运算律，无论在哪里都适用吗？

顾巍伟 严育洪

“望”：病例观察

【片段1】一位教师在教学“加法交换律”和“加法结合律”之后，出了这样一道选择题：25+38+75=25+75+38，这里运用了（ ）。A.加法交换律；B.加法结合律；C.加法交换律和加法结合律。许多学生选择A。揭示答案是C后，教师在学生的辩驳“只是38和75交换了位置啊”中，也说不出所以然来。

教师最后总结说：“两个数相加可以交换位置，三个数相加也可以改变运算顺序。你们还有什么想法吗？”

生：无论多少个数相加，都可以改变运算顺序，和都不会变。

师：对，是这样。你真棒！

……

【片段2】一位教师教学“加法交换律”，课始组织了两位学生交换位置、两件物品交换位置等活动，然后由此导入新课：“在数学中，也有着类似的交换现象。这节课我们就一起来研究。”

……

课终，教师播放了《朝三暮四》的flash动画：“在这个故事中，你能找到加法交换律吗？”

当学生找出“3+4=4+3”后，教师总结道：“确实，‘朝三暮四’和‘朝四暮三’结果是一样的，因为它符合加法交换律。”教师接着又补了一句：“看来，加法交换律不仅在数学中普遍适用，而且在生活中也普遍适用。”

……

“问”：病历记录

对于片段1的教学，笔者在课后对执教教师进行了如下访谈。

笔者：你是怎样判断交换律和结合律的？

执教者：交换律改变的是数的位置，结合律改变的是数的运算顺序。25+38+75=25+75+38，我感觉只是改变了38和75的位置，并没有改变从左往右依次运算的顺序啊！（说完，一脸困惑，这也是她没在课内表态的原因——对标准答案心存疑惑）

笔者：对于“无论多少个数相加”，你是怎么理解的？

执教者：我认为既可以有限个数相加，也可以无数个数相加，对吗？

笔者（点头）：那无数个数相加，加法交换律和结合律还适用吗？

执教者（一脸疑惑）：难道不可以吗？

……

对于片段2的教学，笔者也对执教教师进行了一次访谈，具体如下。

笔者：对于“加法交换律在数学中普遍适用”这句话，你觉得有问题吗？（执教者对这一问题感到惊讶和不解）

笔者：那后半句“加法交换律在生活中也普遍适用”，你觉得有问题吗？

执教者（不再犹豫）：没问题啊，数学源于生活，例如生活中有着许多像两个人交换位置、两件物品交换位置等交换现象，基于这样的考虑，所以我设计了从生活中的交换现象引入数学中的交换现象的教学环节，学生一下子就理解了。

……

“切”：病理诊治

运算律，顾名思义，数运算中的规律。基本运算律以及初中阶段将要学习的指数运算法则，被统称为“数与代数”领域的“通性通法”。运算律是小学数学中唯一以定律方式呈现的内容。

片段1中，执教教师所说的“交换律改变的是数的位置，结合律改变的是数的运算顺序”，仅仅关注了数的位置和数的运算顺序，忽视了另外一个重要的前件。例如加法交换律“如果两个数相加，交换加数的位置，那么和不变”（许多教材和教师在表述时，为了让语句简短，常常省略“如果……那么……”这一关联词语，甚至把“两个数相加”也省略了，最终剩下“交换加数位置，和不变”），具有“若P则Q”假言命题的形式，P称为命题的前件，Q称为命题的后件，前件和后件构成了命题的整体。

实际上，数学中的“交换律”是指：一种运算“*”和参加运算的某集合A中的任意“两个元素”a、b，一定有a*b= b*a，我们就说运算“*”对于集合A满足交换律。由此可见，“两个元素参加运算”这一前件忽视不得，否则在判断“25+38+75=25+75+38”究竟用了什么运算律时就会发生知识性错误。

具体来看，“25+38+75=25+75+38”已经是三个数连加，按照运算规则，在“25+38+75”中，38只与25运算，其和63才与75运算，怎么可以运用加法交换律交换38和75的位置呢？也就是说，正是因为加法还满足结合律，才能将38和75的位置交换过来，它可以看成是加法交换律和加法结合律的综合应用（如下图）：

加法结合律如果联系加法交换律，那么加法结合律可以进一步延伸：三个数相加，可以把任意两个数先相加，再加上第三个数，和不变。甚至可以推广到更多的数相加的情况，经过加法交换律和结合律的多次综合运用，得到“多个数相加，都可以改变运算顺序，和不变”。从表面上看，多个数相加可以任意交换位置，似乎只是运用了交换律，其实应该说多个加数的基点最终是通过结合律化归到两数交换律。只是在实际操作中，人们对“交换”这一特征印象更清晰，直接导致“只运用了交换律”的误见。

我们可以把“a+b+c = a+c+b”这样一个规律说成是由加法结合律和交换律证明了的一个“推论”。严格地说，“a+b+c = a+c+b”应用的运算律不是加法交换律的推广而是加法交换律和结合律的推广。对乘法也是如此，可以合并表述为：三个以上的数相加（乘），任意交换加（乘）数的位置，或者先把其中的任意几个结合成一组相加（乘），再同其他数相加（乘），它们的和（积）不变。

由此，我们还可以看出，加法交换律和结合律通常在加、减运算中同时使用，交换的目的在于结合，结合时一般是按正负结合，按相反数结合，总之，将容易计算的数进行结合；乘法交换律和结合律通常在乘、除运算中使用，交换的目的同样是为了结合，结合时一般是将能约分的数结合。

五个基本运算定律适用于小数、分数、有理数、实数、复数，在中小学数学学习中通行无阻。那么，是否像片段2中执教教师所说的“（加法）交换律不仅在数学中普遍适用”呢？答案是否定的。

首先，运算律只能运用于有限集合的运算，而不能运用到无限集合中。例如：

算法一：1-1+1-1+1-1+…=1+（-1+1）+（-1+1）+…=1或1-1+1-1+1-1+…=1-（1-1）-（1-1）-…=1；

算法二：1-1+1-1+1-1+…=（1-1）+（1-l）+（1-1）+…=0。

同一道题得出两个不同的答案，当然是不允许的，其原因就是在无限范围内使用了加法交换律和加法结合律。由此可见，片段1中学生的发现——“无论多少个数相加，都可以改变运算顺序，和都不会变”，这种说法不对。

其次，学习了高等代数，就会知道代数运算不一定具有交换或结合的性质。例如，n次置换的乘法能满足结合律，但不满足交换律；n阶矩阵的乘法不满足交换律，但满足结合律。

再次，对定义新运算，例如，对于运算，交换律和结合律都是不适用的。

综合以上知识，我们就能得到这样一个结论：运算律在数学中并非普遍适用。那么，运算律在生活中是否也普遍适用呢？答案也是否定的。

片段2中，执教教师课始采用两位学生交换位置、两件物品交换位置导入新课，作为引子可以，不过还是有着本质的区别。执教教师说的“数学源于生活”，只对了一半，完整的说法应该是“数学源于生活但高于生活”，也就是说“数学不完全等于生活”，以本节课而言，运算律不能滥用于生活，万事万物在发展顺序和运作顺序上往往不满足“交换律”，例如穿衣服，先穿内衣再穿外衣，你就不能交换过来，先穿外衣再穿内衣，时间也是无法“交换”，你先上楼再下楼，有可能与先下楼再上楼的结果不一致。

综上所述，执教教师最后的补充——“看来，加法交换律不仅在数学中普遍适用，而且在生活中也普遍适用”并没有起画龙点睛的作用，反而成了画蛇添足，是教学的败笔。

我们再来看教师说的前一句话——“‘朝三暮四’和‘朝四暮三’结果是一样的”，如果脱离情境，纯粹地看数学等式“3+4=4+3”，毫无疑问它符合加法交换律，但如果放到生活中就未必符合加法交换律，例如从养生角度看，“早上吃得少晚上吃得多”与“早上吃得多晚上吃得少”对健康的影响未必一样；从创新角度看，“从‘三’追求‘四’”与“从‘四’追求‘三’”显示的精神状态未必一样；从经济角度看，“先拿到‘三’”与“先拿到‘四’”所产生的经济效用未必一样……

综上所述，运算律在数学中并非无论在哪里都适用，在生活中也并非无论在哪里都适用，所以教师需要三思而后言。

（江苏省无锡市张泾实验小学 214194

江苏省无锡市锡山教师进修学校 214191）