，如果能证明[EC]平行于[AB]，那么由线段[AE]、[AC]、弧[EC]围成的图形的面积就能转化为扇形[EOC]的面积。

经过师生互动、生生互动，最终把问题转化为“求证[EC]∥[AB]”。筆者先让学生独立思考，然后小组讨论交流，最后小组派代表展示。

通过对上述三个问题由浅入深、由易到难地分析，引导学生对直线与圆的位置关系的知识进行了回顾，并将其与直角三角形、垂径定理、圆周角定理、圆心角定理建立了联系，帮助学生拓宽了分析问题的思路，推动了学生的深度学习，促进了学生思维品质的进阶。

三、教学感悟

（一）夯实基础，追求效率

中考复习教学，要使学生对基础知识达到理解与掌握的要求。设置问题1的目的在于引导学生复习直线与圆的三种位置关系与数量关系之间的对应关系。学生通过分析在两种不同情况下变化的量是什么、不变的量是什么，并找到表示圆心到直线的距离的线段，进而归纳出三种情况下直线与圆的位置关系与数量关系之间的一一对应关系，构建知识网络。如此，学生在解题时便能从记忆系统中检索出有关信息，找到最佳解题路径，优化解题过程。

（二）唤醒思维，逐层进阶

中考复习课不同于新授课，要让学生参与到具体的问题解决中，促进学生思维进阶。这就需要教师设计可以引发学生深度学习的数学问题，让学生亲身经历探索问题的过程，从而唤醒学生思维，使学生在逐层进阶中增长数学活动经验。如问题3，在证明四边形DEFC是矩形之前，让学生回顾判定矩形的三种方法，思考根据题意应该选择哪种方法；在求不规则图形的面积时，则让学生先对如何转化图形面积进行了回顾与总结。

（三）变式转化，直指本质

变式教学是在本质不变的基础上变换问题，或变换条件，以促进学生换位思考问题，产生积极的联想。高质量的变式问题能够拓宽学生思维路径，在循序渐进中直达问题的本质。如问题3可通过变式转化为求证EC∥AB，直指求图中阴影部分面积的本质。在变式转化中，学生的思维向深处不断漫溯，拾级而上，有效实现了问题的解决。

总之，一堂好的数学复习课应夯实学生基础，唤醒学生思维，促进学生思维进阶，进而培养学生的核心素养。这就需要教师洞察学情、深研教材，厘清知识之间的相互联系，精心设计学习活动，让数学复习课走向高效。

（责任编辑 罗 艳）