迁移经验建模 赋能思维发展

顾莹盈

引导学生用好以往的学习经验，完成知识学习的迁移，从具体数据的讨论上升到规律的发现与归纳，最终形成相应的数学模型，这个过程就是学生数学模型思想的经历与体验过程，也是学生数学基本活动经验的积累过程。下面以苏教版四年级下册“运算律”中“加法交换律和乘法交换律”的教学为例，对如何迁移经验建模进行详细分析。

一、教材分析

在现行的苏教版“运算律”单元课时编排中，加法交换律和结合律是一课时的内容，乘法交换律和结合律是一课时的内容。这样的编排是基于学生的已有知识与经验的。学生在加法计算中对交换律和结合律的感知比较丰富，联系已有经验，能够通过自主探究获得结论。同时，我们发现加法交换律和乘法交换律、加法结合律和乘法结合律在数学模型的结构与意义上具有一定的关联性和相似性。为此，在具体教学中，我对单元内容教学顺序进行了适当调整，第一课时先教加法交换律和乘法交换律，帮助学生积累数学模型构建的经验，第二课时教加法结合律和乘法结合律。这样学生就可以将第一课时所学的知识和经验迁移运用到结合律模型的构建中，更利于学生迁移能力的培养。

二、学情分析

加法交换律和乘法交换律对于学生来说并不陌生，在之前的学习中，他们已经逐步接触了一些例子，有了一些感性的认识。但这些认识都是具体化、情境化的，且学生缺乏把一种数学现象抽象、概括、提炼成一种规律的意识和能力。四年级学生对运算律模型的推理与构建还存在较大的困难。

三、教学目标

1.引导学生通过对熟悉的实际问题的解决进行比较和分析，找到不同解法之间的共同特点，初步感受运算规律，理解并掌握加法交换律和乘法交换律。

2.促使学生在探索加法交换律和乘法交换律的过程中，迁移运用旧知进行分析、归纳和总结，初步形成独立思考和探究问题的意识和习惯。

3.让学生在经历观察、比较、归纳、解释、概括规律的过程中，感悟数形结合思想，初步形成模型意识和符号意识。

四、教学过程

（一）创设情境，解决问题

出示教材第55页例1情景图（见图1）。

师：学校实施体育课后服务以来，同学们的运动变得更加丰富多彩了。从这张图片中，你能得出哪些数学信息？

生1：男生和女生跳绳的人数。

生2：踢毽子的女生人数。

师：你能依据这些信息提出一些用加法计算的问题吗？

问题1：参加跳绳的一共有多少人？

问题2：跳绳的和踢毽子的一共有多少人？

师：我们先来解决问题1，针对参加跳绳的一共有多少人，应该怎么样列式计算？

生：28+17＝45（人）。（教师将算式板书在黑板上。）

师（追问）：表示什么意思呢？

生：“28+17”是用男生人数加上女生人数。

师（追问）：还有不同的列式方法吗？

生：还可以17+28＝45（人）。（师板书算式。）

师（追问）：又表示什么意思呢？

生：“17+28”是用女生人数加上男生人数。

师：两道算式都表示跳绳的总人数，所以都等于——（45人）。

（二）观察猜想，逻辑推理

师：观察这两个算式，你们能发现什么？它们有什么相同和不同？

学生认真观察、讨论。2分钟后学生代表发言。

生：两个算式的加数相同，结果一样。

生：两个算式加数的位置不同。

师：这两道算式都是求什么的人数的？得数相同的情况下，我们能不能用“=”把它们连成一个等式？

生：两道算式的得数相同，求的都是参加跳绳的总人数，所以，可以用“=”连接。

教师板书：28+17＝17+28

师：你们认真观察这个等式，在等式的两边，什么发生了变化？什么没有变？

同桌交流，然后班级分享个人发现。

生：等式两边加数的顺序改变了。

生：虽然顺序改变了，但结果没有变。

师：又有什么共同的地方呢？

生：两个加数都相同。

生：还有，和也相同！

师：交流得很好，你们肯定也有了很重要的发现，能不能总结一下呢？

生：交换加数的位置，和不变。

师：同学们发现“交换加数的位置，和不变”。可刚才你们只是通过对一个例子的观察得出这样的猜想的，这个猜想正确吗？

生：正确。（都非常肯定。）

（三）验证猜想，经历建模过程

师：为什么交换兩个加数的位置以后它们的和不变？你能尝试用自己的方式来说明或解释它吗？

学生先独立思考，然后进行小组交流，并共享讨论结果。

生：买一件上衣和一条裤子，买上衣花了100元，买裤子花了60元，先买上衣和先买裤子花的钱总数都是160元。

师：也就是说，在计算购物总价时，不需要考虑商品的先后顺序。这个例子非常好，还有没有其他的解释？

生：四（1）班人数为63人，四（2）班人数为60人，这两个班级无论是（1）班加（2）班，还是（2）班加（1）班，它们的总人数都是不变的。

师：是的。我们在计算班级总人数时，不需要考虑班级人员的先后顺序，和都是相同的。那还有没有不同的解释呢？

生：我举了三个例子，都能验证加法交换律是正确的。

例1.20+35=55 35+20=55 20+35=35+20

例2.60+5=65 5+60=65 60+5=5+60

例3.☆+○=10 ○+☆=10 ☆+○=○+☆

师：你们觉得他的解释正确吗？有什么特点吗？

生：他用两位数进行了验证。

生：他还用符号进行了验证。

师：非常不错，用图形来辅助解释的想法很好。那还有没有其他方法呢？

生：我还可以用画线段图的方式来解释。从学校到公园要经过书店，假如说从学校到书店的距离是300米，书店到公园的距离是1000米，那么从学校到公园的距离就是300+1000=1300（米）；从公园回到学校，从公园到书店的距离是1000米，从书店到学校的距离是300米，所以，距离还是1000+300=1300（米）。

生：我还试了下，小数也符合这个规律，比如，1.5+2=3.5，2+1.5=3.5，所以，1.5+2=2+1.5。

师：真棒。我们学过的数不仅仅有整数，还有小数，所以两个数的组合有很多种，如两个数都是整数或是小数，还可以两个数一个是小数，一个是整数等。那么，针对这些情况，上述猜想还成立吗？

学生小组讨论，继续给出了很多实例，还有的小组提出了可以两个分数相加、整数与分数相加，最终通过不完全归纳法论证了最初的猜想是正确的，这正是我所期待的。

师：刚才同学们用自己喜欢的方法验证了我们发现的规律，这些规律叫运算律。如果用字母a、b分别表示两个加数，我们发现的规律就可以写成a+b＝b+a，这个规律我们给它起个名字叫加法交换律。

（四）迁移学习，自主构建模型

师：我们根据一个猜想，用不同的方法进行了验证，最后得到了这个结论。学习不要止步于此，你还有没有新的猜想？除了加法有交换律，你觉得哪些运算可能也存在交换律？任意两数相减，交换它们的位置，差不变？任意两数相乘，交换它们的位置，积不变？任意两数相除，交换它们的位置，商不变？请试着解释或验证你们的猜想。

学生小组交流，提出自己的猜想，进行验证，并完成学习任务单。（见表1）

师：谁来说一说你们还发现了什么新规律？

组1：我们发现减法不存在交换律。例如，35-20≠20-35。

组2：我们反对，6-6=6-6，10-10=10-10，所以减法存在交换律。

师：刚才我们讨论加法交换律的时候，你们允许反例的出现吗？那怎么现在就允许了呢？

组3：我觉得减法没有交换律，只要找到一个反例，就可以推翻它了。

师：对！验证结论过程中，只要举出一个不符合结论的例子——反例，就可以说这个结论不成立。

组4：我们也发现除法不存在交换律，例如，25÷5≠5÷25。

师：不错，那乘法呢？

组5：我们发现乘法存在交换律，比如，26×12=312，12×26=312，交换两个乘数的位置，积仍然不变。

师：大家能不能举出一个反例？

生：不能。

师：为什么交换两个乘数的位置，积会不变呢？谁可以来解释一下？

生：比如5×3和3×5，它们的积都是15，所以积相等。

师：听懂了吗？谁可以再来解释一下？

生：我可以用数方格的方法来解释。如图2，5×3可以表示5列3行小方格的总个数，是15个；3×5可以表示3行5列小方格的总个数，也是15个。

师：不错，不管是先数行，还是先数列，其本质都算的是小方格的总数，只是观察的视角不同而已，所以，乘法有交换律这个猜想是正确的。那你们能不能像前面加法交换律一样，用字母来表示这个猜想呢？

生（齐）：a×b=b×a。

（五）归纳总结，感受新知

这一节课，你们都学习了哪些知识？请将你的收获记录下来，然后小组内交流。

五、教学小结

1.在不露痕迹的追问中深化认识。学生举出符合加法交换律的实例后，教师引导学生回到加法意义去思考、理解加法交换律。虽然数数过程不同，但结果相同，变化具体数量讲的是相同的“故事”，帮助学生从加法意义这一本源上证明并理解了加法交换律，突出了加法交换律的价值、意义。同时，通过追问促使学生思考、发现自己概括出的等式中的文字和符號可以具体化为实例中的数。从具体实例到用一个式子表示，学生以符号代替数，得到运算律的一般性表达，此时学生对运算律字母表达式的理解仍停留于“替代”状态。从一般回到具体，让学生自主说明运算律字母表达式中的字母具体表示实例中对应的数，意识到用字母表达规律的一般性，增强了学生的符号意识。

2.利用学生已有知识和经验，引导自主探究活动，并掌握运算律。在本节课教学中，我首先由生活情境中的数学问题引出一组等式，让学生初步理解两个数交换位置，和不变；再让学生通过举例验证，通过不完全归纳法推理得出加法交换律和乘法交换律并用字母表示。这样学生就经历了“加法、乘法交换律”的推理过程：提出问题—引发猜想—验证猜想—概括归纳—类比迁移，有效促进了学生推理意识的培养。

（作者单位：昆山市信义小学）

编辑：常超波